Fungsi

Misalkan A dan B himpunan Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B

Fungsi merupakan relasi. Relasi yang khusus Fungsi merupakan relasi. Relasi yang khusus. Kekhususan fungsi tercakup pada dua hal penting Setiap elemen di dalam himpunan A, yang merupakan daerah asal f, harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f Frasa “Dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B” berarti bahwa jika (a,b)∈f dan (a,c) ∈f,maka b=c

Daerah asal Daerah hasil Bayangan Jelajah Bentuk fungsi Apabila himpunan daerah asal maupun daerah hasil fungsi tidak dispesifikan maka diasumsikan daerah asal dan daerah hasil fungsi adalah R Bayangan Jelajah Bentuk fungsi Himpunan: contoh f = {(1,u),(2,v),(3,w)} dari A = {1,2,3} dan B={u,v,w}. A adalah daerah asal dari f dan B adalah daerah hasil dari f Formula pengisian nilai: contoh f(x) = 2x, f(x) = x3, dan

Fungsi satu-ke-satu (One-to-one) atau injektif (injective) Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama. Dengan kata lain, jika a dan b adalah anggota himpunan A, maka f(a) ≠f(b) bilamana a ≠ b. Jika f(a)=f(b) maka implikasinya adalah a = b

Fungsi satu-ke-satu (One-to-one) atau injektif (injective) B a b c d 1 2 3 4 5

Fungsi satu-ke-satu (One-to-one) atau injektif (injective) B a b c 1 2 3 4

Fungsi pada (Onto) atau surjektif (surjective) Fungsi f dikatakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan daerah hasil (himpunan B) merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan daerah asal (himpunan A)

Fungsi pada (Onto) atau surjektif (surjective) b c d 1 2 3

Fungsi pada (Onto) atau surjektif (surjective) b c d 1 2 3

Fungsi berkoresponden satu-ke-satu atau bijeksi (bijection) Fungsi f dikatakan berkoresponden satu ke satu atau bijeksi (bijection) jika ia fungsi satu-ke-satu (injective) dan juga fungsi pada (surjective)

Bukan fungsi satu-ke-satu (one-to-one) maupun pada (onto) c d 1 2 3 4

Bukan fungsi a b c d 1 2 3 4

Bukan fungsi a b c d 1 2 3 4

Fungsi Inversi f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka balikan atau inversi dari f misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, f-1(b)=a jika f(a)=b Contoh: Relasi f={(1,u),(2,w),(3,y)} dari A={1,2,3} ke B={u,y,w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu. Inversi fungsi f adalah f-1={(u,1),(w,2),(y,3)} inversi fungsi f(x)=x+1 ?

Komposisi Fungsi Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C, maka (f o g)(a) = f(g(a)). f o g memetakan g(a) ke f Contoh: diberikan fungsi g = {(1,u),(2,u),(3,v)} yang memetakan A = {1,2,3} ke B = {u,v,w} dan fungsi f={(u,y),(v,x),(w,a)} yang memetakan B = {u,v,w} ke C = {x,y,a}. Fungsi komposisi dari A ke C adalah f o g = {(1,y),(2,y),(3,x)} f(x) = x-2, g(x) = x2+2. f o g ?

Latihan 1 Misalkan g = {(1,b),(2,c),(3,a),(4,c)} adalah fungsi dari A = {1,2,3,4} ke B ={a,b,c,d} dan f = {(a,y),(b,y),(c,w),(d,z)} adalah fungsi dari B ke C = {w,x,y,z} Tuliskan f o g

Latihan 2 Misalkan f adalah fungsi dari X = {0,1,2,3,4} ke X yang didefinisikan oleh f(x) = 2x mod 5. Tuliskan f sebagai himpunan pasangan terurut

Latihan 3 Fungsi berikut apakah memiliki inversi? Apabila ada tuliskan fungsi inversinya a. f(x)=2x+2 b. f(x)=x4-1 c. f(x)=x3

Latihan 4 Diberikan fungsi f(x) = x+4 dan g(x) = x2-2. Tentukan f o g g o f