Program Linier (Linear Programming) y Program Linier (Linear Programming) x Metode Grafik

Contoh 1 Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk tipe A diperlukan 100 m2 dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp. 6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp. 4.000.000,00/unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah ….

Tabel Bantu Tipe A (x) Tipe B (y) Luas Tanah 100 75 10.000 Unit … 125 Keuntungan 6.000.000 4.000.000 Z

Penyelesaian Misal: X = Jumlah rumah Tipe A yang akan dibangun (unit) Y = Jumlah rumah Tipe B yang akan dibangun (unit) Objektif Maks = 6.000.000X + 4.000.000Y Kendala: 100X + 75Y ≤ 10.000 (luas Tanah) atau 4X + 3Y ≤ 400 X + Y ≤ 125 (Banyak Unit)

Solusi dengan metode Grafik Cari Koordinat Titik Potong dengan sb x dan sb y 4X + 3Y ≤ 400 Misal X = 0  3Y = 400 Y = 400/3=133.3 (0,133.3) Y = 0  4X = 400 X = 100 (100,0) X + Y ≤ 125 Misal X = 0  Y =125 (0,125) Y= 0  X= 125 (125,0)

Titik Potong kedua pertidaksamaan linier Menggambar Grafik (0,133.3) (0,125) Titik Potong kedua pertidaksamaan linier Catatan: Adalah kemungkinan titik maksimum fungsi objektif (125,0) (100,0)

Mencari Titik Potong 4X + 3Y = 400 |x1| 4X + 3Y = 400 X + Y = 125 |x3| 3X + 3Y = 375 – X = 25 Masukkan ke persamaan 2 X + Y =125 25+Y=125 Y = 125-25=100 Jadi Titik Potongnya adalah (25, 100)

Fungsi Objektif Kesimpulan: Zmaks = 6.000.000X + 4.000.000Y (100,0)  Zmaks = 6.000.000.(100) + 0 = 600.000.000 (0,125)  Z = 0 + 4000000.(125) = 500.000.000 (25,100) Z = 6.000.000.(25) + 4.000.000.(100) = 550.000.000 Kesimpulan: Dari ketiga nilai objektif di atas maka nilai yang paling maksimum adalah pada titik (100,0). Jadi untuk mendapat untung yang maksimal maka jumlah rumah tipe A yang harus dibangun 100 unit dan Tipe B 0 unit.

Contoh 2 Misal: X = Jumlah mobil kecil yang parkir (unit) Y = Jumlah mobil bus yang parkir (unit) Objektif: Maks = 1000X + 2000Y Kendala: 4X + 20Y ≤ 1760 (luas area) X + Y ≤ 200 (daya tampung) X,Y ≥ 0

Contoh 3 Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp. 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp. 1.200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp. 9.200,00/kg dan pisang Rp. 7.000,00/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah ….

Penyelesaian Misal M = Jumlah mangga yang dijual (buah) P = Jumlah pisang yang dijual (buah) Objektif Maks = 1200M + 1000P Kendala: 8000M + 6000P ≤ 1.200.000 atau 8M +6P ≤ 1.200 atau 4M + 3P ≤ 600 M + P ≤ 180 M, P ≥ 0

Solusi dengan metode Grafik Cari Koordinat Titik Potong dengan sb x dan sb y 4M + 3P ≤ 600 Misal M = 0  3P = 600 P = 200 (0,200) P = 0  4M = 600 M = 150 (150,0) M + P ≤ 180 Misal M = 0  P =180 (0,180) P = 0  M = 180 (180,0)

Titik Potong kedua pertidaksamaan linier Menggambar Grafik (0,200) (0,180) Titik Potong kedua pertidaksamaan linier Catatan: Adalah kemungkinan titik maksimum fungsi objektif (180,0) (150,0)

Mencari Titik Potong 4M + 3P = 600 |x1| 4M + 3P = 600 M + P = 180 |x3| 3M + 3P = 540 – M = 60 Masukkan ke persamaan 2 M + P =180 60+P=180 P = 180-60=120 Jadi Titik Potongnya adalah (60, 120)

Fungsi Objektif Kesimpulan: Zmaks = 1200M + 1000P (150,0)  Z = 1200.150 + 1000.0 = 180.000 (0,180)  Z = 0 + 1000. 180 = 180.000 (60,120) Zmaks = 1200.60 + 1000.120 = 192.000 Kesimpulan: Dari ketiga nilai objektif di atas maka nilai yang paling maksimum adalah pada titik (60,120). Jadi untuk mendapat untung yang maksimal maka jumlah mangga yang dijual 60 buah dan pisang 120 buah

Contoh 4 Buatlah sistem pertidaksamaannya dari grafik di samping Pertaksamaan 2 Pertaksamaan 1

Penyelesaian Misalkan bentuk umum pertaksamaan linier dengan titik-titik (x1,0) dan (0,y2 ) untuk fungsi objektif maks adalah ax+by ≤ x1y2. Pertaksamaan 1 titik-titiknya yaitu (2,0) dan (0,3). titik (2,0)  ax1 +by1 = 6 2a+0 = 6 a = 3 titik (0,3)  ax2 +by2 = 6 0+3b = 6 b = 2 Jadi Pertaksamaan 1 adalah 3x + 2y ≤ 6

Pertaksamaan 2 titik-titiknya yaitu (4,0) dan (0,2). titik (4,0)  ax1 +by1 = 8 4a+0 = 8 a = 2 titik (0,2)  ax2 +by2 = 8 0+2b = 8 b = 4 Jadi Pertaksamaan 1 adalah 2x + 4y ≤ 8 atau x + 2y ≤ 4

Solusi cepat ax+by = xy jika y=0  ax = xy  a = y jika x=0  by = xy  b = x Jadi pertaksamaan 1 adalah 3x + 2y ≤ 6 pertaksamaan 2 adalah 2x + 4y ≤ 8

Contoh 5 Nilai Minimum dari fungsi objektif 1000X + 1500Y dari grafik di samping adalah…

Penyelesaian Pertidaksamaan Linier masing2 adalah: 12X + 8Y ≥ 96  3X + 2Y ≥ 24 6X + 12Y ≥ 72  X + 2Y ≥ 12 dari kedua pertidaksamaan di atas didapat titik potong kedua garis tersebut adalah (6,3) Fungsi Objektif Min Z = 1000X + 1500Y (6,3)  Zmin = 6000+4500 = 10.500 (12,0) Z= 12.000 + 0 = 12.000 (0,12) Z= 0 + 18.000 = 18.000

Exercise 1 Nilai maksimum fungsi objektif Z = 6x + 8y dari system pertidaksamaan 4x + 2y ≤ 60, 2x + 4y ≤ 48, x≥ 0, y ≥0 adalah ….

Exercise 2 Daerah yang diarsir pada gambar di atas adalah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan. Nilai maksimum untuk 5x + 4y dari daerah penyelesaian tersebut adalah …

Exercise 3 Seorang pengusaha mebel akan memproduksi meja dan kursi yang menggunakan bahan dari papan kayu dengan ukuran tertentu. Satu meja memerlukan 10 potong dan kursi 5 potong papan. Papan yang tersedia 500 potong. Biaya pembuatan satu meja Rp. 100.000 dan kursi Rp. 40.000 dan anggaran yang tersedia Rp.1.000.000. keuntungan yang didapat dari 1 buah meja adalah Rp 25.000 dan 1 buah kursi adalah Rp 10.000. berapa untung maksimum yang didapatkan oleh pengusaha mebel tsb.

Exercise 4 Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan harga Rp. 4.000,00/buah dan kue B dijual dengan harga Rp. 3.000,00/buah, maka pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah ….

Exercise 5 Suatu perusahaan memproduksi barang dengan 2 model yang dikerjakan dengan dua mesin yaitu mesin A dan mesin B. Produk model I dikerjakan dengan mesin A selama 2 jam dan mesin B selama 1 jam. Produk model II dikerjakan dengan mesin A selama 1 jam dan mesin B selama 5 jam. Waktu kerja mesin A dan B berturut – turut adalah 12 jam perhari dan 15 jam perhari. Keuntungan penjualan produk model I sebesar Rp. 40.000,00 perunit dan model II Rp 10.000,00 per unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah ….

Exercise 6 Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg sedang kelas ekonomi 20kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1440 kg. Harga tiket kelas utama Rp. 150.000 dan kelas ekonomi Rp. 100.000. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum jumlah tempat duduk kelas utama haruslah?

Exercise 7 Nilai minimum fungsi obyektif z = 3x + 4y yang memenuhi sistem pertidaksamaan : 2x + 3y  12 ; 5x + 2y  19 ; x  0 ; y  0 adalah …..

Exercise 8 Nilai minimum dari z = 3x + 6y yang memenuhi syarat : adalah … Buatlah terlebih dahulu grafiknya, kemudian tentukan daerah hasil. Dari situ tentukan titik-titik kemungkinan nilai minimum

Exercise 9 Suatu pabrik roti dapat pesanan minimal 120 kaleng setiap hari. Roti terdiri dari dua jenis, roti asin dan roti manis. Setiap hari roti asin diproduksi paling sedikit 30 kaleng dan roti manis 50 kaleng. Biaya produksi roti asin yaitu Rp 15.000/kaleng, sedangkan roti manis Rp 20.000/kaleng. Berapa biaya operasional minimum yang harus dikeluarkan pabrik tsb dengan syarat pesanan terpenuhi. Misal

Penyelesaian Misal: X = Jumlah roti asin yang diproduksi (kaleng) Y = Jumlah roti manis yang diproduksi (kaleng) Objektif Min Z = 15000X +20000Y Kendala: X+Y≥ 120 (Pesanan) X≥30 (Roti asin) Y≥50 (Roti manis)

Quiz Exercise 1 Daerah yang diarsir di bawah ini adalah daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan …

Quiz Exercise 2 Nilai maksimum fungsi objektif 4x + 2y pada himpunan penyelesaian system pertidaksamaan: x + y ≥ 4, x + y ≤ 9, –2x + 3y ≤ 12, 3x – 2y ≤ 12. adalah ….

Quiz Exercise 3 Diketahui model matematika sbb: x + 2y ≤ 8 ; Nilai minimum yang dihasilkan oleh fungsi objektif f(x, y) = 5x + 10y adalah …

Quiz Exercise 4 Carilah nilai minimum dari fungsi objektif Z = 10X+12Y dari pertidaksamaan berikut: -4x-y≤12 -x-y≤6 X,Y ≤0

Thank You!