Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Pokok Bahasan Sistem Persamaan Linear dan Linear dgn Dua Peubah Sistem Persamaan Linear dan Linear dgn Tiga Peubah Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Sistem Kuadrat dan kuadrat exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Sistem Persamaan Linear dan Linear dengan Dua Peubah Bentuk Umum a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 ax + by = c px + qy = r atau Dengan a,b,c,p,q, dan r atau a1,b1,c1,a2,b2,c2 merupakan bilangan –bilangan real. Jika c1 = c2 = 0 maka sistem persamaan linear dikatakan homogen sedangkan jika c1 ≠ 0 atau c2 ≠ 0 maka sistem persamaan linear dikatakan tidak homogen Menentukan Himpunan Penyelesaian dari persamaan Linear Dua Peubah dapat ditentukan dengan cara sbb : 1. Metode Grafik 3. Metode Eliminasi 2. Metode Subtitusi 4. Metode determinan exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Metode Grafik Langkah – langkah untuk menetukan himpunan penyelesaian sistem persamaan dua peubah dengan memakai metode grafik adalah sebagai berikut Langkah I Gambarkan grafik masing – masing persamaan pada bidang Cartesius. Langkah 2 Jika kedua garis berpotongan pada satu titik maka himpunan penyelesaiannya tepat memiliki satu anggota Jika kedua garis sejajar, maka himpunan penyelesaiaannya tidak memilki anggota. Dikatakan himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong Jika kedua garis berimpit maka himpunan penyelesaiaannya memiliki anggota yang tak hingga banyaknya exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Contoh x + y = 1 x y 1 y x 1 x + y = 1 x – y = 3 x – y = 3 x y 3 y x 3 x – y = 3 1 1 3 – 1 P (2, -1) – 3 x + y = 1 exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Metode Subtitusi Langkah – langkah untuk meneyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan menggunakan metode Subtitusi Langkah 1 Pilihlah salah satu persamaan (jika ada pilih yang sederhana), kemudian nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x Langkah 2 Subtitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang lain exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Contoh x + y = 4 4x + 3y = 13 Dari persamaan x + y = 4 y = 4 - x y = 4 – x Disubstitusikan ke persamaan 4x + 3y = 13 Diperoleh : 4x + 3 (4 – x) = 13 4x + 12 – 3x = 13 x + 12 = 13 x = 1 Nilai x = 1 disubstitusikan ke persamaan y = 4 – x, diperoleh y = 4 - 1 Jadi, Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear itu adalah {(1,3)} y = 3 exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Metode Eliminasi Langkah yang ditempuh adalah sbb : Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi peubah y sedangkan nilai y di cari dengan cara mengeliminasi peubah x exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Contoh : Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut : 2x + 3y = 13 3x + 4y = 19 Untuk mencari nilai x kita mengeliminasi peubah y 2x + 3y = 13 X 4 8x + 12y = 52 3x + 4y = 19 X 3 9x + 12y = 57 – x = – 5 x = 5 2x + 3y = 13 X 3 6x + 9y = 39 3x + 4y = 19 X 2 6x + 8y = 38 y =1 Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {( 5,1)} exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Penyelesaian sistem persamaan linear dapat juga menggunakan metode subtitusi dan metode eliminasi secara bersamaan. Perhatikan contoh berikut : Carilah himpunan penyelesaiaan dari sistem persamaan berikut 2x – 5y = 15 3x + 4y = 11 Untuk mencari nilai x kita mengeliminasi peubah y 2x – 5y = 15 X 4 8x – 20y = 60 15x + 20y = 55 3x + 4y = 11 X 5 23x = 115 x = 5 x disubtitusikan ke dalam salah satu persamaan semula 2x – 5y = 15 – 5y = 5 Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah {(5,-1)} 2(5) – 5y = 15 y = – 1 – 5y = 15 – 10 exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Beberapa persoalan sehari –hari seringkali dapat diselesaikan dengan memakai model matematika yang berbentuk sistem persamaan dua peubah. Perhatikan contoh berikut : Disebuah toko Komar membeli 3 barang A dan 4 barang B dan dia harus membayar Rp2.700,00. Sedangkan Yayuk harus membayar Rp3.600,00 untuk pembelian 6 barang A dan 2 barang B. Jika Ratna membeli 1 barang A dan 1 barang B, maka ia harus membayar …. Misalkan : x = barang A dan y = barang B Komar 3x + 4y = 2.700 (1) Yayuk 6x + 2y = 3.600 (2) 3x + 4y = 2.700 X 2 6x + 8y = 5.400 6x + 2y = 3.600 X 1 6x + 2y = 3.600 6y = 1.800 y = 300 exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat y = 300, disubtitusikan ke persamaan (2) 3x + 4y = 2.700 3x + 4(300) = 2.700 3x + 1.200 = 2.700 3x = 2.700 – 1.200 3x = 1.500 x = 500 Jadi harga sebuang barang A adalah Rp500,00 dan harga sebuang barang B adalah Rp300,00 Ratna harus membayar Rp500,00 + Rp300,00 = Rp800,00 untuk membeli 1 barang A dan 1 barang B exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Sistem persamaan Linear dan Linear dengan Tiga Peubah Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga peubah x,y, dan z dapat dituliskan sebagai berikut : ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + kz = l a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 atau dengan a, b, c, e, f, g, h, I, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 merupakan bilangan real . Himpunan penyelesaian sistem linear tiga peubah dapat ditentukan dengan beberapa cara sebagai berikut : 1. Metode Substitusi 2. Metode Eliminasi atau 3. Metede Determinan exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Metode Substitusi Langkah – langkah penyelesaian sistem persamaan linear tiga peubah dgn menggunakan metode substitusi adalah sebagai berikut : Langkah 1 : Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y Langkah 2 : Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga didapat sistem persamaan linear dua peubah Langkah 3 : Selesaikan sistem persamaan linear dua peubah yang diperoleh pada langkah 2 exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Contoh : Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan linear berikut x – 2y + z = 6 3x + y + 2z = 4 7x – 6y – z = 10 Dari persamaan x – 2y + z = 6 x = 2y – z + 6. Peubah x ini disubstitusikan ke persamaan 3x + y -2z = 4 dan 7x – 6y – z = 10 diperoleh : 3(2y – z + 6) + y – 2z = 4 6y – 3z + 18 + y – 2z = 4 7y – 5z = –14 (3) 7(2y – z + 6) – 6y – z = 10 14y – 7z + 42 – 6y – z = 10 8y – 8z = – 32 y – z = – 4 (4) exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Persamaan 3 dan 4 membentuk sistem persamaan linear dua peubah y dan z: 7y – 5z = –14 dari persamaan y – z = – 4 y = z – 4 y – z = –4 Peubah y disubstitusikan ke persamaan 7y -5z = –14, diperoleh : 7 (z – 4) – 5z = –14 7z – 28 – 5z = – 14 2z = 14 z = 7 Substitusikan nilai z = 7 ke persamaan y = z – 4, diperoleh y = 7 – 4 = 3 Substitusikan nilai y = 3 dan z = 7 ke persamaan x = 2y – z + 6, diperoleh x = 2(3) – 7 + 6 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, 7)} x = 6 – 7 + 6 x = 5 exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Metode Eliminasi Langkah – langkah penyelesaian sistem persamaan linear tiga peubah dengan menggunakan metode eliminasi adalah : Langkah 1: Eliminasi salah satu peubah x atau y atau z sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua peubah Langkah 2: Selesaikan sistem persamaan linear dua peubah yang didapat pada langkah 1 Langkah 3: Substitusikan nilai – nilai dua peubah yang diperoleh pada langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai peubah yang lainnya. exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Contoh : Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear : 2x – y + z = 6 x – 3y + z = –2 x + 2y – z = 3 Eliminasi peubah z: Dari persamaan pertama dan kedua: Dari persamaan kedua dan ketiga: 2x – y + z = 6 x – 3y + z = –2 x – 3y + z = –2 x + 2y – z = 3 x + 2y = 8 (5) (4) 2x – y = 1 Persamaan 4 dan 5 membentuk sistem persamaan linear dua peubah x dan y x + 2y = 8 Eliminasi peubah y: 2x – y = 1 x + 2y = 8 X 1 x + 2y = 8 4x – 2y = 2 2x – y = 1 X 2 5x = 10 x = 2 exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Eliminasi peubah x: x + 2y = 8 X 2 2x + 4y = 16 2x – y = 1 2x – y = 1 X 1 5y = 15 y = 3 Nilai z dicari dengan mensubstitusikan x = 2 dan y = 3 ke salah satu persamaan semula misal x + 2y – z = 3 x + 2y – z = 3 2 + 2(3) – z = 3 8 – z = 3 x = 5 Jadi, Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear adalah {(2, 3, 5)} exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Contoh penerapan persoalan sehari – hari dalam sistem persamaan tiga peubah: Ali, Boneng, dan Cecep berbelanja di sebuah toko buku. Ali membeli dua buah buku tulis, sebuah pensil dan sebuah penghapus dengan membayar Rp4.700,00 Boneng membeli sebuah buku tulis , dua buah pensil dan sebuah penghapus dengan membayar Rp4.300,00 Cecep membeli tiga buah buku tulis, dua buah pensil dan sebuah penghapus dengan membayar Rp7.100,00. Berapakah harga untuk sebuah buku tulis, harga sebuah pensil dan harga sebuah penghapus ? Jika dimisalkan bahwa : Harga untuk sebuah buku tulis adalah x rupiah Harga untuk sebuah pensil adalah y rupiah dan Harga untuk sebuah penghapus adalah z rupiah Dengan demikian model matematika yang sesuai dengan data tersebut adalah : exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat 2x + y + z = 4.700 x + 2y + z = 4.300 3x + 2y + z = 7.100 Eliminasi peubah z 2x + y + z = 4.700 x + 2y + z = 4.300 x + 2y + z = 4.300 3x + 2y + z = 7.100 x – y = 400 -2x = -2.800 x = 1.400 Substitusikan nilai x = 1.400 ke persamaan x – y = 1.400, diperoleh : 1.400 – y = 400 y = 1.000 Substitusikan nilai x = 1.400 dan y = 1.000 ke persamaan 2x + y + z = 4.700 diperoleh: 2(1.400) + 1.000 + z = 4.700 3.800 + z = 4.700 z = 900 Jadi harga sebuah buku tulis adalah Rp1.400,00 harga sebuah pensil adalah Rp1.000,00 dan harga sebuah penghapus adalah Rp900,00 exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Sistem persamaan linear dan kuadrat dibagi menjadi dua bagian sebagai berikut : 1. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk Eksplisit Sistem persamaan Linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk Implisit exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat 1. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat, bagian kuadrat berbentuk Eksplisit Suatu persamaan dua peubah x dan y dinyatakan berbentuk eksplisit jika persamaan itu dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y) y = ax + b Bagian linear y = px2 + qx + r Bagian kuadrat Dengan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan – bilangan real. Secara umum, penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dan kuadrat dapat ditentukan melalui langkah – langkah sebagai berikut : Langkah 1 : Substitusikan bagian linear ke bagian kuadrat Langkah 2: Nilai – nilai x pada Langkah 1 (jika ada) disubstitusikan ke persamaan linear exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Contoh : Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat berikut ini : y = x – 1 y = x2 – 3x + 2 Substitusikan bagian linear y = x – 1 ke bagian kuadrat y = x2 – 3x + 2, diperoleh x – 1 = x2 – 3x + 2 x2 – 4x + 3 = 0 (x – 1)(x – 3) = 0 x = 1 atau x = 3 Nilai x = 1 atau x = 3 disubtitusikan ke persamaan y = x – 1 Untuk x = 3 diperoleh y = 3 – 1 = 2 jadi (3, 2) Untuk x = 1 diperoleh y = 1 – 1 = 0 jadi (1, 0) Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 0), (3, 2)} exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat 2. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk implisit Persamaan dua peubah x dan y dikatakan berbentuk implisit jika persamaan itu tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x, y) = 0. px + qy + r = 0 Bagian linear ax2 + by2 +cxy + dx + ey + f = 0 Bagian kuadrat Dengan a, b, c, d, e, f, p, q dan r merupakan bilangan – bilangan real. Bilangan kuadrat yang berbentuk implisit ada dua kemungkinan, yaitu : A. Bentuk implisit yang tidak dapat difaktorkan B. Bentuk implisit yang dapat difaktorkan exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat A. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan Langkah – langkah penyelesaiannya adalah : Langkah 1: Pada bagian linear, nyatakan x dalam y atau y dalam x Langkah 2: Substitusikan x dan y pada langkah 1 ke bagian bentuk kuadrat, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x dan y Langkah ketiga: Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh pada langkah 2, kemudian nilai – nilai yang didapat disubstitusikan ke persamaan linear exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dan kuadrat berikut ini : x + y – 1 = 0 x2 + y2 – 25 = 0 Dari persamaan x + y – 1 = 0 menjadi y = 1 – x Substitusi y ke persamaan x2 + y2 – 25 = 0, diperoleh : x2 + ( 1 – x)2 – 25 = 0 x2 + 1 – 2x + x2 – 25 = 0 2x2 – 2x – 24 = 0 x2 – x – 12 = 0 (x + 3)(x – 4) = 0 x = -3 atau x = 4 Substitusi nilai – nilai x = -3 aatau x = 4 ke persamaan y = 1 – x Untuk x = -3 diperoleh y = 1 – (-3) = 4 jadi (-3, 4) Untuk x = 4 diperoleh y = 1 – 4 = -3 jadi (4, -3) Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-3, 4)(4, -3)} exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat A. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk implisit yang dapat difaktorkan Langkah – langkah penyelesaiannya adalah : Langkah 1: Nyatakan bagian bentuk kuadratnya ke dalam faktor –faktor dengan ruas kanan sama dengan nol, sehingga diperoleh L1.L2 = 0. L1.L2 = 0. jadi L1 = 0 atau L2 = 0, dengan L1 dan L2 masing – masing berbentuk linier Langkah 2: Bentuk – bentuk linear yang diperoleh pada langkah 1 digabungkan dengan persamaan linear semula, sehingga diperoleh sistem – sistem persamaan linear dengan dua peubah. Kemudian selesaikan tiap sistem persamaan linier itu exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat berikut: 2x + 3y = 8 4x2 – 12xy + 9y2 = 16 Bagian bentuk kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut: 4x2 – 12xy + 9y2 = 16 (2x – 3y)2 – 16 = 0 (2x – 3y + 4)(2x – 3y – 4) = 0 2x – 3y + 4 = 0 atau 2x – 3y – 4 = 0 Penggabungan dengan persamaan linear semula diperoleh: 2x + 3y = 8 2x – 3y + 4 = 0 2x + 3y = 8 2x – 3y – 4 = 0 Dari sistem persamaan ini diperoleh penyelesaian (1, 2) Dari sistem persamaan ini diperoleh penyelesaian ( 3, 2/3) Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan itu adalah {(1,2), (2, 2/3)} exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat dalam bentuk yang sederhana dapat dituliskan sebagai berikut : y = ax2 + bx + c Bagian kuadrat pertama y = px2 + qx + r Bagian kuadrat kedua Langkah – langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat dan kuadrat Langkah 1 : Substitusikan bagian kuadrat yang pertama kebagian kuadrat yang kedua Langkah 2 : Nilai – nilai x yang diperoleh dari langkah 1 (jika ada) disubstitusikan ke bagian kuadrat yang pertama atau bagian kuadrat yang kedua ( pilihlah bentuk yang sederhana). exit

Sistem Persamaan Linier dan kuadrat Carilah himpunan penyelesaian dari tiap sistem persamaan kuadrat dan kuadrat berikut ini: y = x2 – 1 y = 1 – x2 Substitusi y = x2 – 1 ke persamaan y = 1 – x2, diperoleh : x2 – 1 = 1 – x2 2x2 – 2 = 0 x2 – 1 = 0 (x + 1)(x – 1) = 0 x = -1 atau x = 1 Substitusikan x = -1 atau x = 1 ke persamaan y = x2 - 1 Untuk x = -1 diperoleh y = (-1)2 – 1 = 0 jadi (-1, 0) Untuk x = 1 diperoleh y = (1)2 – 1 = 0 jadi (1, 0) Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-1, 0),(1, 0)} exit