Logika & Himpunan Anggota : Novia Nurfaida (14144100077) Citra Murti Anggraini (14144100078) Anggi Meylia Saraswati (14144100080) Septa Catur Larungkit (14144100081) Anisa Fitriana (14144100099)

KALIMAT DAN PENGHUBUNG KALIMAT Konjungsi, disjungsi, negasi Implikasi material Biimplikasi Urutan mengerjakan operasi menghubungkan kalimat

Variable kalimat, tautology, kontradiksi PEMBUKTIAN Variable kalimat, tautology, kontradiksi Rumus-rumus tautologi Reducsio ad absurdum

Konjungsi, Disjungsi, Negasi Konjungsi ( p^q ) Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. Dengan tabel kebenaran disamping kanan NOPNOP

Disjungsi/ Alternasi ( p˅q ) Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. (Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif). Dengan tabel kebenaran disamping kanan NOPNOP

Ingkaran atau Negasi Ingkaran/Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang diperoleh dengan menambahkan kata ”tidak” atau menyisipkan kata ”bukan” pada pernyataan semula. Ingkaran dari suatu pernyataan p disajikan dengan lambang atau –p atau ~p, dan dibaca: ”tidak p”. Bila peryataan p bernilai benar, maka ingkarannya bernilai salah dan sebaliknya. Dengan tabel kebenaran disamping kanan NOPNOP

Implikasi material Implikasi ( p → q ) Bernilai benar jika konklusinya bernilai benar atau hipotesis dan konklusi kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika hipotesisnya bernilai benar, sedangkan konklusinya salah. Dengan tabel kebenaran disamping kiri CITRA

Biimplikasi Biimplikasi p ↔ q bernilai benar apabila hipotesis dan konklusi kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah. Dengan tabel kebenaran disamping kiri NISA

Terdapat perbedaan antara implikasi dalam keseharian dan implikasi dalam logika matematika. Dalam keseharian, pernyataan hipotesis/anteseden p haruslah memiliki hubungan dengan  pernyataan konklusi/konsekuen q. Terdapat hubungan sebab-akibat. Dalam logika matematika, pernyataan hipotesis/anteseden p tidak harus memiliki hubungan dengan konklusi/konsekuen q NISA

Diberikan pernyataan p dan q. Perbedaan “Implikasi dan Biimplikasi” dengan “Kondisional dan Bikondisional” Diberikan pernyataan p dan q. Pernyataan p mengakibatkan q, dinotasikan dengan , dibaca “jika p maka q” adalah benar kecuali dalam kasus dimana p benar dan q salah. Pernyataan yang seperti ini disebut kondisional. Komponen pernyataan p disebut premis dan q disebut kesimpulan. Pernyataan p jika dan hanya jika q, dinotasikan dengan , dibaca “p jika dan hanya jika q” adalah benar dalam kasus dimana p dan q keduanya benar atau p dan q keduanya salah. Pernyataan yang seperti ini disebut bikondisional. Jika p dan q adalah bentuk pernyataan kondisional yang tautologi, maka pernyataan yang seperti ini disebut implikasi. Jika p dan q adalah bentuk pernyataan bikondisional yang tautologi, maka pernyataan yang seperti ini disebut biimplikasi. “Implikasi itu kondisional tapi kondisional belum tentu implikasi”, begitu juga dengan “biimplikasi itu bikondisional tapi bikondisional itu belum tentu biimplikasi” NISA

(p ˅ q) → p (kondisional) (p ˅ q) → (p ^ q) (kondisional) Contoh (p ˅ q) → p (kondisional) (p ˅ q) → (p ^ q) (kondisional) (p ^ q) ↔ q (bikondisional) (p ^ q) ↔ (q ^ ~p) (bikondisional) p → p (implikasi) (p ^ q) → p (implikasi) ~(~p) ↔ p (biimplikasi) ~(p → q) ↔ (p ^ ~q) (biimplikasi) NISA

Urutan mengerjakan operasi menghubungkan kalimat 1) 2 adalah bilangan prima dan jakarta ibukota negara RI (B) P = 2 adalah bilangan prima (B) Q = Jakarta ibukota negara RI (B) Benar dan benar maka hasilnya benar. 2) 19 merupakan bilangan prima dan 5 merupakan bilangan genap (S) P = 19 merupakan bilangan prima (B) Q = 5 merupakan bilangan genap (S) Benar dan Salah maka hasilnya Salah . 3) Walaupun 2 bilangan ganjil, matahari terbit dari timur (S) P = 2 bilangan ganjil (S) Q = matahari terbit dari timur (B) Salah dan Benar maka hasilnya Salah . 4) Ayam termasuk binatang buas tetapi 2 + 3= 6 (S) P = Ayam termasuk binatang buas (S) Q = 2 + 3 =6 (S) Salah dan Salah maka hasilnya Salah . K O N J U G S I CITRA

3 + 4 ≤ 12 atau 3 +4 adalah bilangan genap (B) 3 + 4 ≤ 12 (B) 3 +4 adalah bilangan genap (S) benar atau salah maka hasilnya Benar 2) 3 adalah bilangan prima atau bilangan ganjil (B) 3 adalah bilangan prima (B) 3 adalah bilangan ganjil (B) benar atau benar maka hasilnya Benar 3) 2 atau 3 adalah faktor dari 15 (B) 2 adalah faktor dari 15 (S) 3 adalah faktor dari 15 (B) salah atau benar maka hasilnya Benar 4) x2 ≥ 0 atau x2 + 1 > 0 untuk setiap x ∈R (B) x2 ≥ 0 untuk setiap x ∈R (B) x2 + 1 > 0 untuk setiap x ∈R (B) D I S J U N G CITRA

1) P : Semarang adalah Ibu kota Provinsi Jawa Tengah (B) ~ p : Tidak benar Semarang adalah Ibu kota Provinsi Jawa Tengah (S) ~ p : Semarang bukan ibukota Provinsi Jawa Tengah (S)   2) q : 2 adalah bilangan prima genap (B) ~q : 2 bukan bilangan prima genap (S) 3) r : semua sawah ditanami padi (S) ~r : Tidak benar semua sawah ditanami padi (B) ~r : Ada Sawah yang tidak ditanami padi (B) N E G A S I CITRA

Alasan benar, kesimpulan salah. Jadi, implikasi bernilai salah Jika log 10 = 1, maka log 20 =2 (S) log 10 = 1 (B) log 20 =2 (S) Alasan benar, kesimpulan salah. Jadi, implikasi bernilai salah 2) Jika 23 x 22 = 26 , maka 2log 32 = 5 (B) 23 x 22 = 26 (S) 2log 32 = 5 (B) Alasan salah, kesimpulan benar. Jadi, implikasi bernilai benar. 3) Jika 3 bilangan irrasional, maka 3 bentuk akar (B) 3 bilangan irrasional (B) 3 bentuk akar (B) Alasan benar, kesimpulan benar. Jadi, implikasi bernilai benar. 4) Jika Semua binatang burung dapat terbang, maka Semua ikan bernafas dengan insang (B) Semua binatang burung dapat terbang (S) Semua ikan bernafas dengan insang (S) Alasan salah, kesimpulan salah. Jadi, implikasi bernilai benar. I M P L K A S SEPTA

5) Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda padat (B) 4 + 7 = 10 (S) Alasan salah, kesimpulan benar. Jadi, implikasi bernilai benar. 6) Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair (S) 6 + 9 = 15 (B) besi adalah benda cair (S) Alasan benar, kesimpulan salah. Jadi implikasi bernilai salah. 7) Jika cos 30°= 0,5 maka 25 adalah bilangan ganjil. cos 30°= 0,5 (S) 25 adalah bilangan ganjil (S) Alasan salah, kesimpulan salah. Jadi, implikasi bernilai benar. SEPTA

1) 4x – 2 =10 jika dan hanya jika log 4 + log 1 = log 5 2) Log 16 = (log 4)2 jika dan hanya jika x2 – 16 =0 Jawab : 1) log 4 + log 1 = log 5 atau q bernilai S, agar biimplikasi bernilai S, maka p harus bernilai B sehingga 4x – 2 = 10 4x = 12 x = 3   2) Log 16 = (log 4)2 atau p bernilai S, agar biimplikasi bernilai S maka q harus bernilai B sehingga x2 – 16 =0 x2 = 16 x = ± 4 sehingga x =4 atau x = - 4 B I M P L K A S ANGGI

Variable kalimat, tautology, kontradiksi Variabel kalimat adalah sebuah pernyataan majemuk yang dapat bernilai benar atau salah, bergantung pada nilai-nilai kebenaran dari variabel-variabel pernyataannya. Variabel kalimat adalah kalimat yang memuat variabel atau peubah, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Contoh : 1) 12x – 1= 3 2) y2 – 4y – 3 =5 3) ini adalah benda cair Kalimat kalimat diatas belum dapat diketahui nilai kebenarannya sebelum ditetapkan pengganti dari x, y dan ini. x,y dan ini disebut variabel atau peubah. nop

12x - 1=23 jika x = 2 diperoleh 12(2) – 1=23 (bernilai benar). Dari persamaan : 12x - 1=23 jika x = 2 diperoleh 12(2) – 1=23 (bernilai benar). Jika x =7 diperoleh 12(7) – 1 =23 (bernilai salah).   Nilai x = 2, mengubah kalimat terbuka 12x -1=23 menjadi pernyatan yang bernilai benar. Nilai x = 2 disebut penyelesaian dari kalimat terbuka 12x - 1=23. Himpunan yang anggotanya merupakan semua penyelesaian dari kalimat terbuka disebut himpunan penyelesaian. cit

Tautologi Perhatikan bahwa beberapa pernyataan selalu bernilai benar. Contoh pernyataan: “Junus masih bujang atau Junus bukan bujang” akan selalu bernilai benar tidak bergantung pada apakah junus benar-benar masih bujang atau bukan bujang. Jika p : junus masih bujang, dan ~p : junus bukan bujang, maka pernyataan diatas berbentuk p ∨ ~p. (coba periksa nilai kebenarannya dengan menggunakan tabel kebenaran). Setiap pernyataan yang bernilai benar, untuk setiap nilai kebenaran komponen-komponennya, disebut tautologi. ang

Kontradiksi Setiap pernyataan yang selalu bernilai salah, untuk setiap nilai kebenaran dari komponen-komponen disebut kontradiksi. Karena kontradiksi selalu bernilai salah, maka kontradiksi merupakan ingkaran dari tautologi dan sebaliknya. SEPTA

Contoh dari Kontradiksi: 1. (A ʌ ~A) Pembahasan: Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah. 2.      P ʌ (~p ʌ q) Pembahasan: Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F). A ~A (A ʌ ~A) B S p q ~p (~p ʌ q) P ʌ (~p ʌ q) B S nisa

Rumus-rumus Tautologi 1) Komutatif p ^ q ⇔ q ^ p p q p ^ q q ^ p p ^ q ⇔ q ^ p B S nop

2) Distributif p ˅ (q ^ r) ⇔ (p ˅ q) ^ (p ˅ r) cit

3) Asosiatif p ˅ (q ˅ r) ⇔ (p ˅ q) ˅ r B S ang

Reducsio ad absurdum reductio ad absurdum adalah argumen logika yang dimulai dengan suatu asumsi, lalu dari asumsi tersebut diturunkan suatu hasil yang tidak masuk akal, atau kontradiktif, sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa asumsi tadi adalah salah (dan ingkarannya benar). Dalam disiplin matematika dan logika, pembuktian melalui kontradiksi merujuk secara khusus kepada argumen dimana sebuah kontradiksi dihasilkan dari suatu asumsi (sehingga membuktikan asumsi tadi salah) septa

Daftar Pustaka Munir, Rinaldi. 2005. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika. Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika. Jakarta: Erlangga. Limbong, A dan A. Prijono. 2006. Matematika Diskrit. Bandung: CV Utomo. Soesianto, F dan Djoni Dwijono.2003. Logika Proposisional. Yogyakarta: Andi. Upschutz, Seymour dan Marc Lars Lipson. 2008. Matematika Diskrit. Jakarta: Erlangga