Universitas Abulyatama-2017 ANALISA NUMERIK_ By : Amalia, ST.MT Universitas Abulyatama-2017 ALLPPT.com _ Free PowerPoint Templates, Diagrams and Charts

METODE SETENGAH INTERVAL Metode Setengah Interval adalah sebuah metode penyelesaian persamaan non linear yang sederhana

disebut juga Bisection method adalah salah satu cara yang sering digunakan untuk mencari suatu akar.

METODE SETENGAH INTERVAL

METODE SETENGAH INTERVAL Misalkan kita mengetahui bahwa f(x) = 0 memiliki satu akar antara x = a dan x = b ;

METODE SETENGAH INTERVAL maka f(a) dan f(b) memiliki tanda berlawanan (diasumsikan bahwa grafik f(x) adalah menerus antara a dan b )

METODE SETENGAH INTERVAL sekarang kita lihat bahwa c adalah pertengahan antara a dan b , yaitu c = 1/2(a+b), dan menghasilkan f(c).

Jika f(c) memiliki tanda yang sama seperti f(a), maka akarnya terletak antara c dan b;

atau kemungkinan lain akarnya terletak antara a dan c atau kemungkinan lain akarnya terletak antara a dan c. Kemudian dikurangi interval dalam menentukan letak akar menjadi setengah dari lebar rentang aslinya.

Kita ulang proses tersebut, pengurangan interval menjadi 1/4 , 1/8, 1/16, …. sampai kita dapat menentukan akarnya sesuai dengan keakuratan yang kita inginkan.

Prosedur hitungan secara grafis untuk mendapatkan akar persamaan  1. Hitung fungsi interval yang sama dari x sampai pada perubahan tanda dari fungsi f(xn) dan f(xn+1) , yaitu apabila f(xn) x f(xn+1) < 0 .

Prosedur hitungan secara grafis untuk mendapatkan akar persamaan 2. Estimasi pertama dari akar xt dihitung dengan xt = 1/2{ xn + xn+} (1)

Prosedur hitungan secara grafis untuk mendapatkan akar persamaan 3. Buat evaluasi berikut untuk menentukan di dalam sub interval mana akar persamaan berada : Jika f(xn) x f(xn+1) < 0 , akar persamaan berada pada sub interval pertama, kemudian tetapkan xn+1 = xt dan lanjutkan pada langkah ke 4

Prosedur hitungan secara grafis untuk mendapatkan akar persamaan b. Jika f(xn) x f(xn+1) > 0 , akar persamaan berada pada sub interval kedua, kemudian tetapkan xn = xt dan lanjutkan pada langkah ke 4.

Prosedur hitungan secara grafis untuk mendapatkan akar persamaan c. Jika f(xn) x f(xn+1) = 0 , akar persamaan adalah xt dan hitungan selesai

Prosedur hitungan secara grafis untuk mendapatkan akar persamaan 4. Hitung perkiraan baru dari akar dengan persamaan .................. (1)

Prosedur hitungan secara grafis untuk mendapatkan akar persamaan 5. Apabila perkiraan baru sudah cukup kecil (sesuai dengan batasan yang ditentukan ), maka hitungan selesai, dan xt adalah akar persamaan yang dicari. jika belum, maka hitungan kembali ke langkah 3.

Contoh 1 Hitung salah satu akar dari persamaan pangkat tiga berikut : f(x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0

Penyelesaian Menerka dua nilai bilangan yang memberikan nilai f(x) berbeda tanda, misal : x = 1 dan x = 2 untuk x = 1 , f(1) = 13 + 12 – 3(1) – 3 = – 4 untuk x = 2 , f(2) = 23 + 22 – 3(2) – 3 = 3 Dihitung nilai xt =(x1+x2)/2 =(1+2)/2 = 1,5 F(xt =1,5) = 1,53 +1,52 – 3(1,5) – 3 = – 1,875

Oleh karena nilai fungsi berubah tanda antara x = 1,5 dan x = 2 , maka akar terletak diantara kedua nilai tersebut. Langkah selanjutnya membuat setengah interval berikutnya untuk membuat interval yang lebih kecil.

Iterasi Xn Xn+1 Xt f(xn) f(xn+1) f(xt) 1 2 1,5 -4,0 3,0 -1,875 1,75 0,17187 3 1,625 -0,94335 4 1,6875 0,40942 5 1,71875 -0,40942 -0,12478 6 1,733437 -0,02198 7 1,73437 1,72656 0,021198 .. ¥ 1,73205 -0,00000

Mengingat fungsi adalah kontinyu, berarti perubahan tanda dari fungsi antara x=1 dan x=2 akan memotong sumbu x paling tidak satu kali. Titik perpotongan antara sumbu x dan fungsi merupakan akar-akar persamaan

Kemudian dihitung nilai :

Langkah selanjutnya adalah membuat interval berikutnya untuk membuat interval yang semakin kecil, dimana akar persamaan berada

iterasi Xn Xn+1 Xt f(Xn) f(Xn+1) f(Xt) 1 2 1.5 -4 3 -1,875 1,5 1,75 0,1719 1,625 -0,9434

Contoh 2 Hitung salah satu akar dari persamaan pangkat tiga berikut : f(x) = x3 – 5x2 – 2x + 10 = 0

Penyelesaian Menerka dua nilai bilangan yang memberikan nilai f(x) berbeda tanda, misal : x = 1 dan x = 3 untuk x1 = 1 , f(1) = 13 – 5(12)- 2(1) + 10 = 4 untuk x2 = 3 , f(3) = 33 – 5(32)- 2(3) + 10 = -14 Dihitung nilai x3 =(x1+x2)/2 =(1+3)/2 = 2 F(x3 = 2) = 23 – 5(22)- 2(2) + 10 = – 6

Oleh karena nilai fungsi berubah tanda antara x1 = 1 dan x3 = 2 , maka akar terletak diantara kedua nilai tersebut. Langkah selanjutnya membuat setengah interval berikutnya untuk membuat interval yang lebih kecil.

Dengan menggunakan excel kita dapat dengan mudah melakukan perhitungan untuk mencari nilai tiap-tiap fungsinya hanya dengan meng-copy kebawah iterasi yang berikutnya.

Langkah-langkahnya Ketik terkaan awal yaitu 1 untuk Xn – nya dan 3 untuk Xn+1 masing-masing pada cell A4 dan C4.

2. Lalu pada cell B4, Jumlahkan kedua nilai terkaan awal tersebut lalu bagi 2 sebagaimana dapat dilihat pada formula tersebut

3. Pada masing-masing fungsinya, di cell E4, F4, dan G4, masukkan masing akar terkaan awal dan akar baru (jumlah dua akar terkaan awal dibagi dua) kedalam fungsi yang dimaksud

4. Tambahkan satu kolom lagi untuk nge-check tanda perkalian dua buah fungsi, yaitu nilai fungsi dari salah satu akar terkaan awal dan nilai fungsi dari akar  baru

5. Pada baris ke-5 penampakan excel diatas, masukkan fungsi If pada cell A5 dan C5 seperti yang ditunjukkan

6. Sedangkan untuk cell B5, copy dari cell diatasnya yaitu B4 6. Sedangkan untuk cell B5, copy dari cell diatasnya yaitu B4. Demikian pula, cell E5, F5 dan G5, copy dari cell diatasny

7. Pada baris 5 excel diatas, sorot satu range (A5,G5) lalu copy ke bawah dengan cara men-drag kursor mouse pada pada pojok kanan bawah range

8. Selesai Sampai iterasi ke-5, salah satu akarnya sudah dapat diperoleh yaitu X=1,406 dengan f(x)= 0,080719. Dengan meneruskan iterasi-nya maka nilai akarnya dapat dibuat semakin mendekati nol sehingga keakuratannya lebih tinggi

credit https://taufiqurrokhman.wordpress.com/category/analisa-numerik/