PRE UTS Matematika dan Statistik (Ilmu dan Teknologi Lingkungan) Pertemuan 1 Matematika dan Statistik (Ilmu dan Teknologi Lingkungan) Pertemuan 2 Pertemuan 3 Pertemuan 4 Pertemuan 5 Purcell E.J., Varberg D., 2003, KALKULUS, edisi V, Erlangga, Jakarta. Stewart, J., 1998, KALKULUS, edisi IV, Erlangga, Jakarta. Vandermeer, J., 1981, Elementary Mathematical Ecology, Willey, New York. Walpole, R.E., 1995, Pengantar Statistika, edisi III, Gramedia, Jakarta. Pertemuan 6 Pertemuan 7

Definisi Fungsi Operasi pada fungsi Komposisi Fungsi limit Fungsi kontinu F u n g s i Sebuah Fungsi f adalah suatu aturan atau padanan yang menghubungkan tiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi tersebut. Notasi Fungsi memakai sebuah huruf tunggal seperti f (atau g atau F) Pertemuan II 1 2 3 4 5

Daerah Asal dan Daerah Hasil Suatu Fungsi Definisi Fungsi Operasi pada fungsi Komposisi Fungsi limit Fungsi kontinu Daerah Asal dan Daerah Hasil Suatu Fungsi Daerah asal adalah himpunan elemen-elemen pada mana fungsi itu mempunyai nilai. Daerah hasil adalah himpunan nilai-nilai yang diperoleh berdasarkan aturan fungsi Pertemuan II 1 2 3 4 5

Definisi Fungsi Operasi pada fungsi Komposisi Fungsi limit Fungsi kontinu Grafik Fungsi. Bilamana daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan riil, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat. Dan grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y=f(x) Pertemuan II 1 2 3 4 5

Kesimetrian Grafik Pertemuan II Definisi Fungsi Operasi pada fungsi Komposisi Fungsi limit Fungsi kontinu Kesimetrian Grafik Jika f(-x)=f(x), maka grafik simetri terhadap sumbu y. Fungsi yang demikian disebut fungsi genap. Jika f(-x)=-f(x), maka grafik simetri terhadap titik asal. Fungsi yang demikian disebut fungsi ganjil. Pertemuan II 1 2 3 4 5

Fungsi Khusus Pertemuan II Fungsi Nilai Mutlak Definisi Fungsi Operasi pada fungsi Komposisi Fungsi limit Fungsi kontinu Fungsi Khusus Fungsi Nilai Mutlak Fungsi Bilangan Bulat Terbesar = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x Gambarlah grafik dari kedua fungsi tersebut… Apakah kedua fungsi tersebut merupakan fungsi genap ? atau fungsi ganjil ? Pertemuan II 1 2 3 4 5

Operasi pada dua buah fungsi Definisi Fungsi Operasi pada fungsi Komposisi Fungsi limit Fungsi kontinu Operasi pada dua buah fungsi Pertemuan II 1 2

Operasi pada dua buah fungsi Definisi Fungsi Operasi pada fungsi Komposisi Fungsi limit Fungsi kontinu Operasi pada dua buah fungsi Daerah asal fungsi hasil operasi dua fungsi adalah irisan dari daerah asal masing-masing fungsi Pertemuan II 1 2

Definisi Fungsi Operasi pada fungsi Komposisi Fungsi limit Fungsi kontinu Apakah sifat komutatif berlaku pada komposisi fungsi ? Daerah asal dari fungsi komposit g ° f adalah bagian dari daerah asal f untuk mana g dapat menerima f(x) sebagai masukan. Pertemuan II 1

L I M I T Pertemuan II x f(x) 0,9 1,9 0,99 1,99 0,999 1,999 0,9999 Definisi Fungsi Operasi pada fungsi Komposisi Fungsi limit Fungsi kontinu L I M I T x f(x) 0,9 1,9 0,99 1,99 0,999 1,999 0,9999 1,9999 1,1 2,1 1,01 2,01 1,001 2,001 Berapakah ? 2 1 Jawab : 2 Pertemuan II 1 2 3

Limit Kiri dan Limit Kanan Definisi Fungsi Operasi pada fungsi Komposisi Fungsi limit Fungsi kontinu Limit Kiri dan Limit Kanan Ketika x dekat tetapi pada sebelah kanan c Ketika x dekat tetapi pada sebelah kiri c jika dan hanya jika dan Pertemuan II 1 2 3

Pertemuan II Teorema Limit Utama Definisi Fungsi Operasi pada fungsi Komposisi Fungsi limit Fungsi kontinu Teorema Limit Utama Pertemuan II 1 2 3

Pertemuan II Jika f fungsi polinomial atau fungsi rasional, maka Definisi Fungsi Operasi pada fungsi Komposisi Fungsi limit Fungsi kontinu Jika f fungsi polinomial atau fungsi rasional, maka asalkan pada kasus fungsi rasional nilai penyebut di c tidak sama dengan nol Pertemuan II 1 2 3

Definisi Fungsi Kontinu Operasi pada fungsi Komposisi Fungsi limit Fungsi kontinu Definisi Fungsi Kontinu Fungsi f dikatakan kontinu di titik a jika : Pertemuan II 1 2 3