Operations Management OPERATIONS RESEARCH Operations Management Enos William J. Stevenson 8th edition

METODE GRAFIK METODE SIMPLEKS

METODE GRAFIK Seorang ahli kimia membuat dua jenis pupuk yang akan memberikan minimal 15 unit Kalium Karbonat, 20 unit Nitrat, dan 24 unit Fosfat untuk kedua jenis pupuk. Jenis “A” terdiri atas 3 unit Kalium Karbonat, 1 unit Nitrat, dan 3 unit Fosfat, harganya Rp. 120.- Jenis “B” terdiri atas 1 unit Kalium Karbonat, 5 unit Nitrat, dan 2 unit Fosfat; harganya Rp. 60.-

Tentukan persamaan “Fungsi Objektif”  = 120x1 + 60 x2 Nyatakan pernyataan dalam bentuk “Persamaan” atau “Pertidaksamaan” Kendala 1: 3x1 + x2  15 Kendala 2: x1 + 5x2  20 Kendala 3: 3x1 + 2x2  24 x1, x2  0

Persamaan kendala dituliskan sebagai persamaan garis lurus: x2 = -3x1 + 15 ...................(garis1) x2 = -1/5 x1 + 4..................(garis2) x2 = -3/2 x1 + 12 ................(garis3) Tentukan perpotongan dengan masing-masing sumbu (sb tegak = x2, sb datar = x1)

Untuk g1: x2 = -3x1 + 15 jika x1 = 0, x2 = 15. (0,15) jika x2 = 0, x1 = 5. (5,0) Untuk g2: x2 = -1/5 x1 + 4 jika x1 = 0, x2 = 4 (0,4) jika x2 = 0, x1 = 20 (20,0)

Untuk g3: x2 = -3/2 x1 + 12 jika x1 = 0, x2 = 12 (0,12) jika x2 = 0, x1 = 8 (8,0) Titik-titik yang diperoleh merupakan titik ekstrim, di mana nilai-nilai fungsi obyektif menjadi maksimum.

x2 g1 g3 g2 x1

METODE SIMPLEKS: MAKSIMALISASI Contoh 1  = 120x1 + 60 x2 3x1 + x2 ≤ 15 x1 + 5x2 ≤ 20 3x1 + 2x2 ≤ 24 x1, x2  0

3x1 + x2 + s1 = 15 x1 + 5x2 + s2 = 20 3x1 + 2x2 + s3 = 24 x1 x2 s1 s2 s3 K 1 1 0 0 15 5 0 1 0 20 3 2 0 0 1 24 -120 -60 0 0 0 0 120 indikator terbesar 5 20 8

3 1 1 0 0 15 5 0 1 0 20 3 2 0 0 1 24 -120 -60 0 0 0 0 x 1/3 1 1/3 1/3 0 0 5 5 0 1 0 20 3 2 0 0 1 24 -120 -60 0 0 0 0

Seterusnya, sama dengan Eliminasi Gauss. Kolom pivot ditentukan berdasarkan indikator dengan nilai positif terbesar. Nilai maksimal masing-masing variabel ditentukan setelah semua nilai indikator bernilai positif. Nilai variabel disubtitusi ke persamaan fungsi obyektif,  maksimal.

Contoh 2: Ditentukan fungsi obyektif  = 5x1+3x2 dengan kendala teknis: 6x1 + 2x2 ≤ 36 5x1 + 5x2 ≤ 40 2x1 + 4x2 ≤ 28 dan kendala non-negativitas: x1, x2 ≥ 0 Tentukanlah nilai optimum untuk , x1, dan x2

Penyelesaian: Langkah 1: Mengubah pertidaksamaan menjadi persamaan. 6x1 + 2x2 = 36 5x1 + 5x2 = 40 2x1 + 4x2 = 28

Langkah 2: Menuliskan persamaan dalam bentuk matriks

Langkah 3: Menyusun tabel elemen matriks, dengan menambahkan kolom konstan K dan baris indikator (nilai negatif dari koefisien fungsi obyektif) x1 x2 s1 s2 s3 K 6 2 1 0 0 36 5 5 0 1 0 40 2 4 0 0 1 28 -5 -3 0 0 0

Langkah 4: Menentukan elemen pivot: Tentukan nilai mutlak terbesar dari baris indikator Tentukan rasio terkecil antara kolom K dengan elemen kolom pivot x1 x2 s1 s2 s3 K 6 2 1 0 0 36 5 5 0 1 0 40 2 4 0 0 1 28 -5 -3 0 0 0 Kolom pivot

Langkah 5: pivoting: kalikan baris yang mengandung elemen pivot dengan nilai kebalikan elemen pivotnya x1 x2 s1 s2 s3 K 6 2 1 0 0 36 5 5 0 1 0 40 2 4 0 0 1 28 -5 -3 0 0 0 x1 x2 s1 s2 s3 K 1 1/3 1/6 0 0 6 5 5 0 1 0 40 2 4 0 0 1 28 -5 -3 0 0 0

Langkah 6: Eliminasi elemen yang bukan elemen pivot: Baris II – 5(I) Baris III – 2(I) Baris IV – 5(I) Ulangi dari langkah 4 jika masih terdapat nilai negatif pada baris indikator x1 x2 s1 s2 s3 K 1 1/3 1/6 0 0 6 0 10/3 -5/6 1 0 10 0 10/3 -1/3 0 1 16 0 -4/3 5/6 0 0 30

Langkah 7: elemen pivot kedua Nilai mutlak indikator terbesar = 4/3 Rasio terkecil = 10/(10/3) = 3 pada baris II Baris kedua dikalikan dengan resiprok elemen pivotnya x1 x2 s1 s2 s3 K 1 1/3 1/6 0 0 6 0 1 -1/4 3/10 0 3 0 10/3 -1/3 0 1 16 0 -4/3 5/6 0 0 30

Langkah 8: eliminasi elemen yang bukan elemen pivot: Baris I - 1/3(II) Baris III – 10/3(II) Baris IV + 4/3(II) x1 x2 s1 s2 s3 K 1 0 ¼ -1/10 0 5 0 1 - ¼ 3/10 0 3 0 0 ½ -1 1 6 0 0 ½ 2/5 0 34

Hasil akhir nilai optimum: x1 = 5, x2 = 3  = 34 (pada kolom K) Jika x1 dan x2 disubtitusi ke persamaan pada langkah 1, maka: 2(5) + 4(3) + s3 = 28 s1 = 0, s2 = 0, dan s3 = 6  = 5(5) + 3(3) = 34, s3 tidak terpakai (sisa)