Agus Sirojudin Dita Mustika Ambarwati Gugun Iskandar Intan KELOMPOK 3 Agus Sirojudin Dita Mustika Ambarwati Gugun Iskandar Intan

MATEMATIKA PYTHAGORAS Lahirnya Matematika Demontratif Pythagoras Aritmetika Pythagoras Dalil Pythagoras dan Triple Pythagoras MATEMATIKA PYTHAGORAS Penemuan Bilangan Irrasional Identitas Aljabar Penyelesaian Persamaan Kuadrat Secara Geometri Transformasi Luas Pembahasan Soal

LAHIRNYA MATEMATIKA DEMONTRATIF Pada abad terakhir dari tahun 2000 SM banyak perubahan ekonomi dan politik, beberapa peradaban hilang, kekuasaan Babylonia dan Mesir berakhir. Bangsa-bangsa baru teristimewa Hebrew (Urani), Assyria, Punisia dan Yunani telah bangkit. Zaman besi timbul, alfabet ditemukan, dan mata uang diperkenalkan, maka dunia telah siap dengan peradaban baru. Kemajuan peradaban mengakibatkan munculnya kota perdagangan di sepanjang pulau asia kecil, Yunani, Sicilia dan pantai Italia. Pantai timur yang statis dan kuno tenggelam sebab dengan munculnya perkembangan ratio, manusia mulai bertanya “mengapa” sebagai ganti “bagaimana”. Untuk pertama kalinya matematika mulai bertanya prinsip-prinsip dasar, hal ini menyebabkan munculnya metode DEMONTRATIF. Geometri demonstratif dimulai oleh Thales dari Miletus satu dari "tujuh orang bijaksana" dari zaman kuno, di masa pertengahan abad yang pertama dari abad ke-6 SM.

Thales (624-546 SM) lahir di kota Miletus yang merupakan tanah perantauan orang-orang Yunani di Asia Kecil. Situasi Miletos yang makmur memungkinkan orang-orang di sana untuk mengisi waktu dengan berdiskusi dan berpikir tentang segala sesuatu. Thales menjalani bagian pertama hidupnya sebagai seorang saudagar yang cukup kaya, namun Ia mencurahkan masa hidupnya untuk belajar dan melakukan banyak perjalanan. menurut beberapa sumber, Thales pernah tinggal beberapa waktu di Mesir dan menimbulkan kekaguman karena menghitung tinggi piramida dengan menggunakan bayangan piramida tersebut. Sekembalinya dari Miletus, Ia terkenal sebagai negarawan, penasehat, insinyur, usahawan, matematikawan, dan ahli perbintangan karena kejeniusannya tersebut. Thales adalah orang pertama yang dihubung-hubungkan dengan penemuan-penemuan matematika.

Dalam bidang geometri, Ia mendapat penghargaan atas hasil-hasil elementernya yaitu sebagai berikut: Suatu lingkaran terbagi sama oleh setiap garis tengah Sudut-sudut alas dari segitiga sama kaki adalah sama Sudut-sudut bertolak belakang yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan adalah sama Dua segitiga adalah sama dan sebangun apabila mereka memiliki 2 sudut dan sebuah sisi yang sama Sebuah sudut yang dilukis dalam setengah lingkaran adalah suatu sudut siku-siku (hal ini dikenal oleh orang-orang babylonia kira-kira 1400 tahun sebelumnya) Nilai dari hasil ini tidaklah diukur dari teorema-teorema itu sendiri tetapi juga dari kepercayaan bahwa Thales memperkuatnya dengan suatu jalan pikiran berdasarkan logika dan bukan hanya dari intuisi dan eksperimen.

PYTHAGORAS Pythagoras lahir pada tahun 570 SM, di pulau Samos, di daerah Ionia. Pythagoras (582 SM – 496 SM, adalah seorang matematikawan dan filusuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya. Dikenal sebagai "Bapak Bilangan", dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan kisah-kisah buatan mengenai dirinya. Dalam tradisi Yunani, diceritakan bahwa ia banyak melakukan perjalanan, diantaranya ke Mesir. Perjalanan Pythagoras ke Mesir merupakan salah satu bentuk usahanya untuk berguru, menimba ilmu, pada imam-imam di Mesir. . Konon, karena kecerdasannya yang luar biasa, para imam yang dikunjunginya merasa tidak sanggup untuk menerima Pythagoras sebagai murid. Namun, pada akhirnya ia diterima sebagai murid oleh para imam di Thebe.

Selepas berkelana untuk mencari ilmu, Pythagoras kembali ke Samos dan meneruskan pencarian filsafatnya serta menjadi guru untuk anak Polycartes, penguasa tiran di Samos. Kira-kira pada tahun 530, karena tidak setuju dengan pemerintahan tyrannos Polycartes, ia berpindah ke kota Kroton di Italia Selatan. Di kota ini, Pythagoras mendirikan sebuah tarekat beragama yang kemudian dikenal dengan sebutan “Kaum Pythagorean.” Pythagoras mengajar dengan cara lisan dan persaudaraan atau dapat juga kita katakan sebagai perguruan yaitu yang mengatakan bahwa semua penemuan akan kembali pada pendiri yang dipuja, oleh sebab itu sekarang sangat sulit untuk mengetahui mana matematika yang ditemukan oleh Pythagoras sendiri dan yang mana diketemukan oleh para anggota yang lainnya. Pada waktu itu pengaruh perkumpulan itu sangat besar sehingga kaum demokratis dari Itali sebelah selatan menghancurkannya. Hal ini menyebabkan perkumpulan itu bubar dan menurut laporan, Pythagoras lari ke Metapontum yang akhirnya meninggal dalam usia sekitar 75-80 tahun serta ada kemungkinan ia terbunuh.

ARITMETIKA PYTHAGORAS Yunani kuno membedakan antara mempelajari hubungan-hubungan abstrak yang menghubungkan bilangan dan perhitungan praktis. Yang pertama dikenal sebagai aritmatika yang terakhir sebagai logistik. Klasifikasi ini digunakan selama abad pertengahan sampai abad ke-15 ketika kedua aspek teoritis dan praktis berkenaan dengan pengerjaan bilangan yang diberi nama sama yaitu: aritmetika Aritmetika di Benua Eropa tetap mempunyai arti yang asli, sedangkan Inggris dan Amerika, aritmetika mempunyai arti yang sama dengan pengertian logistik pada zaman kuno dan di dua Negara ini istilah teori bilangan (number theory) digunakan untuk pelajaran yang abstrak mengenai bilangan.

PENEMUAN PYTHAGORAS DALAM ARITMETIKA Bilangan Ideal Pembagian interval Bilangan Sekawan Bilangan Gambar Bilangan Sempurna, abundant & deficient

Pythagoras dan pengikutnya menganggap bilangan sepuluh sebagai bilangan yang ideal, antara lain karena 10 merupakan jumlah dari bilangan berurutan 1 + 2 + 3 + 4 . Juga mereka menganggap semua objek di dalam alam semesta dapat dilukiskan oleh sepuluh sifat Terbatas - Tak terbatas Ganjil - Genap Tunggal - Jamak Kanan - Kiri Jantan - Betina Diam - Bergerak Lurus - Bengkok Terang - Gelap Baik - Jahat Bujur Sangkar - Persegi Panjang

Sepasang bilangan adalah sekawan bila setiap bilangan sama dengan jumlah pembagi-pembagi bilangan yang lain,contohnya : 282 dan 220 dinyatakan sebagai sepasang bilangan sekawan yang dinyatakan oleh Pythagoras.

Bilangan perfect ialah bilangan yang sama dengan jumlah pembagi-pembaginya. Bilangan deficient adalah bilangan yang lebih besar dari pada jumlah pembagi-pembaginya. Bilangan abundant adalah bilangan yang lebih kecil daripada jumlah pembagi-pembaginya.

Tidak semua ahli matematika menyetujui bahwa bilangan sekawan dan bilangan sempurna didapatkan oleh Pythagoras, tetapi secara umum mereka menyetujui bahwa bilangan gambar mempunyai anggota yang ada hubungannya dengan perguruan Pythagoras. Bilanagan ini dinyatakan dengan jumlah titik-titik dalam bangunan geometri yang tertentu, hal ini merupakan penghubung antara geometri dan aritmetika. Banyak teori yang cukup menarik mengenai bilangan gambar yang dapat dibuat dari bangun geometri sebagai contoh dikemukakan dalam : Dalil : yang menyatakan bahwa setiap bilangan bujursangkar sama dengan jumlah bilangan 2 segitiga yang berurutan 𝑺 𝒏 = 𝒏 𝟐 = 𝒏(𝒏+𝟏) 𝟐 + 𝒏(𝒏−𝟏) 𝟐 = 𝑻 𝒏 + 𝑻 𝒏−𝟏

Dalil : bila segilima ke n samadengan n tambah 3 kali bilangan segitiga ke (n-1) Bukti: 𝑷 𝒏 =𝟏+𝟒+𝟕+…+ 𝟑𝒏−𝟐 = 𝒏 𝟑𝒏−𝟏 𝟐 = 𝒏+𝟑𝒏 𝒏−𝟏 𝟐 =𝒏+𝟑 𝑻 𝒏−𝟏 Dalil: jumlah setiap bilangan ganjil yang berurutan dimulai dengan satu adalah bilangan kuadrat murni. 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = 𝒏(𝟐𝒏) 𝟐 = 𝒏 𝟐

Penemuan Pythagoras yang terakhir yaitu tentang pembagian interval musik berdasarkan perbandingan bilangan. Pythagoras juga terkenal dengan pemikirannya tentang bumi. Baginya bumi membentuk bola yakni suatu anggapan yang menyerupai pengetahuan kita sekarang ini. Kasus mengenai bilangan ini muncul juga pada saat raja Yu yang disebut dengan “Lo Shu” yaitu yang sekarang terkenal dengan istilah “bujur sangkar ajaib” dikemukakan sekitar tahun 2200 SM (dari daratan China)

DALIL PYTHAGORAS Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C, berlaku  Dalil Pythagoras , yaitu  c2 = a2+b2 atau Kuadrat sisi miring suatu segitiga siku-siku (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya. Pembuktian ABCD adalah sebuah persegi dengan panjang sisinya (a+b) (persegi putih/dasar), sedangkan EFGH adalah sebuah persegi dengan panjang sisi  c (persegi kuning).  Luas persegi EFGH = Luas persegi ABCD-Luas warna biru c2 = Luas  persegi ABCD   -   4 Luas segitiga c2 = 𝒂+𝒃 𝟐 − 𝟒 𝒂×𝒃 𝟐 c2 = a2 + 2ab + b2 - ( 2ab ) c2 = a2 + 2ab + b2 - 2ab  c2 = a2 +  b2 Keterangan: :  Luas persegi = sisi x sisi = s2 Luas segitiga = (a+b)2 = a2 + 2ab +  b2

Perhatikan Segitiga Siku-siku Berikut: TRIPLE PYTHAGORAS Perhatikan Segitiga Siku-siku Berikut: c = 10 b = 6 a = 8 c = 5 b = 4 a = 3 c = 13 a = 5 b = 12 𝟓 𝟐 + 𝟏𝟐 𝟐 = 𝟏𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐 = 𝟓 𝟐 𝟔 𝟐 + 𝟖 𝟐 = 𝟏𝟎 𝟐 Kelompok bilangan : (3, 4, 5), (6, 8, 10) dan (5, 12, 13) dinamakan Triple Pythagoras Triple Pythagoras adalah tiga bilangan asli yang tepat untuk menyatakan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku.

Pembuktian menentukan triple pythagoras Dimulai dengan sebuah bilangan yang diwakili oleh 𝒏 𝟐 kemudian ditambahkan dengan 𝟐𝒏+𝟏 yang disebut dengan 𝒎 𝟐 sehingga akan menghasilkan sebuah bilangan berupa 𝒏+𝟏 𝟐 . (m,n adalah bilangan asli sebarang dan berbeda). 𝒎 𝟐 +𝒏 𝟐 = 𝒏+𝟏 𝟐 …(1) 𝟐𝒏+𝟏= 𝒎 𝟐 𝒏= 𝒎 𝟐 −𝟏 𝟐 …(2) Sehingga untuk 𝒏+𝟏= 𝒎 𝟐 −𝟏 𝟐 +𝟏 𝒏+𝟏= 𝒎 𝟐 −𝟏 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝒏+𝟏= 𝒎 𝟐 +𝟏 𝟐 …(3) Subtitusikan persamaan (2) dan (3) ke persamaan (1), sehingga didapat: 𝒎 𝟐 + 𝒎 𝟐 −𝟏 𝟐 𝟐 = 𝒎 𝟐 +𝟏 𝟐 𝟐 …(Terbukti, untuk m ganjil)

Timbul pertanyaan mengenai rumus tersebut, karena rumus tersebut hanya untuk m ganjil. Plato akhirnya mengemukakan rumus untuk m genap yaitu sebuah persamaan yang diturunkan dari Pythagoras dengan mengalikannya dengan 2. 𝟐×𝒎 𝟐 + 𝟐× 𝒎 𝟐 −𝟏 𝟐 𝟐 = 𝟐× 𝒎 𝟐 +𝟏 𝟐 𝟐 Sehingga didapat 𝟐𝒎 𝟐 + 𝒎 𝟐 −𝟏 𝟐 = 𝒎 𝟐 +𝟏 𝟐 …(Terbukti, untuk m genap)

PENEMUAN BILANGAN IRRASIONAL Definisi bilangan rasional sebagai hasil bagi dua bilangan bulat 𝒑 𝒒 , 𝒒≠𝟎 bilangan-bilangan rasional dapat ditafsirkan dengan geometri yang sederhana (biasa disebut garis bilangan), seperti gambar berikut: Tidak ada bilangan rasional yang dilukiskan titik P pada garis tersebut, maka dihasilkan bilangan baru yang dikaitkan dengan titik tersebut serta dinamakan BILANGAN IRRASIONAL.

Pembuktian : 2 adalah irrasional. yang kita butuhkan dalam hal ini memisalkan 2 bilangan rasional. artinya ada bilangan bulat prima a dan b sedemikian sehinnga 2 = a/b. 𝒎𝒊𝒔𝒂𝒍 𝟐 = 𝒂 𝒃 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒂 𝒅𝒂𝒏 𝒃 𝒃𝒊𝒍𝒃𝒖𝒍 𝒚𝒈 𝒔𝒂𝒍𝒊𝒏𝒈 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒇 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒂 𝒂=𝒃 𝟐 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒂 𝟐 =𝟐 𝒃 𝟐 Karena 𝒂 𝟐 =𝟐 𝒌𝒂𝒍𝒊 𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 𝒃𝒊𝒍𝒃𝒖𝒍, 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒂 𝟐 𝒈𝒆𝒏𝒂𝒑 𝒔𝒉𝒈 𝒂 𝒑𝒖𝒏 𝒋𝒖𝒈𝒂 𝒈𝒆𝒏𝒂𝒑 𝒎𝒊𝒔𝒂𝒍𝒌𝒂𝒏 𝒂=𝟐𝒂 𝒅𝒈 𝒄 𝒃𝒊𝒍𝒂𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒃𝒖𝒍𝒂𝒕, 𝒎𝒂𝒌𝒂 : 𝟒 𝒄 𝟐 =𝟐 𝒃 𝟐 𝟐 𝒄 𝟐 = 𝒃 𝟐 Sehingga 𝒃 𝟐 genap dan b pun genap. tetapi tidak mungkin karena a dan b tidak mungkin genap karena a dan b relatif prima jadi asumsi bahwa 2 adalah rasional tidak mungkin. Maka untuk beberapa lama 2 satu-satunya bilangan irrasional yang dikenal.

IDENTITAS ALJABAR Dalil 4 dalam buku III Element Euclid menyatakan: Bila sebuah garis lurus dibagi menjadi dua bagian, maka persegi dengan sisi garis itu sama dengan jumlah persegi-persegi dengan sisi masing-masing bagian garis itu ditambah dengan dua segi empat yang sisi-sisinya adalah kedua bagian garis itu. Dalil: Bila suatu garis lurus dibagi dua sama dan juga tidak sama, maka segi empat dengan sisi bagian yang tidak sama ditambah dengan persegi dengan sisi jarak titik potongnya sama dengan persegi dengan sisi setengah garis itu. Dalil: Bila suatu garis lurus dibagi dua sama dan diperpanjang ke suatu titik, segi empat dengan sisi semua garis yang diperpanjang dan kepanjangannya ditambah dengan persegi dengan sisi setengah garis itu sama dengan persegi dengan sisi setengah garisitu ditambah dengan perpanjangannya

PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT SECARA GEOMETRI Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat secara geometri digunakan dalil-dalil. Dalil: untuk membagi suatu garis yang diketahui sedemikian rupa sehingga segi empat dengan sisi-sisi bagian garis itu sama dengan luas tertentu, tetapi luas ini tidak boleh lebih besar dari luas persegi dengan sisi setengah garis yang diketahui.

Misalkan AB dan q suatu garis yang diketahui dan q < 𝟏 𝟐 AB Misalkan AB dan q suatu garis yang diketahui dan q < 𝟏 𝟐 AB. AB dibagi Q sehingga (AQ)(QB) = 𝒒 𝟐 Jawab: Untuk menyelesaikan soal ini dilakukan penyelesaian sebagai berikut : P tengah-tengah AB, PE = q dan tegak lurus AB di titik P. E sebagai pusat dan PE sebagai jari-jari dibuat busur lingkaran sehingga memotong AB di Q. Dalil diatas mengatakan: (AQ)(QB) = (𝑷𝑩) 𝟐 − (𝑷𝑸) 𝟐 = (𝑬𝑸) 𝟐 − (𝑷𝑸) 𝟐 = (𝑬𝑷) 𝟐 = 𝒒 𝟐

Bila panjang AB dinyatakan dengan P, maka dari aljabar elementer diketahui bahwa r + s = p dan r . s = 𝒒 𝟐 . Dari persamaan 𝒙 𝟐 −𝒑𝒙+ 𝒒 𝟐 =𝟎 dengan r dan s akar-akarnya. Sedang AQ dan QB jumlahnya sama dengan AB atau p, sedangkan hasil kalinya = 𝒒 𝟐 , maka AQ dan QB merupakan r dan s. Pada persamaan 𝒙 𝟐 −𝒑𝒙+ 𝒒 𝟐 =𝟎 dinyatakan dengan negatifnya panjang AQ dan QB. Dalil: memperpanjang suatu garis lurus yang diketahui dehingga segiempat dengan sisi segmen-segmen garis diantara titik ujung dan titik perpanjangannya samadengan luas yang diketahui. Misalkan AB adalah garis yang diketahui dan q suatu segment garis. Kita harus memperpanjang AB ke titik Q sehingga (AQ)(QB) = 𝒒 𝟐 . Buatlah BE tegak lurus AB di B, dengan P (pertengahan AB) sebagai pusatnya dan PE jari – jarinya. Buatlah busur lingkaran sehingga memotong AB di Q.

Menurut dalil : (AQ)(QB) = (𝒑𝒒) 𝟐 − (𝑷𝑩) 𝟐 = 𝑷𝑬 𝟐 − 𝑷𝑩 𝟐 = 𝑩𝑬 𝟐 = 𝒒 𝟐 Dengan AQ positif dan BQ negatif, maka AQ dan BQ merupakan akar persamaan 𝒙 𝟐 −𝒑𝒙− 𝒒 𝟐 =𝟎 , dimana hanya tandanya yang berubah.

TRANSFORMASI LUAS Pythagoras juga tertarik dalam persoalan-persoalan transformasi luas suatu bentuk ke bentuk lain. Misalnya ada segi banyak ABCD ... Lukislah gambar BR//AC sampai memotong DC di R. Maka segitiga ABC dan ARC mempunyai luas yang sama yaitu AC dan juga tinggi yang sama ke alas ini, jadi ABC dan ARC mempunyai luas yang sama. Sehingga segi banyak ABCD… dan ARD… mempunyai luas yang sama. Dengan cara yang sama akhirnya didapat suatu segitiga dengan luas yang sama dengan luas segi banyak yang diketahui.

SOAL-SOAL Lukislah sebuah persegi yang luasnya sama dengan segiempat sebarang ABCD. Kita tentukan tiga buah rata-rata dari dua bilangan positif a dan b sebagai: 𝑨= 𝒂+𝒃 𝟐 rata – rata hitung 𝑮= 𝒂𝒃 rata – rata ukur 𝑯= 𝟐𝒂𝒃 𝒂+𝒃 rata – rata harmonis Buktikan bahwa H rata-rata harmonis antara a dan b. jika ada sebuah bilangan n sehingga 𝒂=𝑯+ 𝒂 𝒏 dan 𝑯=𝒃+ 𝒃 𝒏 . Ini merupakan definisi Pythagoras dari rata-rata harmonis a dan b.