Landasan Matematika Untuk Kriptografi Oleh Asep Budiman K

Pendahuluan Perlu latar belakang matematika untuk memahami kriptografi. Materi matematika yang utama untuk kriptografi adalah matematika diskrit.

Materi Matematika untuk Kriptografi: Relasi dan Fungsi Teori Bilangan - Integer dan sifat2 pembagian - Algoritma Euclidean - Aritmetika modulo - Bilangan prima Kombinatorial Probabilitas dan Statistik

Materi <Lanjut…> Kompleksitas algoritma Teori informasi Aljabar Abstrak (field, ring, group, Galois field)

Teori Informasi Mendefinisikan jumlah informasi di dalam pesan sebagai jumlah minimum bit yang dibutuhkan untuk mengkodekan pesan. Contoh: - 1 bit untuk mengkodekan jenis kelamin - 3 bit untuk mengkodekan nama hari - 4 bit untuk mengkodekan 0 s/d 9

Entropy:ukuran yang menyatakan jumlah informasi di dalam pesan. Biasanya dinyatakan dalam satuan bit. Entropi berguna untuk memperkirakan jumlah bit rata-rata untuk mengkodekan elemen dari pesan. Contoh: entropi untuk pesan yang menyatakan jenis kelamin = 1 bit, entropi untuk pesan yang menyatakan nama hari = 3 bit

Secara umum, entropi pesan dihitung dengan rumus: X = pesan pi = peluang kemunculan simbol ke-i

Contoh: pesan X = ‘AABBCBDB’ n = 4 (A, B, C, D) p(A) = 2/8, p(B) = 4/8 p(C) = 1/8, p(D) = 1/8 H(X) = – 2/8 log2(2/8) – 4/8 log2(4/8) – 1/8 log2(1/8) – 1/8 log2 (1/8) = 14/8 = 1,75 Berarti setiap simbol dikodekan sebanyak 1,75 bit

Entropi sistem kriptografi adalah ukuran ruang kunci, K. Misal, sistem kriptografi dengan kunci 64-bit mempunyai entropi 64 bit. Makin besar entropi, makin sulit memecahkan cipherteks.

Medan (Field) Medan adalah himpunan elemen dengan dua jenis operasi, perkalian dan penjumlahan. Sebuah medan disebut berhingga (finite field) jika himpunannya memiliki jumlah elemen yang berhingga.

Medan Berhingga Fp Fp adalah adalah himpunan bilangan bulat {0, 1, 2, …, p – 1} dengan p prima dan operasi aritmetika sbb: 1. Penjumlahan Jika a, b  Fp, maka a + b = r r adalah sisa hasil pembagian a + b dengan p 0  r  p - 1

2. Perkalian Jika a, b  Fp, maka a  b = s s adalah sisa hasil pembagian a  b dengan p 0  s  p - 1

Contoh: F23 mempunyai anggota {0, 1, 2, …, 22} Contoh: F23 mempunyai anggota {0, 1, 2, …, 22}. Contoh operasi aritmetika: 12 + 20 = 9 (karena 32 mod 23 = 9) 8  9 = 3 (karena 72 mod 23 = 3)

Medan Galois (Galois Field) Medan Galois adalah medan berhingga dengan pn elemen, p adalah bilangan prima dan n  1. Notasi: GF(pn) Kasus paling sederhana: bila n = 1  GF(p) dimana elemen-elemennya dinyatakan di dalam himpunan {0, 1, 2, …, p – 1} dan operasi penjumlahan dan perkalian dilakukan dalam modulus p.

GF(2): + 0 1  0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 GF(3): + 0 1 2  0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 1 1 2 0 1 0 1 2 2 2 0 1 2 0 2 1