Distribusi Sampling

Teori samping mempelajari hubungan antara populasi dgn sampel yg diambil dr populasi tsb. Sampel memperkirakan besara-besaran seperti rata-rata, varian, median, modus, dll dalam populasi Besaran tsb disbt parameter populasi. Statistik yang mempelajari sampel utk memperkirakan parameter populasi disebut statistik sampel.

Teori sampling juga memperkirakan perbedaan hasil pengamatan dua sampel akibat perubahan variasi atau keduanya signikasi berbeda. Statistik yg mempelajari hubungan perbedaan antara sampel dan populasi berdasarkan teori kemungkinan disebut statistik induktip.

Sample Acak Sampel yg diambil harus mewakili utk mengambarkan populasi tsb. Sampling acak adalah proses penyampling dgn setiap anggota populasi memiliki kesempatan yang sama utk dapat diambil.  bilangan acak Sampling: Sampling dgn pengembalian Sampling tampa pengembalian Populasi Populasi terbatas Populasi tdk terbatas.

Dist.Sampling rata-rata Sample Acak Populasi Sample ukuran n Statistik Rata-rata Dist.Sampling rata-rata Varian Proposi Beda rata-rata Dll

4. Modus sampel = nilai yang paling sering muncul X Populasi S Distribusi Sampling Statistik sampel 1. Rentang/range Range = Xmak – Xmin 2. Rata-rata sampling Median 4. Modus sampel = nilai yang paling sering muncul 5. Varian

populasi Sampel ukuran n X1 X2 Xn xn

Populasi tdk terbatas, tampa dan dgn pengembalian Populasi terbatas, dgn pengembalian = populasi tdk terbatas Populasi terbatas, tampa pengembalian N = ukuran populasi n = ukuran sampel  30

Teorema Batas Sentral Jika x adalah rata-rata dari sampel acak I yg berukuran u yg diambil dr populasi yg mempunyai rata x dan varian x, i = 1, 2, 3, …k ( k=frek.pengambilan sampel) Maka

Contoh Populasi terdiri dari bilangan 2, 3, 6, 8 dan 11 Hitung a).rata-rata, b). Deviasi standar dr populasi Penyelesaian a)  = (2+3+6+8+11)/5 = 6 b) = (54/5) =3,286 X X-X (X-X)2 2 -4 16 3 -3 9 6 8 4 11 5 25 54

2,2 2,3 2,6 2,8 2,11 3,2 3,3 3,6 3,8 3,11 6,2 6,3 6,6 6,8 6,11 8,2 8,3 8,6 8,8 8,11 11,2 11,3 11,6 11,8 11,11 2 2,5 4 5 6,5 3 4,5 5,5 7 6 8,5 8 9,5 11

Distribusi Sampling Proposi Kemungkinan terjadi sesuatu = p Kemungkinan tidak terjadi sesuatu = q = 1-p Kumpulan dr harga p akan membentuk dist.sampling proposi yg mempunyai nilai rata-rata dan simpangan baku

Contoh 2% dari produk dibuat dari X dlm keadaan cacat. Pengiriman produk sebanyak 400. Berapa kemungkinan: a). 3% atau lebih produk cacat b). 2% atau kurang produk cacat?. Penyelesaian n = 400, p = 0,02, p =  (0,02x0,98/400)= 0.007 a). z = p – p/ p =(0,03-0,02)/0,007 = 1,43 p(p0,03) = p(z 1,43) = 1 –p(z 1,43) = 1 – 0,9236 = 0,0764. b). z = p – p/ p =(0,02-0,02)/0,007 = 0 p(p0,02) = p(z 0) = 0,5

Distibusi Sampling Beda Rata-Rata Dua sampel n1 dan n2 yg saling bebas diambil secara random dari dua populasi dgn rata-rata nilai 1 dan 2 dan varian 1 dan 2, maka sist.sampling dr beda x1-x2 akan mendekati dist.normal dgn nilai rata-rata dan varian

Contoh Tabung TV dari pabrik A berumur rata-rata 6,5 tahun dan standar deviasi 0,9 tahun. Tabung TV dari pabrik B berumur rata-rata 6 tahun dan standar deviasi 0,8 tahun. Sbh sampel diambil dari pabrik A dan B masing-masing sebanyak 36 dan 49. Hitung berapa kemungkinan rata-rata sampel A akan melebihi sampel B paling sedikit 1 tahun

Penyelesaian

Distibusi Sampling Varian Jika sbh sampel acak dgn ukuran n diambil dari sebuah populasi normal dgn rata-rata  dan varian 2, dan kemudian varian sampel S2 dihitung , maka akan didapat nilai statistik dr S2. Suatu sist. Dari statistik Sebelumnya Adalah variabel acak berdist.chi-square dgn derajat kebebasan n

Sedangkan suku kedua Adalah variabel acak berdist.chi-square dgn derajat kebebasan = 1. sebab variabel acak

Adalah berdist.chi-square dgn derajat kebebasan = n-1. Teorema Jika S2 adalah varian dr sampel acak berukuran n yg diambil dr suatu populasi berdist.normal yg mempunyai varian 2, maka Adalah berdist.chi-square dgn derajat kebebasan  = n-1.

2 adalah harga 2 yg mempunyai luas sama dgn . Kemungkinan bahwa variuabel acak 2  suatu harga tertentu adalah sama dgn luas dibawah kurva yang berada disebelah kanan dr harga tertentu 2 adalah harga 2 yg mempunyai luas sama dgn . Harga 2utk berbagai harga dan dpt dilihat dilampiran IV 2 2 

Contoh Sbh pabrik aki mobil menjamin umur aki diproduksi rata-rata nilainya adalah 3 thn dgn standar deviasi = 1 thn. 5 aki diperiksa masing-masing berumur 1,9, 2,4, 3,0, 3,5 dan 4 tahun. Apakah pabrik masih yakin aki berstandar deviasi = 1 thn?. Gunakan tingkat keyakinan 95% dan asumsikan umur aki berdist.normal.

Penyelesaian x = (1,9+2,4+3,0+3,5+4)/5= 3 2 = (n-1)S2/ = (4)(0,815)/1= 3,26.  = n-1 = 5-1 = 4. Keyakinan 20,975;4 = 0,484 Keyakinan 20,025;4 = 11,143 Karena 2 =3,26 berada diantara 0,484 dan 11,143, maka dgn keyakinan 95% dpt disimpulkan bahwa benar varian =1

Distribusi t Sebelumnya, distribusi sampling rata-rata Dgn asumsi  populasi diketahui . Bila  populasi tidak diketahui, maka  dapat didekati atau diestimasi melalui simpangan baku sampel S. statistik mengunakan

Bila n30, harga S2 relatip tetap dari sampel ke sampel, sehingga T  z. Bila n30, T jauh dari berbeda dgn z, dan karena berukuran kecil distribusi T  dist. T Penyusunan dist.dr statistik T, diasumsikan bahwa sampel acaknya diambil dr populasi yg berdistribusi normal.

Teorema z adalah variabel acak yg berdist.normal standar V adalah variabel acak yang berdistribusi chi-square dgn derajat kebebasan . Bila z dan saling bebas , maka dist.variabel T

Diberikan oleh Dgn - < t <+ Distribusi diatas dikenal dgn nama dist-t dgn derajat kebebasan 

Definisi x1,x2, x3 … adalah variabel acak saling bebas dan semuanya normal dgn rata-rata dan standar deviasi Jika  =   = 5  = 1

Contoh gambar dibawah ini adalah gbr dist.t dgn derajat kebebasan 9. carilah nilai t kasus berikut: Luas daerah sebelah kanan yg diasir adalah 0,05. Luas total daerah yg diarsir adalah 0,05. Total daerah yg tdk diarsir 0,99 Daerah yg diarsir sebelah kirei adalah 0,01 Daerah sebelah kiri t adalah 0,90. t1 t2

Penyelesaian a). = 0,05 t,9 = 1,83 b). Luas yg diarsir = 0,05,  = ½ (0,05) = 0,025  t,9 = 2,262 c). Luasnya = 1-0,99 = 0,01   = ½ (0,01) = 0,005, t,9 = 3,250 d).  = 0,01  t,9 = 2,821.  t1 = -2,821 e). = 1 -0,9 = 0,10  t,9 = 1,383  t1 = 1,383

Distribusi F Dist. F digunakan utk membandingkan variasi dari  2 sampel. Statistik F didefinisikan dari perbandingan dua variabel chi-square yg saling bebas, masing-masing dibagi oleh derajat kebebasannya atau U dan V adalah variabel acak yg mempunyai dist. Chi-square dgn masing-masing mempunyai derajat kebebasan 1 dan 2.

Teorema U dan V adalah dua cariabel acak yg saling bebas masing-masing mempunyai dist. Chi-square dgn derajat kebebasan 1 dan 2 , maka dist. variabel acak. Diberikan oleh dgn T = fungsi gamma.

Teorema Jika notasi f (1,2) menyatakan f dgn derajat kebebasan 1 dan 2, maka

Teorema Jika S12 dan S22 adalah varian dari sampel acak yg saling bebas dgn ukuran n1 dan n2 yg diambil dari populasi normal dgn varian berturut-turut sama dgn 12 dan 22, maka Mempunyai dist. F dgn derajat kebebasan 1 = n1 - 1 dan 2 = n2 -1.

Contoh Berikut adalah hasil pengukuran panas batu bara yg dihasilkan dr dua tambang (juta kalori/ton) Tambang 1 : 8260 8130 8350 8070 8340 Tambang 2 : 7950 7890 7900 8140 7920 7840 Dapatkah disimpulkan kedua tambang tsb mempunyai variasi yg sama? Gunakan  = 0.05 dan misal 12 = 22.

Penyelesaian