Indikator Pencapaian: Standar Kompetensi 3: Menggunakan konsep Matriks, Vektor dan Transformasi dalam pemecahan masalah. SK dan KD Kompetensi Dasar 3.4. Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah. Materi KD 3.4 Materi KD 3.5 Indikator Pencapaian: Menjelaskan pengertian vektor sebagai besaran yang memiliki arah. Menentukan panjang suatu vektor pada bidang dan ruang Menentukan operasi aljabar vektor. Menggunakan sifat-sifat operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah Menggunakan rumus perbandingan vektor Soal Ujian KD Soal-soal UAN

Indikator Pencapaian: Standar Kompetensi 3: Menggunakan konsep Matriks, Vektor dan Transformasi dalam pemecahan masalah. SK dan KD KOMPETENSI DASAR 3.5 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah. Materi KD 3.4 Materi KD 3.5 Soal Ujian KD Indikator Pencapaian: Menentukan hasil kali skalar dua vektor dalam bidang dan ruang Menentukan sifat-sifat perkalian skalar dua vektor Menentukan vektor proyeksi vektor pada vektor lain Soal-soal UAN

1. Pengertian dan Notasi Vektor Letak suatu benda ditentukan oleh posisinya terhadap sumbu-sumbu koordinat, misalnya posisi pada suatu permukaan bumi ditentukan oleh posisinya terhadap garis lintang dan garis bujur sebagai sumbu koordinat. Untuk menghitung berapa panjang, lebar, atau luas suatu daerah atau benda, digunakan alat ukur seperti meteran. Hasil pengukuran tersebut biasanya nilainya ditulis dalam bentuk bilangan dan diikuti dengan satuan ukuran seperti meter. Salah satu contoh; luas papan tulis white board adalah 2,88 m2 yang diperoleh dengan perkalian panjangnya 2,4 m dan lebarnya 1,2 m. Bilangan 2,88, 2,4, dan 1,2 yang merupakan nilai yang disebut besaran dan m2 dan m disebut satuan. SK dan KD Materi KD 3.4 Materi KD 3.5 Soal Ujian KD Soal-soal UAN 2,4 m 1,2 m

Besaran Vektor Besaran Skalar Pada kondisi lain kita jumpai kejadian perhitungan atau pengukuran yang terikat dengan arah dan posisinya terhadap titik tertentu, misalnya; suatu benda dipindahkan dengan cara menggerser ke arah timur sejauh 20 km, maka perpindahannya dari posisi awal ke posisinya yang terakhir terkait dengan arah yaitu ke timur. Luas white board sebesar 2,88 m2 tidak terikat dengan arah sehingga besarannya disebut besaran skalar, dan perpindahan benda ke arah timur sebesar 20 km terikat dengan arah sehingga besaran tersebut disebut besaran vektor. Terdapat beberapa besaran vektor, di antaranya perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya dan sebagainya. Sedangkan contoh besaran skalar adalah luas, panjang, massa, dan sebagainya. Besaran Vektor SK dan KD Materi KD 3.4 20 km Materi KD 3.5 Soal Ujian KD 2,4 m 1,2 m Soal-soal UAN Besaran Skalar

1. Notasi Vektor. Vektor dinotasikan dengan huruf kecil dan diberi garis berarah di atasnya, seperti ,ā , disamping itu, vektor dapat pula dinyatakan dengan ruas garis berarah, atau huruf kecil yang dicetak tebal seperti a, b, c, p, q, dan sebagainya. Jika vector dinyatakan dalam ruas garis berarah, seperti AB, maka titik A disebut titik pangkal dan titik B disebut titik ujung. SK dan KD ā Materi KD 3.4 Materi KD 3.5 B Soal Ujian KD AB Soal-soal UAN A

Vektor Posisi 3. Panjang Vektor A O OA = A O Vektor posisi adalah vektor yang berpusat di O(0,0). Misal diketahui titik A(a, b), maka vektor posisi titik A adalah OA yang dalam penulisan komponen vektor ditulis: SK dan KD Materi KD 3.4 OA = Materi KD 3.5 Jika titik A(a, b, c) di R3, maka vektor posisi titik A adalah: Soal Ujian KD OA = O A a b |OA| Soal-soal UAN 3. Panjang Vektor Panjang vektor ā ditulis |ā|, sehingga panjang vektor posisi titik A(a,b) adalah:

Contoh 1. Diketahui titik A(2, 3). Tentukan panjang vektor posisi titik A! Jawab: SK dan KD Materi KD 3.4 O A 2 3 |OA| Materi KD 3.5 Soal Ujian KD Soal-soal UAN Contoh 2. Diketahui titik A(2, 3, -2). Tentukan panjang vektor posisi titik A! Jawab:

4. Penjumlahan Vektor Penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu; (1) cara segitiga, dan (2) cara jajaran genjang. SK dan KD Materi KD 3.4 b Materi KD 3.5 a a + b a a + b Soal Ujian KD b Soal-soal UAN Cara Segitiga Cara Jajaran Genjang

Dengan komponen vektor, dapat diperolah bahwa: Jika diketahui titik A(a, b, c), dan B(p, q, r), maka dengan aturan penjumlahan vektor, vektor AB dapat ditentukan dengan: A B SK dan KD Dengan komponen vektor, dapat diperolah bahwa: Materi KD 3.4 O Materi KD 3.5 Soal Ujian KD Contoh 3. Jika diketahui titik A(2,7,4) dan B(-3, 0, -1) tentukan vektor AB dan vektor BA ! Soal-soal UAN Jawab: Jadi

Dari cara penjumlahan vektor, dapat pula disimpulkan bahwa: SK dan KD A Materi KD 3.4 5. Pengurangan Vektor Materi KD 3.5 Soal Ujian KD Pengurangan vektor AB dengan vektor PQ yang ditulis AB - PQadalah penjumlahan vektor AB dengan lawan vektor PQ atau AB + (- PQ)dengan – PQ lawan vektor PQ. Soal-soal UAN P Q P Q A B AB - PQ A B

6. Perkalian Skalar dengan Vektor SK dan KD Misal diketahui: maka 5. a Materi KD 3.4 Materi KD 3.5 a Soal Ujian KD Soal-soal UAN 7. Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan vektor AB adalah vektor yang panjangnya satu satuan arah vektor AB. A B 5

Misal A(2, 3), maka vektor posisi titi A adalah: Jika i adalah vektor satuan arah sumbu X, j adalah vektor satuan arah sumbu Y dan k adalah vektor satuan arah sumbu Z, maka setiap vektor di R3 dapat dinyatakan dalam kombinasi liner vektor satuan arah sumbu X, Y, dan Z. SK dan KD Materi KD 3.4 Misal A(2, 3), maka vektor posisi titi A adalah: Materi KD 3.5 O A j i 2 3 X Y Soal Ujian KD Soal-soal UAN Dalam kombinasi liner vektor satuan arah sumbu X dan Y, vektor posisi titik A adalah:

8. Perbandingan dengan Vektor SK dan KD m n Materi KD 3.4 a p b Materi KD 3.5 Soal Ujian KD Soal-soal UAN O AP : PB = m : n maka diperoleh:

Misal titik A(xa, ya, za), B(xb, yb, zb) dan P(xp, yp, zp) membagi AB dengan perbandingan m : n atau dengan kata lain AP : PB = m : n, maka: SK dan KD Materi KD 3.4 A(xa, ya, za) P B(xb, yb, zb) m : n , Materi KD 3.5 , Soal Ujian KD Soal-soal UAN

MB : MA = 1 : 2 maka AM : MB = -2 : 1, jadi diperoleh: Contoh: Diketahui titik A(-2,-2,-2), B(1,0,-1) dan titik M membagi AB di luar sedemikian sehingga MB:MA = 1:2. Panjang vector posisi titik M adalah …. SK dan KD A. B. C. D. E. Materi KD 3.4 Jawab: MB : MA = 1 : 2 maka AM : MB = -2 : 1, jadi diperoleh: , Materi KD 3.5 , Soal Ujian KD Soal-soal UAN Jadi M(4, 2, 0), sehingga panjang vektor posisi titik M adalah:

9. Kesegarisan dan Kesejajaran Dua vektor a dan b dikatakan segaris (kolinear), apabila dapat dinyatakan dengan: a b SK dan KD Materi KD 3.4 , a = k . b, k bilangan konstan Materi KD 3.5 , Soal Ujian KD a b Dua vektor a dan vektor b dikatakan sejajar, apabila dapat dinyatakan dengan: Soal-soal UAN |a| = k . |b|, k bilangan konstan

7 dan 3 b. 3 dan 7 c. -7 dan 3 d. 3 dan -7 e.-3 dan -7 Contoh: Diketahui titik A(0,1,2), B(1,3,-1) dan C(x,y,-7) kolinear (segaris). Nilai x dan y berturut-turut adalah …. 7 dan 3 b. 3 dan 7 c. -7 dan 3 d. 3 dan -7 e.-3 dan -7 SK dan KD Jawab: Materi KD 3.4 Titik A, B dan C segaris, maka dapat dinyatakan dengan: Materi KD 3.5 Soal Ujian KD Soal-soal UAN

1. Perkalian Skalar Dua Vektor KOMPETENSI DASAR 3.5 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah. SK dan KD Materi KD 3.4 1. Perkalian Skalar Dua Vektor Materi KD 3.5 Misal diketahui: dan maka Soal Ujian KD Soal-soal UAN Didefinisikan perkalian skalar vektor a dan b adalah: a ◦ b = |a|.|b|.cos ө, ө adalah sudut antara a dan b. a ◦ b = x.p + y.q + z.r Dari definisi di atas, diperoleh:

Sifat-sifat perkalian skalar dua vektor: 1. SK dan KD Materi KD 3.4 2. Materi KD 3.5 3. Soal Ujian KD Dari sifat-sifat perkalian skalar dua vektor tersebut dapat dikembangkan rumus-rumus seperti berikut: Soal-soal UAN

dan kosinus sudut antara Contoh 1: Diketahui dan kosinus sudut antara SK dan KD dan adalah maka nilai dari Materi KD 3.4 A. 7 B. 6 C. 3 D. E. Materi KD 3.5 Jawab: Soal Ujian KD Soal-soal UAN

Contoh 2: Besar sudut antara dan adalah …. SK dan KD a. 600 b. 900 c. 1200 d. 1350 e. 1800 Materi KD 3.4 Jawab: Materi KD 3.5 Soal Ujian KD Soal-soal UAN = Jadi = 900.

2. Proyeksi Vektor pada Vektor lain Jika |ab| adalah panjang vektor proyksi vektor a pada vektor b atau proyrksi skalar ortogonal a pada b, maka berlaku: SK dan KD Materi KD 3.4 ө) a b Materi KD 3.5 Soal Ujian KD Soal-soal UAN Jika ab adalah vektor proyksi vektor a pada vektor b atau proyrksi ortogonal a pada b, maka berlaku:

Jawab: SK dan KD Materi KD 3.4 Materi KD 3.5 Soal Ujian KD Soal-soal UAN

Evaluasi KD 3.4 SK dan KD Materi KD 3.4 Materi KD 3.5 Soal Ujian KD Soal-soal UAN

Soal-soal Ujian Nasional SK dan KD Materi KD 3.4 Materi KD 3.5 Soal Ujian KD Soal-soal UAN