Penyelesaian Sistem Persamaan Linier (spl) Edy mulyanto

Definisi SPL Suatu sistem yang merupakan gabungan dari beberapa persamaan linier dengan variabel SPL diatas mempunyai m persamaan dan n variabel

Bentuk Matrik SPL SPL dengan m persamaan dan n variabel Bentuk SPL dapat ditulis dengan Dapat ditulis A.x = B =

Bentuk Matrik SPL Dimana A = x = B= A adalah matrik koefisien dari SPL Vektor x disebut vektor variabel Vektor B disebut vektor konstanta

Augmented Matrik Matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan menambahkan vektor B pada kolom terakhirnya

Contoh x + 3y + 2z = 44 x + 4y + z = 49 2x + 5y + 5z = 83 Bentuk matrik SPL Augmented Matrik =

Penyelesaian SPL Berdasarkan penyelesaiannya, SPL dibedakan menjadu 3 macam: Tidak mempunyai penyelesaian (no solutions) Tepat satu penyelesaian (exactly one solution) Banyak penyelesaian(infinitely many solutions)

Contoh Seorang pembuat boneka ingin membuat tiga macam boneka yaitu boneka A, B dan C. Ketiga boneka tersebut dibuat dengan menggunakan tiga macam bahan yaitu potongan kain , rol benang dan kancing. Boneka A membutuhkan 3 potongan kain, 2 rol benang dan 6 kancing, boneka B membutuhkan 2 potongan kain 3 rol benang dan 8 kancing dan boneka C membutuhkan 4 potongan kain 2 rol benang dan 5 kancing. Permasalahannya adalah berapa buah boneka A, B dan boneka C yang dapat dibuat dari 21 potongan kain, 20 rol benang dan 55 kancing ?

Contoh 1 Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan : x = jumlah boneka A y = jumlah boneka B Z = jumlah boneka C Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa: Potongan kain 3 untuk boneka A + 2 untuk boneka B + 4 untuk boneka C = 21 Rol benang 2 untuk boneka A + 3 untuk boneka B + 2 untuk boneka C = 20 Kancing 6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B + 5 untuk boneka C = 55 Atau dapat dituliskan dengan : 3 x + 2 y + 4 z = 21 2 x + 3 y + 2 z = 20 6 x + 8 y + 5 z = 55 Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x, y dan z yang memenuhi ketiga persamaan di atas.

Metode Numerik Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss-Jordan Metode Iterasi Gauss-Seidel

Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas matrik diubah menjadi augmented matrik :

Metode Eliminasi Gauss ubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).

Metode Eliminasi Gauss Sehingga penyelesaian dapat diperoleh dengan: Baris terakhir Dan dapat dilakukan substitusi pada baris-baris diatasnya/sebelumnya.

Contoh 1 Seorang pembuat boneka ingin membuat tiga macam boneka yaitu boneka A, B dan C. Ketiga boneka tersebut dibuat dengan menggunakan tiga macam bahan yaitu potongan kain , rol benang dan kancing. Boneka A membutuhkan 3 potongan kain, 2 rol benang dan 6 kancing, boneka B membutuhkan 2 potongan kain 3 rol benang dan 8 kancing dan boneka C membutuhkan 4 potongan kain 2 rol benang dan 5 kancing. Permasalahannya adalah berapa buah boneka A, B dan boneka C yang dapat dibuat dari 21 potongan kain, 20 rol benang dan 55 kancing ?

Contoh 1 Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan : x = jumlah boneka A y = jumlah boneka B Z = jumlah boneka C Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa: Potongan kain 3 untuk boneka A + 2 untuk boneka B + 4 untuk boneka C = 21 Rol benang 2 untuk boneka A + 3 untuk boneka B + 2 untuk boneka C = 20 Kancing 6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B + 5 untuk boneka C = 55 Atau dapat dituliskan dengan : 3 x + 2 y + 4 z = 21 2 x + 3 y + 2 z = 20 6 x + 8 y + 5 z = 55 Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x, y dan z yang memenuhi ketiga persamaan di atas.

Contoh 1 : Selesaikan sistem persamaan berikut: Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :

Contoh 1: Lakukan operasi baris elementer 1 2 3

Contoh 1 : Penyelesaian : -7 z = -7  baris terakhir z = -7/-7 z = 1 Baris kedua : 5y – 2z = 18 Baris pertama : 3x + 2y + 4z = 21 5y – 2*(1) = 18 3x + 2(4) + 4(1) = 21 5y = 18 + 2 3x = 21-8-4 y = 20 / 5 x = 9 /3 y = 4 x = 3 Jadi yg dapat dari bahan2 tersebut adalah 3 boneka A, 4 boneka B dan 1 boneka C.

Contoh 2 : Selesaikan sistem persamaan berikut: Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :

Contoh 2: Lakukan operasi baris elementer 1 2 3

Contoh 2: Penyelesaian : 11 x3 = 11  baris terakhir x3 = 11 / 11 Baris kedua : -1x2 – 3x3 = -5 Baris pertama : x1 + x2 + x3 = 6 -1x2 – 3*(1) = -5 x1 + 2 + 1 = 6 -1x2 = -5 + 3 x1 = 6 – 3 x2 = -2 / -1 x1 = 3 x2 = 2 X1, X2 dan X3 coba dimasukkan ke persamaan linier simultan.

Contoh 2 3 + 2 + 1 = 6 2(3) + 2 – 1 = 7 3(3) – 2 +2(1) = 9 X1, X2 dan X3 coba dimasukkan ke persamaan linier simultan. 3 + 2 + 1 = 6 2(3) + 2 – 1 = 7 3(3) – 2 +2(1) = 9 PENS-ITS

selesai