Aljabar Logika. 1. Kalimat Deklarasi. 2. Penghubung Kalimat. 3 Aljabar Logika 1. Kalimat Deklarasi 2. Penghubung Kalimat 3. Tautologi dan Kontradiksi 4. Konvers, Invers dan Kontraposisi 5. Inferensi Logika: 1. Argumen Valid dan Invalid 2. Metode-metode Inferensi. Oleh: Eko Listiwikono

Pendahuluan Logika adl Ilmu yg mempelajari tentang penalaran yg berhubungan dg pembuktian validitas suatu argumen. Argumen yg berisi pernyataan-pernyataan hrs dirubah menjadi bentuk logika untuk dpt dibuktikan validitasnya. Cara membuat ke dalam bentuk logika, argumen hrs dirubah menjadi proposisi-proposisi selanjutnya proposisi dirubah manjadi variabel proposisi dgn huruf . Setiap variabel proposisi ditentukan nilainya dan dimanipulasi dg cara tertentu untuk mendapatkan nilai kebenarannya. Contoh-contoh argumen yg valid dan yg biasa dipakai adl. Disjunctive Sillogism, Hypothetical Sillogism, Modus ponen, dan Modus Tollens Argumen,premis/kesimpulan,proposisi/pernyataan semua berbentuk kalimat. Proposisi dinotasikan dg huruf abjad dan diberi nilai benar atau salah Ekspresi terdiri dari notasi dan perangkai ini juga disebut logika

PROPOSISI Proposisi atau kalimat dalam logika, biasanya berupa Kalimat sederhana Kalimat kompleks, dg komposisi kalimat menggunakan operator logika Kalimat sederhana biasanya berupa Simbol konstanta : true dan false (benar dan salah) Simbol variabel proposisi : p,q,r,,p1,q1,…

2. KATA PENGHUBUNG (OPERATOR LOGIKA) lprop: sintaks - LFD - 2007 2. KATA PENGHUBUNG (OPERATOR LOGIKA) Simbol Arti argument Ekivalensi  Negasi Target Tidak  Konjungsi Conjunction Dan  Disjungsi Disjunction Atau  Implikasi Antecendent/premise dan consequent/conclusion Jika … maka Bi-implikasi Consequent/conclusion …jika dan hanya jika…

Definisi kalimat/proposisi : lprop: sintaks - LFD - 2007 Definisi kalimat/proposisi : Setiap konstanta logika true dan false adalah proposisi Variabel logika p,q,r,,p1,q1,… adalah proposisi Jika  dan  adalah proposisi maka   ,   ,    dan  adalah proposisi Tidak ada bentuk lain yang merupakan proposisi

MEREPRESENTASIKAN FAKTA lprop: sintaks - LFD - 2007 MEREPRESENTASIKAN FAKTA Proposisi bisa merepresentasikan kalimat berita p : saya malas belajar q : saya lulus kuliah p  q : saya malas belajar dan lulus kuliah p  q : jika saya malas belajar, maka saya tidak lulus kuliah

Ambigu : mempunyai banyak arti lprop: sintaks - LFD - 2007 AMBIGUITY Ambigu : mempunyai banyak arti Contoh : pqr berarti p(qr ) atau (pq)r Untuk menghilangkan ambiguity bisa menggunakan ( dan ) atau prioritas operator (precedence)

OPERATOR PRECEDENCE Operator Precedence arti  1(negasi) Tidak  lprop: sintaks - LFD - 2007 OPERATOR PRECEDENCE Operator Precedence arti  1(negasi) Tidak  2(konjungsi) Dan  3(Disjungsi) Atau  4(Implikasi) Jika…maka.. 5(Bi-Implikasi) …jika dan hanya jika…

TABEL KEBENARAN DARI KATA PENGHUBUNG q  p Q P  q P  q P  q P q T F

Negasi dari kalimat penghubung 1. Konjungsi, (p  q) =  p v  q contoh : 1. tentukan negasi dari : a. Amir pergi ke kota dan Amir membeli buku b. 4 + 5 = 9 dan 9 adalah bilangan prima 2. tunjukkan dengan membuat tabel kebenaran dari : (p  q) =  p v  q 2. Disjungsi :  (p v q) = p  q contoh : tentukan negasi dari : a. 8 membagi habis 36 atau 8 habis dibagi 3

b. yogyakarta terletak di jawabarat atau 4 + 7 =11 2 b. yogyakarta terletak di jawabarat atau 4 + 7 =11 2. tunjukkan dengan membuat tabel kebenaran dari : (p v q) = p  q 3. Implasi : (p q) = p  q contoh : 1. tentukan negasi dari : a. jika Siti tidak pergi ke jakarta, maka Siti kena musibah b. jika kamu pingin sehat, maka perlu olahraga dengan teratur 2. tunjukkan dengan membuat tabel kebenaran dari : (p q) = p  q

4. bi-implikasi :(p q)= (p  q) v (q  p) contoh : 1 tentukan negasi dari : a. 7 suatu bilangan prima jhj 7 membagi habis 42 b. Amir dibelikan motor jhj Amir punya pacar 2. tunjukkan dengan membuat tabel kebenaran dari : (p q) = (p  q) v (q  p)

CONTOH SOAL : 1. Misal : p : Andy orang kaya q : Andy bersuka cita Tulislah bentuk simbolis kalimat-kalimat berikut : a. Andy orang yang miskin tetapi bersukacita b. Andy orang kaya atau ia sedih c. Andy tidak kaya ataupun bersukacita d. Andy seorang yang miskin atau ia kaya tetapi sedih Jawab :…..

2. Buatlah tabel kebenaran untuk kalimat dalam bentuk simbol-simbol logika di bawah ini! a.  (p  q) b. (p q) c. (p q)  (p  q) d. (p (q r))  (q  r)  (p  r) 3. Tuliskan dalam bentuk simbol negasi dari : a. konjungsi b. disjungsi c. implikasi d. bi-implikasi e.tunjukkan dalam tabel kebenaran

Beberapa hukum ekuivalen dalam logika : 1 Beberapa hukum ekuivalen dalam logika : 1.Hukum komutatif p  q q  p; p  q q  p 2. Hukum asosiatif (p  q)  r p  (q  r) (p  q)  r p  (q  r) 3. Hukum distributif p  (q  r) (p  q)  (p  r) p  (q  r) (p  q)  (p  r) 4. Hukum identitas p  T p p  F p 5. Hukum ikatan p  T T p  F F 6. Hukum negasi p  p T p  p F 7. Hukum negasi ganda (p) p 8. Hukum idempoten p  p p p  p p

9. Hukum de morgan (p  q) p  q (p  q) p  q 10 9. Hukum de morgan (p  q) p  q (p  q) p  q 10. Hukum absorbsi p  (p  q) p p  (p  q) p 11. Negasi T dan F T F F T

Soal : 1. Sederhanakan bentuk (p  q)  (p  q) 2 Soal : 1. Sederhanakan bentuk (p  q)  (p  q) 2. Buktikan ekuivalensi kalimat-kalimat berikut tanpa menggunakan tabel kebenaran a. (p  q) (p  q) p b. ((p q)  (p  q)) v (p  q) p c. (p ((p q)))v (p  q) p 3. Buktikan ekuivalensi berikut tanpa menggunakan tabel kebenaran a. (q p) (p q) b. (p (q r)) ((p  q) r)

3. Tautologi dan kontradiksi Tautologi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai benar, tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya. Sebaliknya kontradiksi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai salah, tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya

Contoh : tunjukkan bahwa kalimat-kalimat di bawah ini adalah tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran. a. (p  q) q b. q (p v q) c. tunjukkan bahwa (p q) (q p) merupakan suatu tautologi

4. Konvers, invers, dan kontraposisi Misal diketahui implikasi p q Konversnya adalah q p Inversnya adalah p q Kontraposisinya adalah q p konvers invers kontraposisi invers P q q p q  p p q

Contoh : apakah konvers, invers, dan kontraposisi nya kalimat di bawah ini : a. jika A merupakan suatu bujungsangkar, maka A merupakan suatu empat persegi panjang b. jika n adalah bilangan prima>2, maka n adalah bilangan ganjil

5. Inferensi logika Adalah penyusunan argumentasi sehingga menjadi absah(valid) 5.1 Argumen valid dan invalid dalam argumen yang akan di tentukan valid dan invalidnya terdiri dari hipotesis atau asumsi atau premise dan kesimpulan atau konklusi. secara umum di gambarkan sbb: p1 =……………. P1 = premise pertama p2 =……………. P2 = premise kedua k =……………... K = kesimpulan

1. Susunan argumen menurut modus ponens P1 : p q (premis) P2 : p (premis) K : q (kesimpulan) contoh : jika siti masuk kuliah maka di belikan motor siti masuk kuliah siti di belikan motor 2. Susunan argumen menurut modus tollens P1 : p q (premis) P2 :  q (premis) K :  p (kesimpulan)

Contoh : jika Andi lulus ujian maka Andi memperoleh hadiah Andi tidak memperoleh hadiah Andi tidak lulus ujian 3. Susunan argumen menurut modes tollendo ponens P1 : p v q (premis) P2 : - p (premis) K : q (kesimpulan) Pagi ini Joni pergi kuliah atau Joni pergi ke toko Pagi ini Joni tidak pergi ke toko Pagi ini Joni masuk kuliah

4. Susunan argumen menurut aturan Silogisme P1 : p q (premis) P2 : q r (premis) K : p r (kesimpulan) Contoh : jika Anik rajin belajar maka Anik lulus ujian jika Anik lulus ujian maka Anik memperoleh hadiah Jika Anik rajin belajar maka Anik memperoleh hadiah

p v q 5. Dilema (pembagian dalam beberapa kasus) Secara simbolis bentuk metode inferensi dilema adalah sebagai berikut : p v q p r q r r Contoh : Nanti malam Adi mengajak saya nonton atau mengajak saya makan di restoran jika Adi mengajak saya nonton maka saya akan senang jika Adi mengajak saya makan di restoran maka saya akan senang Nanti malam saya akan senang

Tabel bentuk inferensi : ATURAN BENTUK ARGUMEN Modus Ponen P Q P q Modus Tollen p q  q  p Penambahan disjungtif p v q Penyederhanaan konjungtif p  q p

Silogisme disjungtif p v q  p q  q p Silogisme Hipotesis p q q r p r Dilema p r r konjungsi p  q

Contoh : Pada suatu hari anda hendak pergi ke kampus dan baru sadar anda tidak memakai kacamata. Setelah mengingat-ingat ada beberapa fakta yang anda pastikan kebenarannya : a.Jika kacamataku ada di meja dapur, maka aku pasti sudah melihatnya ketika sarapan pagi b. Saya membaca koran di ruang tamu, atau saya membacanya di dapur. c. Jika saya membaca koran diruang tamu, maka pastilah kacamata kuletakkan di meja tamu d. Saya tidak melihat kacamataku pada waktu sarapan pagi.

e. Jika saya membaca buku diranjang, maka kacamata kuletakkan di meja samping ranjang f. Jika saya membaca koran di dapur, maka kacamataku ada di meja dapur. Berdasarkan fakta tersebut maka tentukan di mana letak kacamata anda Penyelesaian : untuk memudahkan pemahaman dan penggunaan hukum inferensi,kalimat tersebut lebih dahulu dinyatakan dalam simbol logika.misal: p : Kacamataku ada di meja dapur q : aku melihat kacamataku ketika sarapan pagi

r : saya membaca koran di ruang tamu s : saya membaca koran di dapur t : kacamata kuletakkan di meja tamu u : saya membaca buku di ranjang w : kacamata kuletakkan di meja samping ranjang Dengan simbol tersebut fakta di atas dapat dituliskan sebagai berikut ; a. p q d.  q b. r v s e. u w c. r t f. s p

Inferensi yang dapat dilakukan adalah sebagai berikut : 1 Inferensi yang dapat dilakukan adalah sebagai berikut : 1. p q fakta (a)  q fakta (d)  p dengan modus tollen 2. s p fakta (f)  p kesimpulan (1)  s dengan modus tollen 3. r v s fakta (b)  s kesimpulan (2) r

4. r t fakta (c) r kesimpulan (3) t dengan modus ponen Kesimpulan : kacamata ada di meja tamu Perhatikan bahwa untuk mencapai kesimpulan akhir, tidak semua fakta dipergunakan.dalam contoh 1.25, fakta (e)tidak dipergunakan hal itu tidak menjadi masalah selama penurunan dilakukan menggunakan metode inferensi yang benar .

Contoh 1.26 Buktikan kevalidan argumen di bawah ini menggunakan prinsip-prinsip inferensi logika p  q (p v q) r r 1. p  q hipotesa p penyederhanaan konjungtif p 2. P hasil dari (1) p v q penambahan disjungtif

3. (p v q) r hipotesa (p v q) hasil dari (2) r modus ponen Terbukti bahwa argumen p  q (p v q) r r SOAL-SOAL LATIHAN 1. Tentukan mana diantara pernyataan berikut yang merupakan proposisi : a. 64 = 26

b. 1024 adalah bilangan bulat 4 digit terkecil yang merupakan kuadrat suatu bilangan bulat c. Pascal adalah bahasa pemograman yang terbaik d. X = 25 tulislah tabel kebenaran pernyatan di bawah ini : 2. p  q 3. (p  q)v (p v q) 4. p  (q  r) 5. p  (q v r) 6. (p v (p v q))  (q  r) 7. p v q q 8. p  r q v r

9. P v (p  q) q 10. (p  (q r))v(q  r)v(p  r) 11 9. P v (p  q) q 10. (p  (q r))v(q  r)v(p  r) 11. Misalkan : p : David sedang bermain di kolam q : David ada di dalam rumah r : David sedang mengerjakan pr s : David sedang mendengarkan radio Nyatakanlah kalimat-kalimat di bawah ini dengan simbol-simbol logika beserta penghubungnya a. David sedang bermain di kolam atau ia ada di dalam rumah.

b. David tidak bermain di kolam dan tidak sedang mengerjakan pr c b. David tidak bermain di kolam dan tidak sedang mengerjakan pr c. David sedang bermain di kolam dan tidak sedang mengerjakan pr d. David ada di dalam rumah sedang mengerjakan pr sambil mendengarkan radio dan ia tidak bermain di kolam e. Jika David ada di dalam rumah dan tidak mengerjakan pr, ia pasti sedang bermain di kolam sambil mendengarkan radio f. David sedang mendengarkan radio jika ia ada di dalam rumah