FUNGSI DUA VARIABEL ATAU LEBIH MISBAHUL MUNIR (13310192) 3F UNIVERSITAS PGRI SEMARANG

Fungsi Dua Variabel CONTOH SOAL PEMBAHASAN MENU CONTOH SOAL PEMBAHASAN FUNGSI TIGA VARIABEL 52123E37

Fungsi Dua Variabel Peubah z disebut fungsi dari dua peubah x dan y jika untuk setiap pasangan (x,y) ϵ 𝑅 2 terdapat satu dan hanya satu nilai z. Selanjutnya dinotasikan : z = f(x,y) ϵ 𝑅 2 (bentuk ekspilsit). Himpunan (x,y) disebut daerah definisi (domain), himpunan nilai z disebut daerah nilai (codomain). Himpunan nilai z yang memiliki kaitan dengan (x,y) disebut jelajah (range). NEXT MENU 52123E37

Pada fungsi, terdapat beberapa istilah penting, di antaranya: - Domain yaitu daerah asal fungsi f dilambangkan dengan Df. - Kodomain yaitu daerah kawan fungsi f dilambangkan dengan Kf. - Range yaitu daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari kodomain. Range fungsi f dilambangkan dengan Rf. NEXT BACK 52123E37

Seperti halnya pada fungsi satu peubah ditulis y = f(x) ( y dipandang sebagai fungsi x atau y variabel tak bebas dan x variabel bebas), kadang-kadang dituliskan x = g(y) (x dipandang fungsi dari y atau x variabel tak bebas dan y variabel bebas). NEXT BACK 52123E37

Demikian juga pada fungsi 2 variabel dapat ditulis : - z = f(x, y) , z dipandang fungsi dari x dan y - y = f(x, z), y dipandang fungsi dari x dan z - x = f(y, z), x dipandang fungsi dari y dan z Namun demikian, untuk mempermudah dalam pembahasan ini (juga pada buku-buku pada umumnya), kita akan lebih sering menggnakan cara penulisan yang pertama yaitu z = f(x, y). MENU 52123E37

CONTOH SOAL 1. Misalkan f(x, y) = 𝑒 − ( 𝑥 2 + 𝑦) . Carilah nilai setiap berikut serta apakah daerah asal alami untuk fungsi ini ? (a) f(2, 1) (b) f(3, -12) (c) f(4, -16) 2. Misalkan f(x, y) = 𝑥 𝑖𝑛 𝑦 . Carilah setiap nilai berikut serta apakah daerah asal alami untuk fungsi ini ? (a) f(36, 7) (b) f(4, -10) (c) f(-16, 0) MENU 52123E37

PEMBAHASAN (b) f(3, -12) = 𝑒 − ( 3 2 + −12 ) = 𝑒 − (9−12) = 𝑒 3 = 20,085 (c) f(4, -16) = 𝑒 − ( 𝑥 2 + 𝑦) = 𝑒 − ( 4 2 +(−16)) = 𝑒 − (16−16) = 𝑒 0 = 1 1. Langkah 1 Substitusikan pada fungsi f(x, y) = 𝑒 − ( 𝑥 2 + 𝑦) , maka di dapat: (a) f(2, 1) = 𝑒 − ( 2 2 + 1) = 𝑒 (−5) = 0,00674 NEXT 52123E37

Langkah 2 Memilih mana yang merupakan daerah asal atau bukan dari langkah 1, maka didapat: Yang merupakan daerah asal yaitu (a), (b), dan (c) Langkah 3 Menyimpulkan dari langkah 1 dan langkah 2, maka didapat: Daerah asal alami {(x, y): -∞ ≤ x ≤ ∞, -∞ ≤ y ≤ ∞} NEXT BACK 52123E37

(b) f(4, -10) f(4, -10) = 4 𝑖𝑛−10 = 2 𝑖𝑛−10 = tidak bisa (c) f(-16, 0) f(-16, 0) = −16 𝑖𝑛 0 = bil. imajiner 2. Langkah 1 Substitusikan pada fungsi f(x, y) = 𝑥 𝑖𝑛 𝑦 , maka didapat: (a) f(36, 7) f(36, 7) = 36 𝑖𝑛 7 = 6 2 = 3 NEXT BACK 52123E37

Langkah 2 Memilih mana yang merupakan daerah asal atau bukan dari langkah 1, maka didapat: Yang merupakan daerah asal yaitu (a), Yang bukan merupakan daerah asal yaitu (b) dan (c) Langkah 3 Menyimpulkan dari langkah 1 dan langkah 2, maka didapat: Daerah asal alami {(x, y): x > 0, y > 0} NEXT BACK 52123E37

Fungsi Tiga Variabel Fungsi tiga variable (x, y, z) dengan cara memplot permukaan-permukaan ketinggian yakni permukaan di ruang tiga-dimensi yang menuju ke nilai konstanta untuk fungsi. Daerah asal alami fungsi tiga variable atau lebih adalah himpunan semua triple terurut yang bersifat bahwa fungsi masuk akal dan memberikan sebuah bilangan real. MENU 52123E37

CONTOH SOAL 1. Misalkan g(x, y, z) = x2 sin yz. Carilah setiap nilai berikut serta apakah daerah asal alami untuk fungsi ini ? (a) g(1, π, 2) (b) g(2, 1, π/6) (c) g(4, 2, π/4) (d) g(π, π, π) 2. Misalkan g(x, y, z) = 𝑥 cos 𝑦 + z2. Carilah setiap nilai berikut serta apakah daerah asal alami untuk fungsi ini ? (a) g(4, 0, 2) (b) g(-9, π, 3) (c) g(2, π/3, -1) (d) g(3; 6; 1,2) MENU 52123E37

PEMBAHASAN 1. Langkah 1 Substitusikan pada fungsi g(x, y, z) = x2 sin yz, maka didapat: (a) g(1, 3π/4, 2) = 12 sin 3π/2 = -1 (b) g(2, 1, π/6) = 22 sin π/6 = 4 x ½ = 2 (c) g(4, 2, π/4) = 42 sin π/2 = 16 x 1 = 16 (d) g(π, π, π) = π2 sin π2 = 0 NEXT 52123E37

Langkah 2 Memilih mana yang merupakan daerah asal atau bukan dari langkah 1, maka Didapat hasil dari (b) dan (c) bernilai bil. Asli sedangkan (a) dan (d) tidak. Langkah 3 Menyimpulkan dari langkah 1 dan langkah 2, maka didapat: daerah asal alami {(x, y, z): -∞ < x < ∞, -∞ ≤ y≤ ∞, z > 0} NEXT BACK 52123E37

2. Langkah 1 Substitusikan pada fungsi g(x, y, z)= 𝑥 cos 𝑦 + z2, maka didapat: (a) g(4, 0, 2) = 4 cos 0 + 22 = 4 𝑥 1 + 22 = 2 + 4 = 6 (b) g(-9, π, 3) = −9 cos 𝜋 + 32 = (−9)(−1) + 9 = 3 + 9 = 12 (c) g(2, π/3, -1) = 2 cos 𝜋/3 + (-1)2 = 2 𝑥 1/2 + 1 = 1 + 1 = 2 (d) g(3; 6; 1,2) = 3 cos 6 + (1,2)2 NEXT BACK 52123E37

Langkah 2 Memilih mana yang merupakan daerah asal atau bukan dari langkah 1, maka : Didapat hasil dari (a), (b) dan (c) bernilai bil. Asli sedangkan (d) tidak. Langkah 3 Menyimpulkan dari langkah 1 dan langkah 2, maka didapat: Daerah asal alami {(x, y, z): x > 0, -∞ ≤ y ≤ ∞, -∞ < z < ∞} NEXT BACK 52123E37

LATIHAN 1) Misalkan f(x, y) = xy + 𝑥 . Carilah nilai setiap berikut serta apakah daerah asal alami untuk fungsi ini ? (a) f(1, 3) (d) f(a9, a) (b) f(0, 5) (e) f(x4, 1/x) (c) f(4, 2) (f) f(-6, 4) 2) Misalkan f(x) = x2/2 . cos y. Carilah nilai setiap berikut serta apakah daerah asal alami untuk fungsi ini ? (a) f(6, 0) (c) f(2, π/3) (b) f(-4, π) (d) f(5, -7) NEXT BACK 52123E37

3) Misalkan g(x, y, z) = y2 sin xz 3) Misalkan g(x, y, z) = y2 sin xz. Carilah nilai setiap berikut serta apakah daerah asal alami untuk fungsi ini ? (a) g(1/2, 3, π) (c) g(4, 6, π/6) (b) g(2, 4, π/3) (d) g(4, 7, 3π/8) 4) Misalkan g(x, y, z) = 𝑥 2 𝑦 sin 𝑧 2 . . Carilah nilai setiap berikut serta apakah daerah asal alami untuk fungsi ini ? (a) g(2, 16, π) (c) g(5, 64, π/2) (b) g(4, 9, π/6) (d) g(7, -12, 72) NEXT BACK 52123E37

5) Misalkan f(x, y, z) = 𝑦𝑧 𝑥 + 𝑒 2𝑥𝑧 5) Misalkan f(x, y, z) = 𝑦𝑧 𝑥 + 𝑒 2𝑥𝑧 . Carilah nilai setiap berikut serta apakah daerah asal alami untuk fungsi ini ? (a) f(2, 2, 8) (b) f(-4, -4, -25) (c) f(5, 16, 0) NEXT BACK 52123E37

TERIMAKASIH SEMOGA BERMANFAAT