METODE DUAL SIMPLEKS Oleh Choirudin, M.Pd

Prosedur perhitungan yang dibicarakan sejauh ini bergerak dari solusi dasar layak yang belum optimum ke solusi layak yang lain. Apakah proses tersebut akhirnya akan mencapai suatu solusi layak optimum, adalah tergantung pada kemampuan untuk mendapatkan suatu solusi dasar awal yang layak. Dalam kaitan ini, artificial variabel kadang-kadang digunakan untuk menemukan solusi awal layak. Jika formulasi LP mengandung sejumlah besar artificial variable, maka membutuhkan banyak perhitungan untuk memperoleh solusi awal layak.

Karena itu, akan dijelaskan suatu prosedur perhitungan yang memberikan suatu solusi layak optimum, meskipun solusi awalnya tidak layak. Prosedur itu dinamakan dual simplex algorithm yang pertama kali disusun oleh Lemke. Algoritma ini tidak banyak digunakan di antara program-program komputer yang ada. Namun ia memainkan peranan penting dalam post optimality analysis.

Berikut ini disajikan contoh bagaimana metode itu bekerja : Minimumkan Z = 4X1 + 2X2 Dengan syarat 3X1 + X2 ≥ 27 X1 + X2 ≥ 21 X1 + 2X2 ≥ 30 X1 ; X2 ≥ 0

Langkah pertama adalah mengubah semua kendala menjadi pertidaksamaan ≤ (agar tidak membutuhkan artificial variable) dan kemudian tambahkan variabel slack. Sehingga diperoleh : Minimumkan Z = 4X1 + 2X2 Dengan syarat -3X1 - X2 + s1 + 0s2 + 0s3 < -27 -X1 - X2 + 0s1 + s2 + 0s3 < -21 -X1 - 2X2 + 0s1 + 0s2 + s3 < -30 X1, X2, s1, s2, s3 ≥ 0

Jika bentuk baku di atas diekspresikan sebagai suatu tabel simplex awal, maka akan terlihat bahwa variabel slack (S1, S2, S3) tidak memberikan solusi awal layak. Karena ini merupakan masalah minimisasi sementara semua koefisien pada persamaan Z adalah ≤ 0, maka solusi awal S1=-27, S2=-21, S3=-30 adalah optimum tetapi tak layak. Masalah ini merupakan ciri khas dari masalah yang dapat diselesaikan dengan metode dual simplex. Tabel solusi awal optimum tapi tak layak adalah :

Iterasi 0 Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 NK 1 -4 -2 -3 -1 -27 -21 -30

Menetukan baris kunci (variabel masuk) dengan variabel basis (NK) yang memiliki nilai negatif terbesar (nilai kembar dipilih secara sembarang). Jika semua variabel basis non negatif, proses berakhir dan solusi layak yang telah optimum tercapai. Menentukan Kolom Kunci (variabel keluar) dengan dipilih dari variabel non basis dengan cara seperti berikut. Buat rasio antara koefisien persamaan Z dengan koefisien persamaan yang berhubungan pada variabel keluar yang memiliki rasio terkecil, atau absolut rasio terkecil untuk masalah maksimisasi (rasio kembar dipilih secara sembarang).

Iterasi 0 Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 NK 1 -4 -2 -3 -1 -27 -21 -30

Setelah memilih baris kunci, metode Gauss Jordan (operasi baris) diterapkan seperti biasa untuk memperoleh solusi berikutnya. Variabel keluar pada Tabel 1 adalah S3 (=-30), karena ia memiliki nilai negatif terbesar. Untuk menentukan variabel masuk, rasionya diperoleh dengan cara berikut : Variabel Dasar X1 X2 S1 S2 S3 Z -4 -2 -1 1 Rasio 4

Iterasi 0 Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 NK 1 -4 -2 -3 -1 -27 -21 -30

Iterasi 1 Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 NK 1 -3 -1 30 -2,5 -1/2 -12 -6 1/2 15

Iterasi 1 Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 NK 1 -3 -1 30 -2,5 -1/2 -12 -6 1/2 15

Variabel keluar pada iterasi 1 adalah S1 (=-12), karena ia memiliki nilai negatif terbesar. Untuk menentukan variabel masuk, rasionya diperoleh dengan cara berikut : Variabel Dasar X1 X2 S1 S2 S3 Z -3 -1 -5/2 1 -1/2 Rasio 6/5 ~ 2

Iterasi 1 Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 NK 1 -3 -1 30 -5/2 -1/2 -12 -6 1/2 15

Iterasi 2 Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 NK 1 -6/5 -2/5 44,4 1/5 4,8 -1/5 -3,6 -3/5 12,6 Pada iterasi 2 belum diperoleh solusi layak (S2 = -3,6). Karena S2 adalah satusatunya yang bernilai negatif, dengan sendirinya ia menjadi baris kunci.

Variabel keluar pada iterasi 2 adalah S2 (=-6), karena ia memiliki nilai negatif terbesar. Untuk menentukan variabel masuk, rasionya diperoleh dengan cara berikut : Variabel Dasar X1 X2 S1 S2 S3 Z -6/5 -2/5 -1/5 1 Rasio 6 ~

Iterasi 2 Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 NK 1 -6/5 -2/5 44,4 1/5 4,8 -1/5 -3,6 -3/5 12,6 Pada iterasi 2 belum diperoleh solusi layak (S2 = -3,6). Karena S2 adalah satusatunya yang bernilai negatif, dengan sendirinya ia menjadi baris kunci.

Iterasi 3 Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 NK 1 -1 48 -1/2 1/2 3 -5/2 9 -3/2 18 Pada Tabel Iterasi 3 merupakan tabel optimum dan layak dengan nilai fungsi tujuan adalah 48.

Latihan I Minimumkan Z = 15x + 10y 3x + 4y ≥ 12   2x + y ≥ 4   x, y ≥ 0   

Latihan II Minimumkan Z = x + y x + 2y ≥ 6  4x + 5y ≥ 20 3x + 2y ≥ 6  x, y ≥ 0   

Thank You!