TEORI BILANGAN INDUKSI MATEMATIKA Lativah Wulandari 11144100038 Heru Tri Wibowo 14144100098 Krisna Bani Putri P 14144100106 Diana Rahmawati 14144100113

Definisi Induksi matematika adalah salah satu metode pembuktian yang absah dalam matematika. Pembuktian dengan induksi matematik berkenaan dengan pembuktian pada pernyataan-pernyataan yang semestanya adalah himpunan bilangan bulat atau lebih khusus himpunan semua bilangan asli.

Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematik : Langkah 1 : ditunjukkan bahwa p(1) benar. (basis) Langkah 2 : diasumsikan bahwa p(n) benar untuk suatu bilangan asli n dan ditunjukkan bahwa p(n+1) benar. (induktif) Jika langkah 1 dan 2 terbukti benar dapat disimpulkan p(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

CONTOH SOAL dan PEMBAHASAN Diketahui 1+3+5+…+(2n-1)= Buktikan bahwa kesamaan ini selalu benar untuk setiap bilangan asli n. Penyelesaian : Misalkan p(n) menyatakan 1+3+5+…+(2n-1)= Langkah 1 : akan ditunjukkan bahwa p(1) benar. p(1) : = 1 Terbukti bahwa p(1) benar.

Langkah 2 : asumsikan bahwa p(n) benar Yaitu 1+3+5+…+(2n-1)= benar Akan ditunjukkan bahwa p(n+1) benar, yaitu p(n+1)=1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1)= = 1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1)= Bukti : 1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1)= = (benar) Dari langkah 1 dan 2 dapat disimpulkan bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

2. Diketahui 1+2+3+…+n= n (n+1) 2. Diketahui 1+2+3+…+n= n (n+1). Buktikan bahwa kesamaan ini selalu benar untuk setiap bilangan asli n. Penyelesaian : Misalkan p(n) menyatakan 1+2+3+…+n= n (n+1). Langkah 1 : akan ditunjukkan bahwa p(1) benar p(1) : 1 (1+1)= 2= 1 Terbukti bahwa p(1) benar

Langkah 2 : asumsikan bahwa p(n) benar Yaitu 1+2+3+…+n= n (n+1) benar Akan ditunjukkan bahwa p(n+1) benar, yaitu : 1+2+3+…+n+(n+1)= (n+1) (n+2) Ditunjukkan sebagai berikut : 1+2+3+…+n+(n+1)= (1+2+3+…+n)+(n+1) = n (n+1) + (n+1) = (n+1) ( n+1) = (n+1) (n+2) benar Dari langkah 1 dan 2 dapat disimpulkan bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

TEOREMA BINOMIAL Terlebih dulu diingat lagi pengertian dari n objek yang diambil r objek. Biasanya disimbolkan atau , disebut dengan kombinasi dan dirumuskan sebagai :

Contoh penerapan kombinasi yang dipelajari pada mata kuliah statistik. Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi satu bola merah dan satu bola putih. Dari tiap-tiap kotak diambil satu bola, sehingga mendapat tiga bola. Banyaknya cara pengambilan 3 bola tersebut agar di dapat bola berwarna merah semua ada cara. Banyak cara pengambilan 3 bola tersebut agar didapat dua bola berwarna merah ada cara.

Banyaknya cara pengambilan 3 bola tersebut agar didapat satu bola berwarna merah ada cara. Banyaknya cara pengambilan 3 bola tersebut, agar tidak terambil bola berwarna merah ada cara. Contoh diatas akan digunakan untuk menyatakan suku banyak yang berasal dari

Koefisien-koefisien dalam ruas kanan kesamaan tersebut dapat dinyatakan dengan kombinasi-kombinasi banyaknya x dalam tiap sukunya dapat ditulis sebagai berikut.

Koefisien-koefisien x pada ruas kanan dinamakan koefisien binomial. Beberapa sifat koefisien binomial : Apabila x pada teorema binomial diganti dengan 1, maka diperoleh 2. Apabila n suatu bilangan asli, maka 3. Sifat simetrik dan koefisien binomial :

4. Jika n dan k bilangan –bilangan asli dan n>k, maka 5 4. Jika n dan k bilangan –bilangan asli dan n>k, maka 5. Jika n,m, k bilangan-bilangan asli dan n>k>m, maka : 6. Jika n dan k bilangan-bilangan asli dengan n≥k, maka