Hitung Diferensial Sumber: Husain Bumulo & Djoko Mursinto, Matematika Ekonomi

Jika diketahui fungsi y = f (x) maka : y ’ = f ’ (x) Contoh : 1. y = x³ + 7x maka dy = (3x² + 7). dx 2. y = ln (5x + 10) maka 5 . dx 5x + 10 3. 3x + 4y = 5 maka y’ = ……. dy = f’ (x). dx dy =

Konsep pengertian diferensial ini dapat diterapkan untuk menentukan turunan pertama dari fungsi implisit f (x,y) = c Misalnya: 3x + 4y = 5 maka 3.dx + 4.dy = 0 4.dy = -3. dx atau dy - 3 Fungsi diatas bisa diubah bentuk menjadi fungsi eksplisit : 4y = -3x + 5 y = -3/4x + 5/4 maka y’ = -3/4 = dx 4

Turunan Parsial / Diferensial Parsial Jika fungsi implisit terdiri 2 variabel atau lebih, misalnya f (x,y) = c atau f (x,y,z,…) = 0 maka turunan fungsi ini dapat ditentukan melalui turunan parsial atau diferensial parsial Kalau f (x,y) = c, maka turunan parsialnya : δf : turunan parsial ke x, dimana variabel y δx dianggap tetap fx δf : turunan parsial ke y, dimana variabel x δy dianggap tetap fy

Contoh : x³ - 2x²y + xy² + 6x – 3y = 7 maka δf δx δf δy Berdasarkan perhitungan diferensial parsial maka dy/dx dari fungsi implisit f (x,y) = c dapat dihitung sbb: fx.dx + fy.dy = 0 sehingga = 3x² - 4xy + y² + 6 – 0 = 0 = 0 -2x² + 2xy + 0 – 3 = 0 dy dx fx fy = -

Dari contoh (1) diatas hasilnya adalah sbb: 3x² - 4xy + y² + 6 2. x²y - y²lnx = 8 fx = 2xy - y² / x ; fy = x² - 2y lnx sehingga 2xy - y² / x x² - 2y lnx 3. 5x3 - 7x²y + 3xy2 + 8x – 3y = 9 Hitung y’ dy = - dx y’ = -

Turunan Kedua dan Turunan Yang Lebih Tinggi Dari Fungsi Y = F (X) dy dx dy’ dx dx dx² y’ = f ’ (x) = dy d dx d²y y’’= f ’’ (x) = = = d3y y’’’= f(3) (x) = dx3 dny Y(n) = f(n) (dx) = dxn

Contoh : y = f (x) = (3x+2)4 y’= 4.(3x+2)3.3 = 12 (3x+2)3 y”= 12.3.(3x+2)2.3 = 108 (3x+2)2 y”’= 108.2.(3x+2).3 = 648 (3x+2) Jadi turunan keempat y : y(4)= 648.3 = 1944 2. y = (5x + 10)4 Hitung y’ , y”, y”’ , y(4)

2. Jika y = f(x) = ln (x2+4x) maka tentukan y’ dan y” Jawab : y’ = (bentuk pecahan) jadi y” = U’=2 ; V’= 2x+4 y” = 2x + 4 x2 + 4x U’V – V’U V2 2(x2+4x) - (2x+4).(2x+4) (x2 + 4x)2

Turunan Kedua Fungsi Dalam Bentuk Parameter x = f(t) y = g(t) Contoh : x = t2 + 3t y = ln (4t + 6) maka hitunglah y’ dan y” dy dy/dt g’(t) y’ = = = dx dx/dt f’(t) g’’(t).f’(t) – f”(t).g’(t) . dt y’’ = (f’(t)2) dx