Bagian 5 – DISTRIBUSI KONTINYU Laboratorium Sistem Produksi 2004 TI2131 TEORI PROBABILITAS Bagian 5 – DISTRIBUSI KONTINYU Laboratorium Sistem Produksi 2004

TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 Distribusi Probabilitas Kontinyu 5 Variabel Random Kontinyu Distribusi Probabilitas Uniform Distribusi Probabilitas Eksponensial Distribusi Probabilitas Normal Distribusi Porbabilitas Gamma Distribusi Probabilitas Weibull TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Dari Diskrit Menjadi Kontinyu Interval waktu dapat dibagi menjadi: Interval 0.5 menit Interval 0.25 menit Interval 0.125 menit 6 . 5 4 3 2 1 M i n u t e s P ( x ) o C m p l T a k : B y H f - 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 M i n u t e s P ( x ) o C m p l T a k : F r h f M i n u t e s P ( x ) o C m p l T a k : E g h f 0 1 2 3 4 5 6 7 Interval kecil tak terbatas Jika sebuah variabel random diskrit dibagi menjadi interval kecil yang tidak terbatas, maka perhitungan probabilitasnya ditentukan oleh sebuah rentangnilai dan nilai probabilitas adalah luas area di bawah kurva dalam rentang tersebut. Untuk contoh di samping, dinyatakan dengan P(2<X<3). 7 6 5 4 3 2 1 Minutes f ( z ) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Variabel Random Kontinyu Variabel Random Kontinyu adalah sebuah variabel random yang dapat berupa sembarang nilai pada suatu interval yang diamati. Probabilitas dari variabel random kontinyu X ditentukan oleh sebuah fungsi densitas, dinotasikan dengan f(x), dan memiliki beberapa sifat berikut.  f(x) > 0 untuk setiap nilai x.  Probabilitas bahwa X berada diantara dua nilai a dan b adalah sama dengan luas area dibawah f(x) yang dibatasi oleh a dan b.  Total luas area di bawah kurva f(x) adalah 1.00. TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Fungsi Densitas dan Kumulatif F(x) 1 Fungsi kumulatif F(b) } P(a £ X £ b)=F(b) - F(a) F(a) a b x f(x) P(a < X < b) = Area di bawah f(x) yang dibatasi oleh a dan b = F(b) - F(a) Fungsi densitas x a b TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Uniform Kontinyu (1) Densitas uniform [0,5] : 1/5 for 0 < X < 5 f(x)= 0 lainnya E(X) = 2.5 { Distribusi Uniform . 5 Total luas area f(x) = 1/5 * 5 = 1.00 . 4 . 3 x ) ( f Luas area di bawah f(x) Interval 1 sampai 3 = P(1<X<3) = 2.(1/5) = 2/5 . 2 . 1 0.0 . - 1 1 2 3 4 5 6 x TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Uniform Kontinyu (2) Definisi: Jika variabel random X memiliki nilai (kontinyu) dengan kemungkinan kemunculan yang sama maka dikatakan bahwa variabel random (kontinyu) x mengikuti distribusi uniform dengan fungsi densitas probabilitas: 1/( - ), untuk <x< f(x)= 0 untuk x lainnya. Ekspektasi dan variansi: E(X)=(+)/2 dan V(X)= ( - )2/12 { TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Uniform Kontinyu (3) Contoh: Dalam program komputer simulai terdapat subrutin pembangkit bilangan random uniform dalam interval [0,10]. Sebuah proses simulasi akan akan berhenti (terminate) bila terjadi kemunculan sebuah bilangan random [3/2 , 7/2]. Jika dilakukan replikasi pembangkitan bilangan random, berapa kemungkinan proses tersebut akan berhenti (terminate)? Persoalan tersebut mengikuti distribusi uniform kontinyu dengan fungsi f(x)=1/10 untuk [1,10], dengan demikian probabilitas bahwa proses simulasi akan berhenti adalah P(3/2<x<7/2)=0,2. TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Eksponensial (1) Distribusi eksponensial memiliki kaitan erat dengan distribusi Poisson (dari proses poisson) jika persoalan didekati dari variabel interval antar kedatangan. TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Eksponensial (2) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Eksponensial (3) Sebuah peralatan dilengkapi dengan komponen pengaman untuk melindungi peralatan dari kegagalan. Berdasarkan data dan pengamatan yang panjang, komponen pengaman tersebut memiliki daya tahan yang dinyatakan oleh variabel random satuan waktu (minggu) T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter =1/5. Saat ini perusahaan memiliki 5 set peralatan terpisah (independent) dimana masing-masing dilengkapi dengan komponen pengaman yang diasumsikan identik. Dari perhitungan pesanan masuk yang harus dipenuhi, perusahaan menginkan peralatan tersebut tidak mengalami kegagalan total untuk memenuhi pesanan yang direncanakan akan dipenuhi dalam 8 minggu. Jika diinginkan paling sedikit dua peralatan dapat beroperasi untuk memenuhi pesanan tersebut, berapa besar kemungkinan tersebut terjadi? TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Eksponensial (4) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Normal (1) Untuk p0,5 dan dengan meningkatnya n, distribusi binomial menjadi … n = 6 n = 10 n = 14 6 5 4 3 2 1 . x P ( ) B i n o m a l D s t r b u : = , p 1 9 8 7 6 5 4 3 2 . x P ( ) B i n o m a l D s t r b u : = , p 1 4 3 2 9 8 7 6 5 . x P ( ) B i n o m a l D s t r b u : = , p Distribusi yang berbentuk kurva seperti lonceng (bell) 5 - . 4 3 2 1 x f ( ) N o r m a l D i s t b u n :  = ,  TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Normal (2) Distribusi kemungkinan variabel random kontinyu yang terpenting dalam statistika adalah distribusi normal, yang merupakan variabel random yang berasal dari proses random dengan satu titik pemusatan dan menyebar disekitar titik pemusatan tersebut secara simetris. Dikenal sebagai distribusi Gauss, sebagai orang pertama yang mempublikasikannya pada tahun 1809 (bentuk matematika pertama kali diturunkan dari distribusi binomial oleh DeMoivre 1733 dan Laplace 1775) dan selanjutnya dipromosikan sebagai sebuah dalil probabilitas untuk setiap variabel random kontinyu. TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Normal (3) 5 - . 4 3 2 1 x f ( ) N o r m a l D i s t b u n :  = ,  Fungsi densitas probabilitas normal: TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Normal (4) Kurva normal membentuk: Kurva lonceng dan berdistribusi simetris, sehingga setengah (.50 or 50%) bagian akan berada di salah satu sisi dari rata-rata. Setiap kurva dicirikan oleh pasangan rata-rata, , dan variansi, , dan dintayakan dengan: [X~N()]. Setiap kurva bersifat asymptotik. Luas area di bawah kurva fungsi densitas probabilitas normal dalam rantang k dari  adalah sama untuk setiap distribusi, berapapun besarnya nilai rata-rata dan variansi. TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Normal (5) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Normal (6) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Normal (7) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Normal (8) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Normal (9) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Normal (10) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Normal (11) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Normal (12) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Normal (13) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Normal (14) Semua kurva di bawah ini mengikuti distribusi normal dengan nilai rata-rata dan variansi yang berbeda 4 5 3 . 2 1 w f ( ) N o r m a l D i s t b u n :  = ,  6 5 4 3 2 1 . x f ( ) N o r m a l D i s t b u n :  = ,  6 5 4 3 . 2 1 y f ( ) N o r m a l D i s t b u n :  = ,  5 - . 4 3 2 1 z f ( ) N o r m a l D i s t b u n :  = ,  Perhatikan bahwa: P(39  W  41) P(25  X  35) P(47  Y  53) P(-1  Z  1) Nilai probabilitas dari setiap interval adalah luas area di bawah kurva fungsi densitas probabilitas normal. TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Normal (15) Probabilitas bahwa variabel random normal berada dalam rentang satu deviasi standar dari rata-rata adalah 0.6826, atau sekitar 0.68. Probabilitas bahwa variabel random normal berada dalam rentang dua deviasi standar dari rata-rata adalah 0.9544, atau sekitar 0.95. Probabilitas bahwa variabel random normal berada dalam rentang tiga deviasi standar dari rata-rata adalah 0.9974. 5 4 3 2 1 - . Z f ( z ) S t a n d r N o m l D i s b u TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Normal Standar (1) Variabel random normal standar, Z, adalah variabel random normal dengan rata-rata  = 0 dan deviasi standar  = 1: Z~N(0,12). Standard Normal Distribution . 4 . 3 z ) =1 { ( f . 2 . 1 . - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 =0 Z TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Normal Standar (2) P(0 < Z < 1.56) Probabilitas Normal Standar 5 4 3 2 1 - . Z f ( z ) S t a n d r N o m l D i s b u 1.56 { z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 Lihat pada baris 1.5 dan kolom .06 untuk menemukan P(0<z<1.56) = 0.4406 TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Normal Standar (3) P(Z < -2.47) Untuk P(Z<-2.47): Lihat tabel untuk 2.47 P(0 < Z < 2.47) = .4934 P(Z < -2.47) = .5 - P(0 < Z < 2.47) = .5 - .4934 = 0.0066 z ... .06 .07 .08 . . . . . . . . . . . . 2.3 ... 0.4909 0.4911 0.4913 2.4 ... 0.4931 0.4932 0.4934 2.5 ... 0.4948 0.4949 0.4951 . S t a n d a r d N o r m a l D i s t r i b u t i o n Area di sebelah kiri -2.47 P(Z < -2.47) = .5 - 0.4932 = 0.0068 . 4 Nilai tabel area 2.47 P(0 < Z < 2.47) = 0.4934 . 3 z ) f ( . 2 . 1 . - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 Z TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Normal Standar (4) P(1< Z < 2) Temukan P(1 < Z < 2): 1. Temukan nilai tabel 2.00 F(2) = P(Z < 2.00) = .5 + .4772 =.9772 2. Temukan nilai tabel 1.00 F(1) = P(Z < 1.00) = .5 + .3413 = .8413 3. P(1 < Z < 2.00) = P(Z < 2.00) - P(Z < 1.00) = .9772 - .8413 = .1359 z .00 ... . . 0.9 0.3159 ... 1.0 0.3413 ... 1.1 0.3643 ... 1.9 0.4713 ... 2.0 0.4772 ... 2.1 0.4821 ... S t a n d a r d N o r m a l D i s t r i b u t i o n . 4 Luas area diantara 1 dan 2 P(1 < Z < 2) = .4772 - .8413 = 0.1359 . 3 ) z f ( . 2 . 1 . - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 Z TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Normal Standar (5) P(0 < Z < z) = 0.40 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Temukan z sehingga P(0 < Z < z) = .40: Temukan nilai probabilitas sedekat mungkin dengan .40 dari tabel kemungkinan normal standar. Tentukan nilai z pada baris dan kolom yang sesuai. P(0<z<1.28) 0.40 Karena P(Z < 0) = .50 P(Z <1.28) .90 S t a n d a r d N o r m a l D i s t r i b u t i o n . 4 Luas area di kiri 0 = .50 P(z  0) = .50 Area = .40 (.3997) . 3 z ) f ( . 2 . 1 . - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 Z = 1.28 Z TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Normal Standar (6) P(-z.005< Z < z.005) = 0.99 Untuk memperoleh probabilitas 0.99 di tengah distribusi, akan ada (1/2)(1-.99) = (1/2)(.01) = .005 di ekor (tail) distribusi, dan (1/2)(.99) = .495 setengah dari interval .99, atau : P(0<Z<z.005) = .495 Dari tabel probabilitas normal standar: 2,57 < z.005 <  2,58 z.005   2,575 P(-.2575 < Z < 2,575) = .99 z .04 .05 .06 .07 .08 .09 . . . . . . . 2.4 ... 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 ... 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 ... 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 . . . . . . . 5 4 3 2 1 - . Z f ( z ) -z.005 z.005 Area di tengah = .99 Area di kiri = .495 Area di kanan = .495 Area di ekor kanan = .005 Area di ekor kiri = .005 -2.575 2.575 TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Transformasi Variabel Random Normal Luas area dalam interval k dari rata-rata untuk variabel random normal adalah sama. Jadi area di bawah kurva normal ekuivalan dengan area di bawah kurna normal standar. Contoh: P(40  X  P(-1  Z     untuk m = 50 dan s = 10. Transformasi X menjadi Z: N o r m a l D i s t r i b u t i o n :  = 5 ,  = 1 . 7 . 6 Transformasi pada . 5 ) ( x . 4 (1) Pengurangan: (X - x) f . 3 . 2 =10 { S t a n d a r d N o r m a l D i s t r i b u t i o n . 1 . . 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 X . 3 ) (2) Pembagian dengan x) ( z f . 2 { Transformasi sebaliknya Z menjadi X: 1.0 . 1 . - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 Z TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Transformasi Variabel Random Normal Contoh: X~N(160,302) Contoh X~N(127,222) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Transformasi Variabel Random Normal (Minitab) MTB > cdf 100; SUBC> normal 160,30. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 160.000 and standard deviation = 30.0000 x P( X <= x) 100.0000 0.0228 MTB > cdf 180; 180.0000 0.7475 MTB > cdf 150; SUBC> normal 127,22. Cumulative Distribution Function Normal with m = 127.000 and s = 22.0000 x P( X <= x) 150.0000 0.8521 TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Transformasi Variabel Random Normal (Minitab) u t i o n :  = 3 8 3 ,  = 1 2 Contoh X~N(383,122) . 5 . 4 X ) . 3 ( f . 2 . 1 S t a n d a r d N o r m a l D i s t r i b u t i o n . . 4 340 390 440 X Equivalent areas . 3 z ( ) f . 2 . 1 . - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 Z MTB > cdf 394; SUBC> normal 383,12. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 383.000 and standard deviation = 12.0000 x P( X <= x) 394.0000 0.8203 MTB > cdf 399; SUBC> normal 383,12. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 383.000 and standard deviation = 12.0000 x P( X <= x) 399.0000 0.9088 TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Transformasi Variabel Random Normal (Excel) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Transformasi Variabel Random Normal Transformasi X menjadi Z: Transformasi kebalikan Z menjadi X: Transformasi X menjadi Z, dengan nilai a dan b: TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Transformasi Variabel Random Normal Untuk menemukan nilai probabilitas dengan interval tertentu untuk sembarang variabel random normal adalah dengan mengekspresikan interval tersebut dalam satuan deviasi standar dari rata-ratanya. Jika X~N(50,102), P(X >70) dapat diperoleh karena 70 adalah 2 deviasi standar di atas rata-rata X: 70=+2. P(X > 70) ekuivalen dengan P(Z > 2), luas area di bawah kurva normal standar. z .07 .08 .09 . . . . . . . . . . 1.1 . . . 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 . . . 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 . . . 0.4147 0.4162 0.4177 . . . . . . . . . . Contoh: X~N(124,122) P(X > x) = 0.10 dan P(Z > 1.28)  0.10 x =  + z = 124 + (1.28)(12) = 139.36 TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Transformasi Variabel Random Normal Contoh: X~N(2450,4002) P(a<X<b)=0.95 dan P(-1.96<Z<1.96)0.95 x =   z = 2450 ± (1.96)(400) = 2450 ±784=(1666,3234) P(1666 < X < 3234) = 0.95 Contoh: X~N(5.7,0.52) P(X > x)=0.01 dan P(Z > 2.33) 0.01 x =  + z = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865 z .02 .03 .04 . . . . . . . . . . 2.2 . . . 0.4868 0.4871 0.4875 2.3 . . . 0.4898 0.4901 0.4904 2.4 . . . 0.4922 0.4925 0.4927 . . . . . . . . . . z .05 .06 .07 . . . . . . . . . . 1.8 . . . 0.4678 0.4686 0.4693 1.9 . . . 0.4744 0.4750 0.4756 2.0 . . . 0.4798 0.4803 0.4808 . . . . . . . . . . N o r m a l D i s t r i b u t i o n :  = 5 . 7  = . 5 N o r m a l D i s t r i b u t i o n :  = 2 4 5  = 4 . . 8 8 Area = 0.49 . . 1 1 5 5 . . 7 7 . . 6 6 .4750 .4750 . . 5 5 . . 1 1 x ) ) f ( . . 4 4 x ( f . . 3 3 X.01 = +z = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865 . . 5 5 . . 2 2 .0250 .0250 . . 1 1 Area = 0.01 . . . . 3 3 . . 2 2 4 4 . . 2 2 5 5 . . 2 2 6 6 . . 2 2 7 7 . . 2 2 8 8 . . 2 2 1 1 2 2 3 3 4 4 X X - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 z Z.01 = 2.33 -1.96 Z 1.96 TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Transformasi Variabel Random Normal 1. Gambarkan distribusi normal yang ingin diteliti dan distribusi normal standar. N o r m a l D i s t r i b u t i o n :  = 2 4 5 ,  = 4 . . 1 2 . . 1 . . 8 x ) ( f . . 6 . . 4 . . 2 . 2. Arsir daerah probabilitas yang diteliti. 1 2 3 4 X S t a n d a r d N o r m a l D i s t r i b u t i o n . 4 3. Dari tabel distribusi normal standar, temukan nilai z. . 3 z ) ( f . 2 . 1 4. Transformasikan nilai z menjadi x (nilai variabel random asal). . - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 Z TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Transformasi Variabel Random Normal 4 3 2 1 . 8 6 X f ( x ) N o r a l D i s t b u n : = 5 ,  .4750 .9500 N o r m a l D i s t r i b u t i o n :  = 2 4 5 ,  = 4 3. Temukan nilai z dari tabel normal standar z=-1,96 dan z=1.96 1. Distribusi normal dan normal standar. 2. Arsir daerah 0.95 (masing-masing 0.475 di kiri dan kanan. 4. Transformasi nilai z ke nilai x 5 4 3 2 1 - . Z f ( z ) S t a n d r N o m l D i s b u .4750 .9500 z .05 .06 .07 . . . . . . . . . . 1.8 . . . 0.4678 0.4686 0.4693 1.9 . . . 0.4744 0.4750 0.4756 2.0 . . . 0.4798 0.4803 0.4808 . . . . . . . . . . x =   z = 2450 ± (1.96)(400) = 2450 ± 784 =(1666,3234) -1.96 1.96 TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Transformasi Variabel Random Normal Using EXCEL TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Pendekatan untuk Binomial (1) Distribusi normal dengan  = 3.5 dan  = 1.323 mendekati distribusi binomial dengan n = 7 dan p = 0.50. P(x<4.5) = 0.7749 N o r m a l D i s t r i b u t i o n :  = 3 . 5 ,  = 1 . 3 2 3 B i n o m i a l D i s t r i b u t i o n : n = 7 , p = . 5 . 3 . 3 P( x 4) = 0.7734 . 2 . 2 x ) x ) ( P ( f . 1 . 1 . . 5 1 1 2 3 4 5 6 7 X X MTB > cdf 4.5; SUBC> normal 3.5 1.323. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 3.50000 and standard deviation = 1.32300 x P( X <= x) 4.5000 0.7751 MTB > cdf 4; SUBC> binomial 7,.5. Cumulative Distribution Function Binomial with n = 7 and p = 0.500000 x P( X <= x) 4.00 0.7734 =0.0017 TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Pendekatan untuk Binomial (2) Distribusi normal dengan  = 5.5 dan  = 1.6583 pendekatan yang lebih baik untuk distribusi binomial dengan n = 11 dan p = 0.50. B i n o m i a l D i s t r i b u t i o n : n = 1 1 , p = . 5 N o r m a l D i s t r i b u t i o n :  = 5 . 5 ,  = 1 . 6 5 8 3 P(x4) = 0.2744 P(x<4.5) = 0.2732 . 3 . 2 . 2 x ) ) ( x ( P f . 1 . 1 . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 5 1 X X MTB > cdf 4.5; SUBC> normal 5.5 1.6583. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 5.50000 and standard deviation = 1.65830 x P( X <= x) 4.5000 0.2732 MTB > cdf 4; SUBC> binomial 11,.5. Cumulative Distribution Function Binomial with n = 11 and p = 0.500000 x P( X <= x) 4.00 0.2744 =0.0012 TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Pendekatan untuk Binomial (3) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Pendekatan untuk Binomial (4) Untuk n besar (n>50) dan p tidak mendekati 0 atau 1.00 Atau: Untuk n sedang (20<n<50) Jika p kecil (mendekati 0) atau besar (mendekati 1), gunakan pendekatan dengan distribusi Poisson. TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Pendekatan untuk Binomial (5) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Perhitungan dengan Excel (1) Dalam EXCEL, perintah NORMSDIST(number) akan memberikan nilai probabilitas kumulatif dari variabel random normal standar. Perintah NORMDIST(number, mean, standard deviation) akan memberikan nilai probabilitas dari variabel random normal secara umum. TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Perhitungan dengan Excel (2) Contoh: NORMSDIST(1.0) = 0.8413. NORMDIST(10.0, 5, 2) = 0.9938. Perintah inversinya NORMSINV(number) dan NORMINV(number, mean, standard deviation). NORMSINV(0.975) = 1.96. NORMINV(0.975, 20, 10) = 39.6. TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Normal Multivariat (1) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Normal Multivariat (2) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Normal Multivariat (3) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Gamma (1) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Gamma (2) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Gamma (3) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Gamma (4) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Weibull (1) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Weibull (2) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Probabilitas Weibull (3) Distribusi Weibull digunakan secara luas dalam analisis keandalan yang mengeneralisasi aplikasi distribusi tersebut dengan menyertakan hazard rate yang tidak konstan, meningkat atau menurun, dan mencakup initial failure serta wear-out failures. t TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3