TRANSFORMASI LINIER Afri Yudamson, S.T., M.Eng.

PEMETAAN VEKTOR Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sutu fungsi yang mengasosiasikan vektor unik di W dengan setiap vektor yang terletak di V, maka dikatakan F memetakan V di dalam W. F: V  W Jika F mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka w = F(v) w adalah bayangan dari v dibawah F Ruang vektor V dikatakan domain F

CONTOH PEMETAAN VEKTOR Misalkan v = (x, y) adalah suatu vektor di R2 Dan ada sebuah fungsi F(v) = (x, x + y, x - y) yang memetakan R2 ke R3 Maka jika v = (1,1) tentukan F(v)!

TRANSFORMASI LINIER Jika F: V  W adalah suatu fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dikatakan transformasi linier jika: F(u + v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di V F(ku) = k F(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k

CONTOH Misalkan F:R2R3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh F(v) = (2x, y) dengan v = (x, y) di R2. buktikan bahwa F merupakan transformasi linier

Jawab Misalkan u = (x1, y1) dan v = (x2, y2) Bukti pertama: F(u + v) = F((x1, y1) + (x2, y2)) = F(x1+x2, y1+y2) = (2(x1+x2), (y1+y2)) = ((2x1, y1) + (2x2, y2)) F(u + v) = F(u) + F(v) => terbukti

Bukti kedua: F(ku) = F(kx1, ky1) = (2kx1, ky1) = k (2x1, y1) F(ku) = k F(u) => terbukti Jadi F adalah trasnformasi linier

SOAL Misalkan F: R2R3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh F(v) = (x, x+y, x-y) dengan v = (x,y) di R2. Buktikan bahwa F merupakan transformasi linier Buktikan linieritas transformasi T:R2R3 dengan T(x,y) = (2x+y, x-3y, 3x+1)

MATRIKS TRANSFORMASI Misalkan A adalah suatu matriks berorde m’n. Jika notasi matriks digunakan untuk vektor di Rm dan Rn, maka dapat didefinisikan suatu fungsi T: RnRm dengan T(x) = Ax Jika x adalah matriks n x 1, maka hasil kali Ax adalah matriks m x 1; jadi T memetakan Rn ke dalam Rm dan T linier

*teorema Jika T: RnRm adalah transformasi linier, dan jika e1, e2, …, en adalah basis baku untuk Rn, maka T adalah perkalian oleh A atau T(x) = Ax dimana A adalah matriks yang mempunyai vektor kolom T(e1), T(e2),.., T(e3)

CONTOH Carilah matriks baku (A) untuk tranformasi T: R3R2 yang didefinisikan oleh T(x) = (x1+x2, x2+x3), untuk setiap x = (x1, x2, x3) dalam Rn

jawab T: R3  R2 Basis baku dari R3 adalah: e1 = (1, 0, 0)  T(e1) = (1 + 0, 0 + 0) = (1, 0) e2 = (0, 1, 0)  T(e2) = (0 + 1, 1 + 0) = (1, 1) e3 = (0, 0, 1)  T(e3) = (0 + 0, 0 + 1) = (0, 1) Maka matriks A nya adalah vektor kolom bentukan dari T(e1), T(e2), dan T(e3), yaitu Buktikan jawaban tersebut!

SOAL Misalkan T: R3R2 adalah transformasi matriks, dan misalkan: Hitunglah: Matriks transformasinya T(1, 3, 8) T(x, y, z)

KERNEL DAN JANGKAUAN Jika T: VW adalah transformasi linier, maka himpunan vektor di V yang dipetakan ke 0, dinamakan dengan kernel (atau ruang nol) dari T. himpunan tersebut dinyatakan oleh ker(T). Hipunan semua vektor di W yang merupakan bayangan di bawah T dari paling sedikit satu vektor di V dinamakan jangkauan dari T; himpunan tersebut dinyatakan oleh R(T).

SIFAT TRANSFORMASI LINIER Jika T:VW adalah trasnformasi linier, maka T(0) = 0 T(-v) = -T(v) untuk semua v di V T(v-w) = T(v) – T(w) untuk semua v dan w di V

RANK DAN NULITAS Jika T:VW adalah transformasi linier, maka dimensi jangkauan dari T dinamakan rank T, dan dimensi kernel dinamakan nulitas T Jika T:VW adalah trasnformasi linier, maka Kernel dari T adalah sub-ruang dari V Jangkauan dari T adalah subruang dari W

TEOREMA DIMENSI Jika T:VW adalah transformasi linier dari ruang vektor V yang berdimensi n kepada suatu ruang vektor W, maka: Rank dari T + nulitas dari T = n Jika A adalah matriks m x n maka dimensi ruang pemecahan dari Ax = 0 adalah n – rank(A)

CONTOH Diketahui sebuah SPL homogen yang mempunyai ruang pemecahan berdimensi 2 memiliki matriks koefisien sebagai berikut tentukan rank (A)

Jawab Sesuai teorema sebelumnya bahwa Jika A adalah matriks m x n, maka dimensinya didefinisikan sebagai: dimensi = n – rank(A) sehingga rank (A) = n – dimensi = 5 – 2 = 3

CONTOH Tinjaulah basis S = {v1, v2, v3} untuk R3 dimana v1 = (1, 1, 1); v2=(1, 1, 0); v3=(1, 0, 0), dan misalkan T: R3R2 adalah transformasi linier sehingga T(v1) = (1, 0); T(v2) = (2,-1); T(v3) = (4,3). Carilah T(2, -3, 5)

jawab Nyatakan v = (2, -3, 5)sebagai kombinasi linier dari v1, v2, dan v3: v = k1v1 + k2v2 + k3v3 Didapat k1=5; k2=-8; dan k3=5 Sehingga: (2,-3,5) = 5v1 – 8v2 + 5v3 T(2,-3,5) = 5T(v1) – 8T(v2) + 5T(v3) =5(1,0) – 8(2,-1) + 5(4,3) =(9,23)

TERIMA KASIH