POKOK BAHASAN 2 PERKALIAN TITIK DAN SILANG Oleh: Nurul Saila Senin, 10 Oktober 2011 Selasa, 11 Oktober 2011

SUB POKOK BAHASAN: 2.1 Hasil kali titik atau skalar 2.2 Hasil kali silang atau vektor 2.3 Hasil kali tripel 2.4 Himpunan vektor-vektor reciprokal

2.1 Hasil Kali Titik atau Skalar Hasil kali titik atau skalar dari dua vektor A dan B, dinyatakan dg A . B, didefinisikan sbg hasil kali antara besarnya vektor A dan B dan cosinus sudut ɵ antara keduanya. A . B = |A||B| cos ɵ, 0 ≤ ɵ ≤ π Contoh: A adalah vektor yg besarnya 3 satuan dg arah utara dan B adalah vektor yg besarnya 5 satuan dg arah 30⁰ ke utara dari timur. Tentukan: A.B

Jawab: A.B = |A||B| cos ɵ = 3.5 cos 60⁰ = 15 . ½ A.B = 7,5

Hukum2 Perkalian Titik: A . B = B . A A .(B . C) = (A . B) . C m(A.B) = (mA).B = A.(mB) = (A.B)m , m skalar i.i = j.j = k.k = 1, i.j = j.k = k.i = 0 Jika A = A₁i+A₂j+A₃k, B = B₁i+B₂j+B₃k maka: A.B = A₁B₁ + A₂B₂ + A₃B₃ A.A = A₁² + A₂² + A₃² = |A|² Jika A.B = 0 maka A  B

Contoh 1: Buktikan: A.B = B.A Bukti: A.B = |A||B| cos ɵ (definisi) = |B||A| cos ɵ (sifat komutatif perkalian) = B.A (definisi) Terbukti

Contoh 2 Buktikan proyeksi A pd B adalah A.b, b adl vektor satuan searah B. Bukti: Misal proyeksi A pd B adl C, mk: C =|A| cos ɵ, ɵ sudut antara A dan B =|A| 1 cos ɵ =|A||b| cos ɵ (b vektor satuan searah B) = A.b terbukti

Contoh 3 Tentukan a shg A = 2i + aj +k  B = 4i – 2j -2k Jawab: Jika A B maka : A.B = 0 (2i + aj+k).(4i-2j-2k) = 0 8-2a-2= 0 2a = 6  a= 3

Contoh 4 Tentukan sebuah vektor satuan yg  dg A = 2i – 6j -3k dan B = 4i + 3j - k Jawab: Misal C= ai+bj+ck adalah vektor  A dan B, maka vektor satuan yg  dg A = 2i – 6j -3k dan B = 4i + 3j – k adalah vektor satuan searah C. C= ai+bj+ck adalah vektor  A dan B, maka: C.A = 0  2a-6b-3c = 0 <1> C.B = 0  4a +3b-c = 0 <2>

Dari <1> dan <2> diperoleh: a = ½ c, b = -⅓ c, shg C = c(½ i – ⅓j +k). Vektor satuan searah C adalah:

Tugas Untuk harga-harga a yg manakah A=ai-2j+k dan B=2ai+aj-4k saling tegaklurus? Carilah sudut-sudut yg dibentuk oleh A =3i-6j+2k dg sumbu-sumbu koordinat. Carilah proyeksi A =i–2j +k pada B=4i-4j+7k

SELAMAT MENGERJAKAN Nurul Saila TERIMAKASIH SELAMAT MENGERJAKAN Nurul Saila

Jawaban Tugas Untuk harga-harga a yg manakah A=ai-2j+k dan B=2ai+aj-4k saling tegaklurus? Jwb: Jika AB, maka A.B = 0 (ai-2j+k).(2ai+a-4k) = 0 2a² -2a-4 = 0 2(a²- a – 2) = 0 (a-2)(a+1) = 0 a-2 = 0 atau a+1 = 0  a = 2 atau a = -1

2. Carilah sudut-sudut yg dibentuk oleh A =3i-6j+2k dg sumbu-sumbu koordinat. Jawab: Misal , ,  berturut-turut adalah sudut yg dibentuk oleh A dg sumbu x, y dan z. i adalah vektor-vektor satuan yg searah dg sumbu x, maka: A.i = 7 . 1 cos  <1> A.i = (3i-6j+2k).i = 3 <2>

Dari <1> dan <2> diperoleh: Cos  = 3/7 = 0,4286 = 64,6⁰ Dengan cara yg sama diperoleh: Cos  = -6/7  = 149⁰ Cos  = 2/7  = 73,4⁰

3. Carilah proyeksi A =i–2j +k pada B=4i-4j+7k Jawab: Proyeksi A pada B = A.b, b vektor satuan searah B. Proyeksi A pada B = (i-2j+k).(4/9 i- 4/9 j +7/9 k) = 4/9 + 8/9 + 7/9 = 19/9.