MATEMATIKA EKONOMI HIMPUNAN dan SISTEM BILANGAN Ir Tito Adi Dewanto

Ruang Lingkup Pengertian Himpunan Penyajian Himpunan Himpunan Universal dan Himpunan Kosong Operasi Himpunan Kaidah Matematika dalam Operasi Himpunan

Pengertian Himpunan Himpunan : Suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek. Secara umum himpunan dilambangkan  A, B, C, ...... Z Obyek dilambangkan  a, b, c, ..... z Notasi : - p A  p anggota A - A B  A himpunan bagian dari B - A = B  himpunan A sama dengan B - =  ingkaran ∩ ∩ ∩ ∩

Cara penyajian himpunan 1. Enumerasi (Menjabarkan) menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal Contoh: A = {1,2,3,4} 2. Simbol-simbol baku antara lain: P = himpunan bilangan bulat positif={1,2,3,…} N = himpunan bilangan natural/alami = {0,1,2,…} Z = himpunan bilangan bulat = {…,-2,-1,0,1,2,…}

Cara penyajian himpunan 3. Notasi pembentuk himpunan menuliskan syarat keanggotaan himpunan Contoh: A = {x | x  P, x < 5} ekivalen dengan {1,2,3,4} M = {x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah Logika Matematika} 4. Diagram Venn

Beberapa istilah pada himpunan Himpunan semesta (U atau S) suatu himpunan yang mencakup seluruh elemen dari topik pembicaraan. Dengan menseleksi elemen dari himpunan semesta berdasarkan kriteria tertentu, didapatkan himpunan tertentu yang dimaksud. Himpunan bagian (subset) jika terdapat himpunan A dan B, A adalah himpunan bagian B apabila setiap elemen A terdapat pula di B, dinotasikan dengan AB AB = {x : jika x  A maka x  B} Himpunan A adalah proper subset dari B (AB) apabila AB dan AB

Beberapa istilah pada himpunan Himpunan identik (equal) dua himpunan A dan B adalah identik atau sama jika dan hanya jika elemen dari kedua himpunan adalah sama, dinotasikan dengan A = B Himpunan saling lepas (disjoint) dua himpunan A dan B adalah saling lepas jika tidak memiliki elemen yang sama, dinotasikan dengan A//B Contoh: Jika A = {x|x  P, x < 5} dan B = {11,12,13,14}, maka A//B Himpunan kosong (empty set) adalah himpunan yang tidak memiliki elemen, dinotasikan dengan  atau {}

Beberapa istilah pada himpunan Himpunan berhingga dan kardinalitas jika himpunan A memiliki n buah elemen yang berbeda, maka A adalah himpunan berhingga (finite set), dan n adalah kardinalitas dari A. Kardinalitas dari A dinotasikan dengan |A| atau n(A) Himpunan kuasa (power set) himpunan kuasa dari A adalah himpunan dari seluruh subset A dan dinotasikan dengan P(A). Kardinalitas dari P(A) dinotasikan dengan |P(A)| atau n(P(A)). |P(A)| atau n(P(A)) = 2n(A)

Diagram Venn Himpunan semesta, yang beranggotakan seluruh objek yang penting atau merupakan topik pembicaraan, direpresentasikan dengan bentuk kotak. Di dalam kotak tersebut terdapat lingkaran-lingkaran untuk merepresentasikan himpunan. Kadang tanda titik dipergunakan pula untuk menggambarkan elemen himpunan. Contoh: Diagram Venn yang menggambarkan himpunan V yaitu himpunan huruf vokal dalam bahasa Indonesia

Operasi Himpunan Gabungan (Union) A U B = {x; x Є A atau x Є B} Irisan (Intersection) A ∩ B = {x; x Є A dan x Є B} Selisih A - B = A|B {x; x Є A tetapi x Є B} Pelengkap (Complement) Ā = {x; x Є U tetapi x Є A} = U – A

Operasi Terhadap Himpunan

Kaidah-kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan Kaidah Idempoten A U A = A b. A ∩ A = A Kaidah Asosiatif ( A U B ) U C = A U ( B U C ) b. ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) Kaidah Komutatif A U B = B U A b. A ∩ B = B ∩ A Kaidah Distributif a. A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A U C ) b. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C )

Lanjutan ............ Kaidah Identitas a. A U Ø = A b. A ∩ Ø = Ø c. A U U = U d. A ∩ U = A Kaidah Kelengkapan a. A U Ā = U b. A ∩ Ā= Ø c. ( Ā ) = A d. U = Ø Ø = U Kaidah De Morgan a. (A U B)= Ā ∩ B b. (A ∩ B) = Ā U B

Latihan Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika : U = {1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {2,3,5,7} B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan : (a) A – B (c) A ∩ B (e) A ∩ B (b) B – A (d) A U B (f) B ∩ Ā

Pendahuluan Sistem Bilangan Ada beberapa sistem bilangan yang digunakan dalam sistem digital. Yang paling umum adalah sistem bilangan desimal, biner, oktal dan heksadesimal Sistem bilangan desimal merupakan sistem bilangan yang paling familier dengan kita karena berbagai kemudahannya yang kita pergunakan sehari – hari.

Aplikasi BINER Elektronika digital secara luas dibuat menggunakan sistem bilangan biner dan dinyatakan digit 1 dan 0. Digit biner digunakan untuk menunjukan dua keadaan level tegangan, HIGH atau LOW. Sebagian besar sistem digital level HIGH direpresentasikan oleh 1 atau ON dan level LOW direpresentasikan oleh 0 atau OFF.

Sistem Bilangan Secara matematis sistem bilangan bisa ditulis seperti contoh di bawah ini:

Konversi Radiks-r ke desimal Rumus konversi radiks-r ke desimal: Contoh: 11012 = 123 + 122 + 0x21 + 120 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310 5728 = 582 + 781 + 280 = 320 + 56 + 16 = 39210

Konversi Bilangan Desimal ke Biner Konversi bilangan desimal bulat ke bilangan Biner: Gunakan pembagian dgn 2 secara suksesif sampai sisanya = 0. Sisa-sisa pembagian membentuk jawaban, yaitu sisa yang pertama akan menjadi least significant bit (LSB) dan sisa yang terakhir menjadi most significant bit (MSB).

Contoh: Konersi 17910 ke biner: 179 / 2 = 89 sisa 1 (LSB) / 2 = 44 sisa 1 / 2 = 22 sisa 0 / 2 = 11 sisa 0 / 2 = 5 sisa 1 / 2 = 2 sisa 1 / 2 = 1 sisa 0 / 2 = 0 sisa 1 (MSB)  17910 = 101100112 MSB LSB

Bilangan Kompleks dan Bilangan Lain