VEKTOR DI RUANG DITINJAU DARI SUDUT PANDANG ALJABAR Disusun Oleh Kelompok 2: Riati Laia Anjelita Gea Janis Anjeli Selvia W. Halawa Mayten G. Daeli Sabarman Mendrofa Hertinus Laia  Guru Pembimbing: Ibu Nini Sadarwati Hia, S.Pd SMA Swasta Pembda 1 Gunungsitoli T.P 2015/2016

VEKTOR DI RUANG DITINJAU DARI SUDUT PANDANG ALJABAR 1. VEKTOR RUANG A. Pengertian Vektor Ruang Jika titik Q adalah titik pangkal dan titik R adalah titik ujung dengan koordinat (x,y,z), maka QR sebagai wakil vektor rdapat dinyatakan sebagai: Z k r j y Y i x Q X x , y , dan z disebut komponen-komponen vekto r yang nilai-nilainya bersesuainv dengan koordinat titik R ( x, y , z ). Vektor-vektor i, j , dan k disebut basis di R-3 pada arah sumbu x positif sumbu y positif , dan sumbu z positif. Karena i , j , dan k mempunyai panjang satu satuan, maka vektor-vektor itu sering disebut vektor satuan

Vektor r= xi + yj +zk dapat di nyatakan dalam bentuk : Vektor baris r = ( x , y , z ) Vektor kolom r = 𝑥 𝑦 𝑧 B. Panjang Vektor   Bila dua titik Q ( x1 ,y1 ,z1 ) dan R ( x2 , y2 ,z2 ) terletak di R3 maka rumus garis berarah QR X2-x1 mewakili vektor y2-y1 z2-z1 yaitu suatu vektor dengan komponen-komponen ( x2-x1 ) , ( y2-y1 ) , dan ( z2-z1 ). Panjang garis berarah QR dapat ditafsirkan sebagai jarak antara titik Q dan R ditulis |QR|.   |QR|= (x2 –x1)2 + (y2−y1)2 + (z2−x1)2

Vektor satuan( 𝑒 ) e = 𝑎 𝑎 = 𝑎 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑥 𝑦 𝑧 Contoh soal : Jika Q adalah (1, 0 , 1 ) dan R ( 3, 2 , 2 ).tentukan panjang vektor |QR| Penyelesaian: |𝑄𝑅|= (X2 – X1)2 + (Y2 – Y1)2 +(Z2 – Z1)2 |𝑄𝑅|=√(3-1)2 + (2-0)2 +(2-1)2 |𝑄𝑅|=√22 + 22 +12 𝑄𝑅 = 9 |QR| = 3 C. Penjumlahan Dua Vektor di Ruang Misalkan diketahui vektor a = 𝑥 𝑦 𝑧 dan vektor b = 𝑥 𝑦 𝑧

Jika vektor c adalah jumlah dari vektor a dan vektor b atau c = a+b , maka vektor c ditentukan oleh : c = 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧 𝑎 + 𝑥 𝑏 𝑦 𝑏 𝑧 𝑏 = 𝑥 𝑎 + 𝑥 𝑏 𝑦 𝑎 + 𝑦 𝑏 𝑧 𝑎 + 𝑧 𝑏 Contoh soal : Dik : vektor a = −4 5 6 , vektor b = 5 −3 2 , tentukanlah vektor a + b ! Jwb: a + b = −4 5 6 + 5 −3 2 = −4+5 5+ −3 6+2 = 1 2 8

D. Pengurangan Dua Vektor Dalam Ruang Misalkan diketahui a = 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧 𝑎 dan vektor b = 𝑥 𝑏 𝑦 𝑏 𝑧 𝑏 . Jika d adalah selisih dari vektor a dengan vektor b atau d = a-b , maka vektor d ditentukan dengan rumus : d = 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧 𝑎 - 𝑥 𝑏 𝑦 𝑏 𝑧 𝑏 = 𝑥 𝑎− 𝑥 𝑏 𝑦 𝑎− 𝑦 𝑏 𝑧 𝑎− 𝑧 𝑏 contoh soal : Dik : vektor a = 3i + 2j –k Vektor b= 4i + j + 2k Dit : a-b....?? Jwb: a-b = ( 3i + 2j – k) – ( 4i + j + 2k ) = (-i + j – 3k )

E. Hasil Kali Scalar Dengan Vektor Dalam Ruang Misalkan m adalah suatu scalar dan a adalah vektor di ruang dengan a = 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧 𝑎 . Hasil kali scalar dengan vektor a , ditulis sebagai c = m 𝑎 ,ditentukan : c= m 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧 𝑎 = 𝑚 𝑥 𝑎 𝑚 𝑦 𝑎 𝑚 𝑧 𝑎 Contoh soal : misalkan diketahui suatu scalar m=2 dan 𝑎 = 2 1 2 . Tentukanlah nilai m 𝑎 jawab: m 𝑎 =2 2 1 2 = 4 1 4

2. Vektor Posisi   Vektor posisi suatu vektor yang mempunyai titik pangkal dipusat koordinat O( 0,0,0 ). Semua vektor dapat dinyatakan ke dalam vektor posisi . vektor posisi A adalah vektor a yang diwakili oleh ruas garis berarah OA. Vektor posisi tititk A dapat ditulis dalam bentuk vektor kolom : Vektor posisi B adalah vektor 𝑏 yang diwakili oleh ruas garis berarah a . vektor posisi titik B dapat ditulis dalam bentuk vektor kolom : 𝑏 = 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 X Z B(x2,y2,z2) A(x1,y1,z1 ) Y X

Vektor posisi 𝐴𝐵 dapat ditentukan oleh : 𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 - 𝑂𝐴 𝐴𝐵 = 𝑏 - 𝑎 𝐴𝐵 = 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 - 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 a. Perbandingan Bagian Dinyatakan Dalam Vektor dan Koordinat 1. Pembagian Ruas Garis Dalam Perbandingan Bagian Suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m:n,Sehingga AP:PB = m:n A m P n B

Misalkan diketahui ruas garis QR dipotong oleh titik X dan X berada di Bila P di dalam AB , maka 𝐴𝑃 , 𝑃𝐵 mempunyai arah yang sama dan m , n mempunyai tanda sama. AP : PB = m : n AP : PB = m : (m+n) Bila P di luar AB , maka 𝐴𝑃 , 𝑃𝐵 mempunyai arah yang berlawanan dan m, n mempunyai tanda yang berlawan. AP : PB = m : (-n) AP : PB = m : (m-n) Contoh soal : Misalkan diketahui ruas garis QR dipotong oleh titik X dan X berada di dalam QR. Tentukan perbandingan QX dengan XR apabila QR = 6cm dan XR = 2cm Jawab : Panjang QR=6 dan panjang XR = 2 Maka, panjang QX=6-2=4 𝑄𝑋 𝑋𝑅 = 4 2 = 2 A P B

xp= 𝑚 𝑥 2 +𝑛 𝑥 1 𝑚+𝑛 yp = 𝑚 𝑦 2 +𝑛 𝑦 1 𝑚+𝑛 Jwb : P = 9𝑏+ −4 𝑎 9−4 = 9 5 𝑏− 4 5 𝑎 = 9 5 −6 8 1 - 4 5 4 3 1 = −54−16 5 72−12 5 9 − 4 5 = −14 12 1 Jadi , titk P adalah (-14,12,1) 3. Pembagian Ruas Garis Dalam Bentuk Koordinat Bila titik P membagi ruas garis yang menghubungkan titik A(x1,y1,z1) dan B(x2,y2,z2) dengan perbandingan m:n ,maka koordinat titik P adalah : xp= 𝑚 𝑥 2 +𝑛 𝑥 1 𝑚+𝑛 yp = 𝑚 𝑦 2 +𝑛 𝑦 1 𝑚+𝑛

2. Pembagian Ruas Garis Dalam Bentuk Vektor Apabila titik P membagi ruas AB dengan perbandingan AP : PB = m : n, maka vektor 𝑝 ditentukan dengan rumus : 𝑝 = 𝑚 𝑏 +𝑛 𝑎 𝑚+𝑛 Contoh soal : Titik P membagi ruas garis AB di luar dengan perbandingan AP:PB = 9: 4, jika titik A(4,3,1), maka koordinat titik P adalah… Penyelesaian : Dik : AP:AB=9:4 P diluar AB Dit : p = ? B Vektor posisi titik A dan 𝑎 Vektor posisi titik P dan 𝑝 Vektor posisi titik B dan 𝑏 𝑏 P 𝑝 𝑎 C A

zp = 𝑚 𝑧 2 +𝑛 𝑧 1 𝑚+𝑛 Contoh soal : Jika A(1,2,1) dan B(1,5,-5), tentukan koordinat titik R yang membagi garis AB di dalam dengan perbandingan 2:1.  Penyelesaian: A(1,2,1) B(1,5,-5) AR:RB = 2:1 x= 2 . 1+1 . 1 2+1 = 3 3 = 1 y= 2 . 5+1 . 2 2+1 = 12 3 = 4 z= 2. −5 +1 . 1 2+1 = −9 3 = -3

Soal dan Penyelesaian 1. (Anjelita Gea) Jika vektor a = 1 2 3 , b= 5 4 −1 , dan c= 4 −1 1 . Maka vektor a + 2b – 3c= Jwb: a + 2b – 3c = 1 2 3 + 2 5 4 −1 -3 4 −1 1 = 1 2 3 + 10 8 −2 - 12 −3 3 = 1+10−12 2+8− −3 3+ −2 −3 = −1 13 −2

2. (Riati Laia) Jika P(-5,0,-3) dan Q(1,2,3) tentukan panjang vektor 𝑃𝑄 . Penyelesaian : 𝑃𝑄 = (1− −5 ) 2 + (2−0) 2 +(3− −3 ) 2 𝑃𝑄 = 6 2 + 2 2 + 6 2 𝑃𝑄 = 76 𝑷𝑸 = 2 𝟏𝟗 3. (Janis Anjeli) Diketahui ruas garis PQ degan koordinat P(2,3,-1) dan Q(7,-2,9). Titik R membagi ruas garis PQ dengan perbandingan 1:4 ,maka koordinat titik R adalah... Penyelesaian : Titik R membagi ruas garis PQ dengan P(2,3,-1) dan Q(7,-2,9) PR:RQ = 1:4 X = 1 . 7+4 . 2 1+ 4 = 3 Y= 1 . −2 +4 . 3 1+4 = 2 Z= 1 . 9+4 (−1) 1+4 = 1 Jadi,koordinat R adalah (3,2,1)

4. (Sabarman Mendrofa) Diketahui ruas garis AB dengan vektor posisi titik A adalah 𝑎 dan vektor posisi titik B adalah 𝑏 . Tentukan vektor titik R yang membagi ruas garis AB dengan perbandingan 3:1 Penyelesaian : 𝑟 = 3 𝑎 + 𝑏 3+1 𝒓 = 𝟏 𝟒 (3 𝒂 + 𝒃 )   5. (Selvia Wulansari Halawa) Jika diketahui Q(4,2,10) dan R(4,6,2). Maka titik vektor X pada garis QR dengan perbandingan 1:3 adalah... Penyelesaian : 𝑥 = 𝑞 +3 𝑟 1+3 𝑥 = 4 2 10 +3 4 6 2 4 𝑥 = 4+12 2+18 10+6 4 𝑥 = 16 20 16 4 𝒙 = 𝟒 𝟓 𝟒

6. (Hertinus Laia) Diketahui suatu skalar m 2, dan vektor 𝑐 = −1 3 5 , tentukanlah hasil kali skalar m dengan vektor 𝑐 . Penyelesaian : m 𝑐 = 2 −1 3 5 m 𝒄 = −𝟐 𝟔 𝟏𝟎 7. (Maythen G. Daeli) Vektor 𝑎 = −4 2 4 , dan vektor 𝑏 = −1 1 2 , tentukalah 2 𝑎 - 𝑏 ! Penyelesaian : 2 𝑎 − 𝑏 = 2 −4 2 4 − −1 1 2 = −8 4 8 − −1 1 2 = −8−(−1) 4−1 8−2 = −𝟕 𝟑 𝟔

Jika diketahui A(1,2,3) ,B(2,4,6) dan C(5,10,15) Jika diketahui A(1,2,3) ,B(2,4,6) dan C(5,10,15). Buktikan bahwa A,B, dan C segaris. Dan tentukan juga nilai perbandingan AB dengan BC. Penyelesaian : 𝑎 = 1 2 3 , 𝑏 = 2 4 6 , 𝑐 = 5 10 15 Maka, 𝐴𝐵 mewakili 𝑏 - 𝑎 = 2 4 6 - 1 2 3 = 1 2 3 dan 𝐵𝐶 mewakili 𝑐 - 𝑏 = 5 10 15 - 2 4 6 = 3 6 9 = 3 Jadi, 𝐵𝐶 =3 𝐴𝐵 ,maka AB:BC=1:3 dan terbukti bahwa A,B, dan C segaris. Diketahui vektor 𝑐 = 2 −2 −1 . Tentukanlah vektor satuan dari vektor 𝑐 . Penyelesaian : 𝑒 = 2 −2 −1 2 2 + (−2) 2 + (−1) 2 𝑒 = 2 −2 −1 9   𝑒 = 2 −2 −1 3   𝒆 = 𝟏 𝟑 𝟐 −𝟐 −𝟏

Diketahui P(-1,5,2) dan Q(5,-4,17) jika T pada ruas garis PQ, dan PT:QT=2:1,maka vektor posisi T adalah... Penyelesaian : PT:QT=2:1 𝑃𝑇 𝑄𝑇 = 2 1 𝑡 - 𝑝 =2( 𝑡 - 𝑞 ) 𝑡 - 𝑝 =2 𝑡 - 2 𝑞 𝑡 =2 𝑞 - 𝑝 𝑡 = 2(5,-4,17) – (-1,5,2 𝑡 = (10,-8,34) – (-1,5,2) 𝒕 =(12,-13,32) Soal Quiz Diketahui 𝑎 = 3 , 𝑏 =1, dan | 𝑎 - 𝑏 |=1. Panjang vektor 𝑎 + 𝑏 adalah... a. 3 b. 5 c. 7 d.2 2 e.3 𝑎 = 5 −6 −2 , 𝑏 = 7 3 1 , 𝑐 = 2 2 1 . Jika 𝑑 = 𝑎 - 𝑏 + 3 𝑐 , maka| 𝑑| ...? a. -5 b. 7 c. 5 d. 26 e. 5 5

Penyelesaian | 𝑎 + 𝑏 |2 = 2(a2+b2) - | 𝑎 - 𝑏 |2 = 2 (( 3 )2 + 12) – 12 Diketahui titik A (5,2,1) dan B(9,10,9). Titik P di dalam AB dengan perbandingan 1:3. Titik Q di luar AB dengan perbandingan m:n = 2:3. Maka jumlah nilai vektor P + Q ....?? 3 10 2 3 −10 −12 −3 10 12 −3 −10 −12 3 10 −2 Penyelesaian 1. | 𝑎 + 𝑏 | = 2( 𝑎 2 + 𝑏 2 ) − | 𝑎 - 𝑏 |2 | 𝑎 + 𝑏 |2 = 2(a2+b2) - | 𝑎 - 𝑏 |2 = 2 (( 3 )2 + 12) – 12 = 2(4) – 1 = 8 – 1 = 7 | 𝑎 + 𝑏 | = 7

2. Dik : 𝑎 = 5 −6 −2 , 𝑏 = 7 3 1 , 𝑐 = Dit: | 𝑑 |=… 2. Dik : 𝑎 = 5 −6 −2 , 𝑏 = 7 3 1 , 𝑐 = Dit: | 𝑑 |=…? Jika 𝑑 = 𝑎 - 𝑏 + 3 Jwb: 𝑑 = 𝑎 - 𝑏 +3 𝑐 = 5 −6 −2 - 7 3 1 +3 2 2 1 = 4 −3 0 | 𝑑 |= 4 2 + (−3) 2 + 0 2 = 25 =5 3. Dik : A(5,2,1)→ 𝑥 1 =5 ; 𝑦 1 =2 ; 𝑧 1 =1 B(9,10,9)→ 𝑥 2 =9 ; 𝑦 2 =10 ; 𝑧 2 =9 AP:PB:1:3→m=1, n=3 AB:BQ:2:3→m=2, n=3 Dit : P+Q...? Jawab: Xp = 1.9+3.5 1+3 = 9+15 4 = 24 4 =6 Yp= 1.10+3.2 1+3 = 10+6 4 = 16 4 =4 Zp= 1.9+3.1 1+3 = 9+3 4 = 12 4 =3

Xq= 2.9−3.5 2−3 = 18−15 −1 =−3 Yq= 2.10−3.2 2+3 = 20−6 −1 = 14 −1 =-14 Zq= 2.9−3.1 2−3 = 18+3 −1 =−15 P 6 4 3 + Q −3 −14 −15 = 6−3 4−14 3−15 = 3 −10 −12