Matematika Diskrit TIF 15408 (4 sks) 3/9/2016

BAB. 4 Metode Pembuktian 4.1 petunjuk umum dalam pembuktian Langkah langkah untuk melakukan pembuktian adalah sebagai berikut: Tulislah teorema yang akan dibuktikan Tandailah permulaan pembuktian dengan kata-kata”bukti. Buktikanlah secara lengkap dengan menyeluruh. Tandai akhir pembuktian 3/9/2016

Beberapa keterangan pelengkap antara lain: Tulislah variabel (dan tipenya) yang akan digunakan. Apabila ditengah tengah pembuktian ada sifat suatu variabel yang akan digunakan, tulislah sifat tersebut dengan lengkap dan jelas Apabila menggunakan sifat-sifat tertentu seperti distributif komutatif dan sebaliknya. Misalkan ditengah-tengah pembuktian dijumpai suatu ekspresi maka tulis dengan menyingkatnya. 3/9/2016

4.2 Metode Pembuktian langsung Dalam metode pembuktian langsung, hal-hal yang diketahui tentang teorema diturunkan secara langsung dengan teknik-teknik tertentu hingga dicapai kesimpulan yang diinginkan. 3/9/2016

Contoh. Metode pengecekan satu persatu Buktikan bahwa untuk semua bilangan genap n antara 4 dan 30, n dapat dinyatakan sebagai jumlah 2 bilangan prima. 3/9/2016

Penyelesaian Dengan pengecekan satu persatu maka: 4 = 2+2 6 = 3+3 8=3+5 10 =5+5 12=5+7 14 = 11+3 16 = 5+11 18= 7+11 20 = 7+13 22= 5+17 24 = 5+19 26 = 7+19 28= 11+17 30 = 11+19 Terlihat bahwa semua bilangan genap n (4  n  30) dapat dinyatakan sebagai jumlahan 2 bilangan prima 3/9/2016

4.3 Metode Pembuktian tak langsung Dalam metode pembuktian tak langsung, fakta-fakta yang ada tidak digunakan secara langsung untuk menuju pada kesimpulan. 4.3.1 pembuktian dengan Kontradiksi Langkah-langkah yang dilakukan dalam pembuktian dengan kontradiksi adalah sbb: 1. Misalkan negasi dari statement yang akan dibuktikan benar 3/9/2016

4.3.2 pembuktian dengan Kontraposisi Dengan langkah-langkah yang benar,tunjukkanlah bahwa pada akhirnya pemisalan tersebut akan sampai pada suatu kontradiksi Simpulkan bahwa statement yang akan dibuktikan benar. 4.3.2 pembuktian dengan Kontraposisi Suatu pernyataan akan selalu ekuivalen (memiliki nilai kebenaran yang sama) dengan kontraposisinya. Dengan demikian pembuktian kebenaran suatu pernyataan dapat pula dilakukan dengan membuktikan kebenaran kontraposisi. 3/9/2016

Buktikan bahwa untuk bilangan-bilangan bulat m dan n Contoh Buktikan bahwa untuk bilangan-bilangan bulat m dan n Jika, m+n  73 maka m  37 atau n  37 Bukti Jika p adalah pernyataan m+n  73 q adalah pernyataan m  37 n adalah pernyataan n  37 Maka dalam simbol, kalimat diatas dapat dinyatakan sebagai P  ( q V r) 3/9/2016

Kontraposisi adalah ¬ ( q V r )  ¬ p atau (¬ q V ¬ r )  ¬ p. Dengan demikian untuk membuktikan pernyataan mula-mula cukup dibuktikan kebenaran pernyataan Jika m < 37 dan n< 37 maka m+n < 73 BUKTI Ambil 2 bilangan bulat m dan n dengan sifat m < 37 dan n 37. M <37 berarti m  36 dan n < 37 berarti n  36 sehingga M + n  36 + 36 M + n  72 M + n < 73 3/9/2016

Terbukti bahwa jika m < 37 dan n < 37, maka (m+n) < 37 Dengan terbukti kontraposisi, maka terbukti pulalah kebenaran pernyataan mula-mula Yaitu: Jika m+n  73 maka m  37 atau n  37 3/9/2016

4.4 Memilih Metode Pembuktian Adanya banyak cara untuk membuktikan suatu pernyataan ,memunculkan suatu pernyataan, “ metode manakah yang paling tepat/mudah dipakai untuk membuktikan suatu pernyataan?” Jawaban yang tepat atas pertanyaan tersebut sangatlah sukar karena masing-masing metode memiliki ciri-ciri, kemampuan, keindahan, dan kekhususan tersendiri. Ada kalanya suatu pernyataan dapat dibuktikan dengan beberapa metode yang berbeda dengan sama baiknya. 3/9/2016

Terimakasih 3/9/2016