Predicate & quantifier Pertemuan 2 Matematika diskrit Predicate & quantifier

Apakah Ini merupakan proposisi ? Nurdin mempunyai 2 motor 2 > 1 10 <= 8 x > 3 x + y = 5

Predikat dan fungsi proposisi Perhatikan dari pernyataan P(x), dan notasi simbolik dari x > 5 P(x) : x > 5 X disebut subjek / variabel > 5 disebut predikat P(x) belum mempunyai nilai kebenaran selama x belum diketahui; maka disebut sbg fungsi proposisi P untuk x P(x) akan menjadi proposisi jika kepada x telah diberikan nilai tertentu kepadanya

P(x) : x > 5 Akan menjadi proposisi jika x telah diberi nilai tertentu (x telah diikat / bound dengan nilai tertentu) Nilai yang diberikan kepada x diambil dari himpunan nilai yang disebut semesta (universe of discourse) atau domain Dalam contoh di atas domain dapat berupa himpunan bilangan bulat / integer

Proposional Function Proposional Function adalah : Sebuah kandidat proposisi Kal. Yg blm menjadi proposisi, karena terdiri dari satu atau lebih variabel Notasi  P(x), P(x,y) . . . . . .

Ex : Proposional Function P(x) = 2 X adalah bil genap, Bgm nilai kebenarannya ? Jwb : X = domain X = integer X = {1, 2, 3 . . . .} Coba dimasukkan semua nilai X ke dalam P(x) Ternyata benar, Mk  nilai kebenarannya adalah true

Cara merubah P.F menjadi proposisi Tiap var diberi nilai, atau Menjadikan P.F menjadi  Quantifier Ex: memberi nilai pada var P(x) = x>3, bagaimana nilai kebenarannya untuk P(4) dan P(2) ? Jwb : P(4) = 4>3  nilai kebenarannya : true P(2) = 2>3  nilai kebenarannya : false

Cara merubah P.F menjadi proposisi(count’d) Ex: memberi nilai pada var Q(x,y)  x = y + 3, bagaimana nilai kebenarannya untuk Q(1,2) dan Q(3,0) ? Jwb : Q(1,2)  1 = 2 + 3  nilai kebenarannya : false Q(3,0)  3 = 0 + 3  nilai kebenarannya : true

Quantifier Selain mengikat x dengan suatu nilai dari domain tertentu, x dapat juga diikat dengan quantifier Prosesnya disebut quantification Ada 3 macam quantifiers: Universal quantifier Existential quantifier Unique quantifier

Quantifiers Quantifiers Universal quantifier   Existential quantifier   Artinya : For all For every Ex:  x P (x) artinya : Untuk semua nilai x membuat p(x) menjadi benar Untuk setiap nilai x membuat p(x) menjadi benar P(x) benar untuk semua nilai x

Universal quantifier   Ex: P(n) = n2 + 2 n adalah bil ganjil integer  n E D = {all integer} Jwb : P(n) is true when n is an odd integer P(n) is false when n is an even integer Ex: P(x) = x + 1 > x , bgm nilai kebenaran dari  x P(x), dimana x=bil integer Apakah benar untuk semua x membuat P(x) menjadi benar? Ternyata benar, maka  x P(x) bernilai true

Counterexample Counterexample  Ex: Nilai x yg memb P(x) menj salah P(n) = n2 + 2 n adalah bil ganjil integer , bgm nilai kebenaran dari  n P(n), dimana n=integer Jwb : N=2  p(n)=8, ternyata pernyataan ini salah, Mk n=2 adalah counterexample untuk P(n)

UNIVERSAL QUANTIFIER P(x) : x > 5 x P(x) di-bahasa-kan demikian: “untuk semua nilai x dalam domain, x > 5” “untuk semua nilai x membuat P(x) menjadi benar” “P(x) benar untuk semua nilai x” Apakah nilai kebenaran dari x P(x) jika domain adalah { 1, 2, 3, 4, 5 } { 1..10 } { … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } { 6 }

UNIVERSAL QUANTIFIER Ex : Q(x) = x < 2, bagaimana nilai kebenaran quantifier x Q(x), dimana domain (x) adalah real number ? Jawab : X = { ……2,3,4,5………) Q(x) tidak benar untuk setiap real number x Misal Q(3)  false, maka x =3 adalah counterexample untuk x Q(x)

Existential quantifier   Artinya : For some Minimal ada satu nilai yang membuat menjadi benar Ex:  x P (x) artinya : Minimal ada satu nilai x membuat p(x) menjadi benar Ex: P(x) = x + 1 > x , bgm nilai kebenaran dari  x P(x), dimana x=bil integer Jwb : Apakah benar minimal ada satu nilai x membuat P(x) menjadi benar? Ternyata benar, maka  x P(x) bernilai true

Existential quantifier   Ex: P(x) = x > 3 , bgm nilai kebenaran dari  x P(x), dimana x=bil integer Jwb : Apakah benar minimal ada satu nilai x membuat P(x) menjadi benar? Ternyata benar, maka  x P(x) bernilai true

Existential quantifier   Ex: P(x)  x = x + 1 , bgm nilai kebenaran dari  x P(x), dimana x=bil integer Jwb : Apakah benar minimal ada satu nilai x membuat P(x) menjadi benar? Ternyata tidak ada satu nilaipun untuk x yang benar, maka  x P(x) bernilai false

EXISTENTIAL QUANTIFIER P(x) : x > 5  x P(x) di-bahasa-kan demikian: “untuk suatu nilai x dalam domain, x > 5” Apakah nilai kebenaran dari  x P(x) jika domain adalah { 1, 2, 3, 4, 5 } { 1..10 } { … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } { 6 }

UNIQUE QUANTIFIER P(x) : x > 5 ! x P(x) di-bahasa-kan demikian: “untuk tepat satu nilai x dalam domain, x > 5” Apakah nilai kebenaran dari ! x P(x) jika domain adalah { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }  benar { 1..10 }  salah { … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }  salah { 6 }  benar

VARIABEL TERIKAT, VARIABEL BEBAS, SCOPE Contoh 1: P(x) : x > 5 dalam proposisi P(4), x P(x), x P(x) variabel x disebut variabel terikat P(4) : x diikat oleh nilai 4 x P(x) : x diikat oleh x x P(x) : x diikat oleh x

VARIABEL TERIKAT, VARIABEL BEBAS, SCOPE Contoh 2: P(x, y) : x + y > 5 P(4, y) x adalah variabel terikat (oleh 4) y disebut variabel bebas y P(x, y) x disebut variabel bebas y diikat oleh y x P(x, y) x diikat oleh x

VARIABEL TERIKAT, VARIABEL BEBAS, SCOPE Contoh 3: x [ P(x)  Q(x) ]  x R(x) scope dari x adalah [ P(x)  Q(x) ] scope dari x adalah R(x)

NEGASI Contoh: Semua mahasiswa di kelas ini lulus dalam matakuliah Fisika. Tidak semua mahasiswa di kelas ini lulus dalam matakuliah Fisika. Domain (x) = { mahasiswa di kelas ini } F(x) : x lulus dalam matakuliah Fisika x F(x) x F(x) ekivalen dengan x [ F(x)]

NEGASI Contoh: Ada mahasiswa dari Lamongan di kelas ini. Tidak ada mahasiswa dari Lamongan di kelas ini. Domain (x) = { mahasiswa di kelas ini } M(x) : x adalah mahasiswa dari Lamongan 1. x M(x) 2.  x M(x) ekivalen dengan x [ M(x)]

Negasi Proposisiekivalen TRUE FALSE NEGASI x P(x) x P(x) x P(x) untuk semua x, P(x) salah / negasi P(x) ada suatu nilai x yang membuat P(x) salah / negasi P(x) ada suatu nilai x yang membuat P(x) benar untuk semua x, P(x) benar

PROPOSISI DENGAN BEBERAPA QUANTIFIER Anggap domain adalah himpunan bilangan nyata (real numbers) x [y (x + y = y +x)] x y (x + y = 0) x y (x + y = 0) x y ( (x > 0)  (y < 0)  xy < 0 )

proposisi TRUE FALSE Ringkasan untuk 2 quantifiers x y P(x, y) y x P(x, y) P(x, y) benar untuk semua pasangan x dan y Ada pasangan x dan y yang membuat P(x, y) salah x y P(x, y) Untuk tiap x ada suatu y yang membuat P(x, y) benar Ada x yang membuat P(x, y) salah untuk tiap y x y P(x, y) Ada x yang membuat P(x, y) benar untuk tiap y Untuk tiap x ada suatu y yang membuat P(x, y) salah x y P(x, y) Ada pasangan x dan y yang membuat P(x, y) benar P(x, y) salah untuk semua pasangan x dan y

Double variable Ex: P(x,y)  x+y = y+x Ex: Q(x,y)  x+y = 0 Bgm nilai kebenaran untuk  x  y P(x,y), dimana x,y = integer ? Jwb : Untuk semua x dan untuk semua y, apakah membuat P(x,y) benar ? Apakah x+y=y+x adalah benar ? Ternyata benar, maka proposisi ini berniali benar Ex: Q(x,y)  x+y = 0 Bgm nilai kebenaran untuk :  y  x Q(x,y)  x  y Q(x,y) Dimana x,y adalah integer

Jwb :  y  x Q(x,y) :  x  y Q(x,y) Min ada 1 nilai y untuk semua/setiap nilai x yang membuat Q(x,y) benar Mis y=2, mk x = -2 , padahal seharusnya 2 ini bisa untuk sembarang nilai x, maka Proposisi ini bernilai  false  x  y Q(x,y) Untuk semua nilai x min ada 1 nilai y yg membuat Q(x,y) benar Mis x=2, mk y=-2 Mis x=3, mk y=-3 Mk => proposisi ini bernilai  true

Triple variable Ex: Q(x,y,z)  x+y = z Bgm nilai kebenaran untuk :  x  y  z Q(x,y,z)  x  y z Q(x,y,z) Dimana x,y,z adalah integer

Jwb :  x  y  z Q(x,y,z) :  x  y z Q(x,y,z) Min ada 1 nilai z untuk semua/setiap nilai x dan y yang membuat Q(x,y,z) benar Mis y=2 dan x = 3 , maka z = 5 Proposisi ini bernilai  benar  x  y z Q(x,y,z) Min ada 1 nilai x untuk semua nilai y dan z yang membuat Q(x,y,z) benar MEmbaca dari kiri ke kanan, Jadi x =1 apakah bisa untuk sembarang nilai y dan z , jawaban  tidak Mk => proposisi ini bernilai  false

PR Halaman 30 Nomor 12-16 Nomor 17-21