NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Grup : 4 Aditya Setiawan ( 131102710) Apriyanto ( 131102724) Ricky Tisna Saputra Risnanda Caturiman (131102756) Suger Leonard S. (131102744) Yanti Novita ( 131102722) NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Grup : 4 Judul Bahasan : Nilai Eigen dan Vektor Eigen Tgl presentasi: 2 Desember 2013

Nilai eigen merupakan nilai karakteristik dari suatu matriks. NILAI EIGEN Definisi : 1. secara sederhana,Nilai eigen merupakan nilai yang mempresentasikan suatu matriks dalam perkalian dengan suatu vektor, dapat ditulis sebagai berikut: Dimana A adalah suatu matriks , X merupakan vektor, dan  merupakan Nilai eigen dari matriks A A x   x

Jika diketahui vektor X = 𝟏 𝟐 dan sebuah matiks ordo 2 x 2 , A = 𝟒 𝟎 𝟒 𝟐 . Apabila matriks A dikalikan X maka: Ax = 𝟒 𝟎 𝟒 𝟐 𝟏 𝟐 = 𝟒+𝟎 𝟒+𝟒 = 𝟒 𝟖 dimana Nilai eigen 𝟒 𝟖 = 4 𝟏 𝟐 =  x Vektor eigen Memenuhi persamaan A x =  x

Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n x n , maka: Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n x n , maka: A nxn Ax = x Ax = I x (I  A ) x = 0  Persamaan karakteristik dari A , dimana skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A. det (I  A ) merupakan persamaan polinomial p dalam  dan disebut polinomial karakteristik dari A det (I  A ) x = 0

A x   x Menghitung Nilai Eigen perhatikan persamaan berikut ! Dimana Inxn adalah matriks identitas. Karena x adalah vektor tak nol, maka SPL Homogen ini akan punya solusi tak trivial jika dan hanya jika : det (  I  A )  0 adalah persamaan karakteristik . Nilai  yang memenuhi persamaan tersebut disebut nilai eigen dari matriks A det (  I  A )  0

Vektor eigen (x) merupakan solusi dari matriks Vektor Eigen Untuk setiap nilai  yang ada di mana x ≠ 0 . Misalkan pada matriks Q tadi mempunyai Dua nilai eigen. Maka vektor eigennya juga dua. (I  A ) x = 0

(I  A ) x = 0 Pencarian Vektor Eigen perhatikan bentuk : pencarian vektor eigen suatu matriks equivalen dengan mencari solusi tak trivial sistem persamaan linier homogen, menentukan ruang solusi dari SPL. Karena itu mencari vektor eigen berarti pula mencari basis ruang solusi untuk eigen yang bersesuaian.

CARA MENENTUKAN VEKTOR EIGEN DARI A: 1 CARA MENENTUKAN VEKTOR EIGEN DARI A: 1. Setelah nilai eigen didapat, sebut saja . Vektor eigen yang bersesuaian dengan suatu nilai eigen  tersebut merupakan vektor tak nol dalam ruang solusi SPL. 2. untuk setiap nilai eigen dapat dicari ruang solusi untuk x dengan memasukkan nilai eigen ke dalam persamaan : I A x  0 3. Ruang solusi yang diperoleh disebut Ruang eigen dari A yang bersesuaian dengan nilai .

CONTOH : 1. Carilah nilai-nilaidanvektoreigen dari matriks Q berikut: Q = 𝟑 𝟐 －𝟏 𝟎 Penyelesaian: det (I－A) = det  𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 － 𝟑 𝟐 －𝟏 𝟎 = det  𝟎 𝟎  － 𝟑 𝟐 －𝟏 𝟎 = det －𝟑 －𝟐 𝟏 

= (3. )  (2. 1). = 2  3  2. = 2  3  2  0. ( 1  1) = (3 . )  (2 . 1) = 2  3  2 = 2  3  2  0 ( 1  1). (2  2) 1  1 = 0 2  2 = 0 1 = 1 2 = 2 penyelesaian dari persamaan tersebut adalah 1 = 1 dan 2 = 2 Jadi, nilai eigen dari matriks Q adalah 1 dan 2

Sekarang tentukan vektornya: - Untuk nilai eigen = 1 Sekarang tentukan vektornya: - Untuk nilai eigen = 1 Ax =  x 𝟑 𝟐 −𝟏 𝟎 x =  x 𝟑 𝟐 −𝟏 𝟎 𝒙𝟏 𝒙𝟐 = 1. 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝟑𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟐 −𝒙𝟏 −𝒙𝟏 −𝒙𝟐 = 0 maka di peroleh persamaan sebagai berikut: 3x1 + 2x2 – x1 = 0 x1 – x2 = 0

Jika diselesaikan maka: 2x1 + 2x2 = 0 artinya x1= x2 x1  x2 = 0 artinya x1 =  x2 jika x2 = k (merupakan konstanta sembarang) maka di dapat X = 𝒙𝟏 𝒙𝟐 = − 𝒌 𝒌 - Untuk nilai eigen  = 2 Ax =  x 𝟑 𝟐 −𝟏 𝟎 x =  x 𝟑 𝟐 −𝟏 𝟎 𝒙𝟏 𝒙𝟐 = 2. 𝒙𝟏 𝒙𝟐

𝟑𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟐 −𝒙𝟏 = 𝟐𝒙𝟏 𝟐𝒙𝟐 𝟑𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟐 −𝟐𝒙𝟏 −𝒙𝟏 −𝟐𝒙𝟐 = 0 maka diperoleh persamaan: 3x1+ 2x2− 2x1 = 0 −x1 −2x2 = 0 jika diselesaikan maka: x1 + 2x2 = 0 artinya x1 = −2x2 −x1−2x2 = 0 artinya x1 = −2x2 jika x2 = k (konstanta sembarang) maka di dapat :

X= 𝒙𝟏 𝒙𝟐 = −𝟐𝒌 𝒌 JADI, VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS Q ADALAH X = −𝟏 −𝟐 𝟏 𝟏

LATIHAN. 1. Untuk Matriks berikut A = 𝟒 −𝟏 𝟐 𝟏 Tentukan : a LATIHAN ! 1. Untuk Matriks berikut A = 𝟒 −𝟏 𝟐 𝟏 Tentukan : a. Nilai Eigen dari matriksA b. Vektor Eigen dari matriks A

2. Tentukan nilai eigen dari: B = 𝟏 𝟎 𝟓 𝟎 𝟐 𝟎 𝟑 𝟎 𝟑

DAFTAR PUSTAKA Bagus,Erwin(2012). Ruang Eigen,[online]. Tersedia: htpp://erwinbagus.blog.ittelkom.ac.id/blog/files/2012/01/10-Ruang-Eigen.ppt blog.uin-Malang.ac.id/rismalil/files/2010/12/ALIN-NilaiVektorEigen.pdf. dafiqur.files.wordpress.com/2013/02/bab-7-Vektor-Eigen.pdf Laksono,Heru Dibyo(2010). Nilai Eigen dan Vektor,[online]. Tersedia: http://herudibyolaksono.files.wordpress.com/2010/12/2-10-nilai-eigen-dan-vektor-eigen.docx