1 1.1 Sistem Bilangan BAB 1. SELANG, KETAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK Himp Bil. real Himp Bil. Immaginair Himp Bil. Irrasional Himp Bil. Rasional Himp Bil. Pecah Pecahan/desimal Himp Bil. Bulat H. Bil. Bulat Negatif H. Bil. Bulat Positif Nol H. Bil. Cacah = Himp Bil Kompleks

2  1.Notasi dari himpunan bilangan riil adalah   dinyatakan sebagai garis lurus x є  dibaca x (sembarang bilangan) anggota dari  Jika x є  dinyatakan sebagai suatu titik di garis x 0-a a x x Bilangan x terletak antara -a dan a dengan titik pusatnya 0

3 2. Urutan Pada Garis Bilangan Riil  Misalkan: x < y dibaca x berada di sebelah kiri y atau x lebih kecil dari y x > y dibaca x berada di sebelah kanan y atau y lebih kecil dari x  x dibaca “ jika dan hanya jika” x < y y-x positif y  yx x<y x>y 3. Sifat urutan Misalkan x, y, z є  a. Trikhotomi : Jika x dan y suatu bilangan, maka berlaku atau atau b. Transitif: jika dan, maka c. Penambahan: d. Perkalian: untuk z bilangan positif, untuk z bilangan negatif e. Relasi urutan dibaca “kurang dari atau sama dengan” dibaca “lebih dari atau sama dengan” positif atau nol

4 4. Sifat-sifat lain Misalkan a,b,c є , maka berlaku a. Jika a 0, maka ac < bc b. Jika a bc c. Jika 0 1/b 5. Selang (interval) Definisi: Selang adalah himpunan bilangan real tertentu yang didefinisikan dan dilambangkan sebagai berikut: PenulisanPenulisan himpunanGrafik (a,b)(a,b) {x є  | a < x < b} [a,b][a,b] {x є  | a ≤ x ≤ b} [a,b) {x є  | a ≤ x < b} (a,b](a,b] {x є  | a < x ∞ b} (a,∞)(a,∞) {x є  | x > a} [a, ∞) {x є  | x ≥ a} (-∞,b) {x є  | x < b} (-∞,b] {x є  | x ≤ b} (-∞, ∞)  a b a b a b a b a a b b

5 6. Ketaksamaan (pertidaksamaan) Definisi: Ketaksamaan adalah pernyataan matematik yang memuat salah satu relasi urutan, atau Penyelesaian ketaksamaan adalah semua bilangan real yang memenuhi ketaksamaan tersebut. Menyelesaikan ketaksamaan: dengan sifat urutan dengan garis bilangan bertanda Contoh: 1. Dengan menggunakan sifat urutan tentukan penyelesaian ketaksamaan berikut. a. -2 < 1 – 5x b. x 2 + 4x = 5 Penyelesaian: a. b.

6 2. Dengan menggunakan garis bilangan bertandaselesaian ketaksamaan berikut a.b. c. d. Jawab: ( garis bilangan digambar kan di lembar tersendiri ) a. b. c. d. tidak punya penyelesaian

7 7. Nilai Mutlak Definisi: Nilai mutlak sebuah bilangan real x є  dinyatakan |a|, adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan riil.  Maka berlaku: Sifat-sifat nilai mutlak Misalkan a, b,x є  dan n є, maka dan 4. Ketidaksamaan segitiga :

8 Contoh (1): Selesaikan pertidaksamaan berikut: a. b. Penyelesaian: a. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah 2,5 5,5 b. Pertidaksamaan dapat dinyatakan sebagai: atau Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

9 Contoh (2): [sifat 7] Selesaikan pertidaksamaan Penyelesaian: Menggunakan sifat 7 diperoleh: untuk diperoleh titik-titik: -13 Diambil titik-titik uji, ditemukan titik-titik didalam yang memenuhi pertidaksamaan tersebut diatas.

10 8. Akar kuadrat : Soal: Tentukan penyelesaian persamaan dan ketaksamaan berikut. Contoh : Dua akar kuadrat dari 7 adalah Rumus Kuadrat : Penyelesaian untuk persamaan adalah