11 Statistik Probabilita Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi. FASILKOM Teknik Informatika

KONSEP DASAR PROBABILITAS BILANGAN FAKTORIAL, PERMUTASI DAN KOMBINASI RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN SIFAT-SIFAT PROBABILITAS KEJADIAN A DUA KEJADIAN SALING LEPAS DUA KEJADIAN KOMPLEMENTER DUA KEJADIAN SALING BEBAS PROBABILITAS BERSYARAT

PENDAHULUAN BILANGAN FAKTORIAL NOTASI: n! RUMUS: n! = n (n-1)(n-2) … 3.2.1 0! = 1, 1! = 1 CONTOH: 3! = 3.2.1 = 6 5! = 120 6! = ….

PERMUTASI Misal suatu himpunan {a, b, c}  n=3, akan disusun menjadi 1 anggota (r=1), 2 anggota (r=2), dan 3 anggota (r=3). Maka akan diperoleh susunan sbb: r=1: ada 3 susunan: a b c r = 2: ab ac bc ba ca cb r = 3: abc bac cab acb bca cba Perhatikan bahwa abc≠acb, dst.. Sehingga diperoleh rumus: nPr = n! / (n – r!)

Contoh: Hitung Permutasi jika: 1. n=4 dan r=2 2. n=5 dan r=3

Jenis-jenis permutasi A. Permutasi melingkar Permutasi yang dibuat dengan menyusun anggota2 himpunan secara melingkar. Banyaknya permutasi = (n-1)! B. Permutasi sebagian anggota yang sama jenisnya n n1, n2, n3 … nk CONTOH: Berapa banyak susunan yang dapat dibuat dari kalimat “AKU SUKA KAMU”? (jawab: 184.800) = n! / (n1! n2! n3! … nk!)

KOMBINASI Jika dalam permutasi ab≠ba, maka dalam kombinasi ab=ba. Maka jika r = 2, susunannya adalah: ab=ba ac=ca bc=cb (ada 3 susunan) 3 2 Rumus: = (3!) / 2! (3-2)! = 3 n C r = n r = (n!) / r! (n-r)!

Contoh: Bila dari {a, b, c, d} diambil 3 obyek, maka banyaknya permutasi dan kombinasi adalah: Kombinasi Permutasi abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bdc cbd cdb dbc dcb Jumlah: 4 Jumlah: 4x6 = 24 PERMUTASI: 4 P 3 = 4! / (4-3)! = 4.3.2.1 / 1! = 24 KOMBINASI: 4 C 3 = 4! / 3!(4-3)! = 4.3.2.1 / 3!1! = 4

CONTOH: Bila dalam suatu kelompok terdapat 4 kimiawan dan 3 fisikawan, buatlah panitia 3 orang yang terdiri atas 2 kimiawan dan 1 fisikawan! Misal: kimiawan = {K1, K2, K3, K4} fisikawan = {F1, F2, F3}

KONSEP PROBABILITAS Dalam kehidupan sehari-hari, banyak kejadian yang sulit diketahui dengan pasti, misal: Apakah nanti malam akan turun hujan? Apakah pesawat Garuda datang tepat waktu? Apakah besok ada domonstrasi massa di Jakarta? Apakah tahun depan harga minyak mentah di pasaran dunia akan naik? Begitu juga dalam percobaan statistika, tidak bisa diketahui dengan pasti hasil yang akan muncul, misalnya: Pada pelemparan sebuah uang logam, tidak dapat diketahui sisi mana yang akan muncul, muka atau belakang? Pada pelemparan dua buah dadu, juga tidak bisa diketahui muka mana yang keluar,: 1, 2, 3, 4, 5 atau 6? Pada penarikan sebuah kartu bridge, tidak dapat dipastikan mana yang muncul, kartu As, King, atau yang lain?

PERUMUSAN PROBABILITAS ADA 2, YAKNI CARA KLASIK DAN FREKUENSI RELATIF A. PERUMUSAN KLASIK Bila kejadian E (EVENT) terjadi dalam m cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi, maka probabilitas dari E = P(E): m/n Contoh: jika sebuah uang logam dilemparkan, berapa peluang (probabilitas) munculnya sisi muka? Muka=muka, belakang=b, n=2  P(m) = P(b) = ½ Jika sebuah dadu dilempar, berapa peluang munculnya salah satu muka? P(E) = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6 Hitung peluang memperoleh kartu hati bila sebuah kartu diambil secara acak dari semua kartu? Jwb: Jumlah seluruh kartu: n = 52 Jumlah kartu hati: m = 13 Maka P(E) = 13/52

PERUMUSAN DG FREKUENSI RELATIF Jika kejadian E terjadi sebanyak f kali dari seluruh pengamatan sebanyak n, di mana n mendekati tak berhingga, maka probabilitasnya: P(E) = lim (n ∞) f/n Pada pelemparan sebuah dadu sebanyak 1000 kali, frekuensi munculnya muka dadu adalah sbb: Muka dadu (X) 1 2 3 4 5 6 Frekuensi 164 165 169 166 167 P(E) = P(1) = 164/1000, P(2) = 165/1000, dst… Dari 100 mahasiswa yang mengikuti ujian Statistika, distribusi nilai mahasiswa adalah sbb: Nilai X 45 55 65 75 85 95 Frekuensi (f) 10 15 30 25 5 P(E) = P(X=45) = 10/100 = 0,1, P(X=55) = 55/100, dst…

RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN RUANG SAMPEL (S) adalah kumpulan (himpunan) dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada suatu percobaan statistik. Angota S disebut titik sampel. A adalah himpunan bagian dari S S A Konsep Probabilitas Teori Himpunan Ruang Sampel S Himpunan Semesta S Kejadian A Himp bagian A Titik Sampel Anggota himpunan Bila kejadian A terjadi dalam m cara pada ruang sampel S yang terjadi dalam n cara, maka peluang A: P(A) = n(A)/n(S) = m/n

Contoh: 1. Pada pelemparan sebuah dadu, misalkan kejadian A menyatakan munculnya muka dadu genap pd S, maka A = {2,4,6}. Maka P(A) = 3/6 = ½ 2. pada pelemparan 2 uang logam: Tentukan ruang sampel S Bila A = kejadian munculnya sisi-sisi yang sama uang tsb, tentukan P(A)! 3. pada pelemparan 2 dadu: Tentukan ruang sampel S! A: kejadian munculnya muka dadu sama, tentukan P(A)! B: kejadian munculnya jumlah mukadadu kurang dari 5, tentukan P(B)!

SIFAT-SIFAT PROBABILITAS KEJADIAN A ( P(A) ) Sifat 1: 0<P(A)<1 karena A adalah himpunan bagian dari S, maka n(A) < n(S)  0 < n(A)/n(S) < 1 Sifat 2: P(A) = 0  A tidak terjadi pada S Sifat 3: P(A) = 1  A = S , n(A) = n(S)  n(A)/n(S) = 1 Bila hasil sifat 1, 2 dan 3 digabung, akan diperoleh sifat: 0≤P(A)≤1 P(A) = 0 : A kejadian yang mustahil terjadi P(A) = 1 : A kejadian yang pasti terjadi

Perumusan probabilitas untuk AUB dan AภB Banyaknya anggota himpunan (AUB) adalah: n(AUB) = n(A) + n(B) – n(AภB) Rumus: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AภB)m

Rumus Probabilitas kejadian majemuk AUBUC adalah: P(AUBUC) = Contoh: 1. Ambil satu kartu secara acak dari kartu bridge. Bila A = kejadian terpilihnya kartu as dan B = kejadian terpilihnya kartu wajik, hitung P(AUB)! (jawab: 4/13) 2. peluang seorang mahasiswa lulus Kalkulus adl 2/3, peluang lulus B.Inggris 4/9 dan peluang lulus sekurangnya satu MK tsb adalah 4/5. Berapa peluang ia lulus kedua mata kuliah itu? (jwb: 14/45) Rumus Probabilitas kejadian majemuk AUBUC adalah: P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AภB)- P(AภC)- P(BภC) + P(AภBภC)

DUA KEJADIAN SALING LEPAS Bila A dan B dua kejadian saling lepas, maka P(AภB) = P(0) = 0, Sehingga probabilitas kejadian AUB adalah: P(AUB) = P(A) + P(B) Contoh: Pada pelemparan 2 dadu, tentukan P munculnya muka 2 dadu dengan jumlah 7 atau 11! Bila A, B dan C tiga kejadian saling lepas, maka probabilitas kejadian AUBUC adalah: P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) S A B

DUA KEJADIAN SALING KOMPLEMENTER A’ = komplemen dari A, dimana kejadian A’ adalah kumpulan titik-titik sampel yang merupakan titik sampel S tetapi bukan merupakan titik sampel A. Rumus: P(A’) = 1 - P(A) Contoh: Bila A dan A’ 2 kejadian saling komplementer, dg P(A) = 0,6, maka P(A’) = 0,4 Pada pelemparan 2 dadu, jika A adl kejadian munculnya muka 2 dadu dengan sama, hitung P munculnya muka 2 dadu yg tak sama! S A A’

DUA KEJADIAN SALING BEBAS Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B, dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi kejadian A. Rumus: P(AภB) = P(A).P(B) Contoh: Pada pelemparan dua uang logam, apakah kejadian munculnya muka dari uang logam pertama dan kedua saling bebas? Pada pelemparan 2 dadu, apakah kejadian munculnya muka X ≤ 3 dadu I Dan muka Y ≥ 5 dadu II saling bebas?

PROBABILITAS BERSYARAT Kejadian A terjadi dg syarat kejadian B lebih dulu terjadi atau kejadian A bersyarat B. ditulis: A/B. Rumus: P(A/B) = P(AภB) / P(B) P(B) > 0 Misal: Sebuah dadu dilempar, B=kejadian munculnya bil kuadrat murni. Peluang munculnya bil ganjil=1/9. Peluang munculnya bil genap=2/9. bila diketahui A = {4,5,6} telah terjadi, hitunglah P(B/A)!

PROBABILITAS BERSYARAT UNTUK DUA KEJADIAN SALING BEBAS RUMUS: P(A/B) = P(A) DAN P(B/A) = P(B) P(AภB) = P(A/B).P(B) P(AภBภC) ) = P(A/BภC) .P(B/C).P(C) Contoh: Misal diambil 3 kartu, diambil 3 kali, pada sekelompok kartu bridge yang lengkap. Tiap mengambil, kartu yang dipilih tidak dikembalikan. Tentukan probabilitasnya!

SOAL Dalam berapa cara 6 kelereng yang warnanya berbeda dapat disusun dalam satu baris ? Seorang anak perempuan mempunyai 3 bunga yang jenisnya berlainan. Berapa banyak cara berbeda yang dapat dibuat ? 3. Dari kelompok ahli ada 5 orang sarjana ekonomi dan 7 sarjana hukum. Akan dibuat tim kerja yang terdiri atas 2 sarjana ekonomi dan 3 sarjanan hukum. Berapa banyak cara untuk membuat tim itu. Jika : tiap orang dapat dipilih dengan bebas ? seorang sarjana hukum harus ikut dalam tim itu ? dua orang sarjana ekonomi tidak boleh ikut dalam tim itu ?

4. Lima kartu diambil secara acak dari sekelompok kartu bridge yang lengkap.tentukanlah : probabilitas terambilnya kartu AS probabilitas terambilnya 4 kartu AS dan 1 kartu King probabilitas terambilnya 3 kartu sepuluh dan 2 kartu Jack probabilitas terambilnya 1 kartu masing-masing dari kartu 9, kartu 10,kartu queen,kartu King dan 1 kartu Jack 5. Sebuah kotak berisi 8 bola merah,7 bola putih dan 5 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak,tentukanlah probabilitas terpilihnya : bola merah bola putih bola biru tidakmerah merah atau putih

6. Peluang bahwa seorang pria akan hidup selama 25 tahun adalah 3/5 dan peluang bahwa istrinya akan hidup selama 25 tahun adalah 2/3. tentukanlah peluang bahwa : Keduanya akan hidup selama 25 tahun Hanya pria yang hidup selama 25 tahun Hanya istri yang hidup selama 25 tahun Paling sedikit salah satu dari mereka (suami/istri) yang hidup selama 25 tahun 7. Tiga wanita dipilih secara acak untuk ditanya apakah mereka mencuci pakaian dengan detergen. Tulislah anggota suang sample S dengan memakai huruf Y = ya dan T = tidak Tulislah anggota kejadian E dalam S yang menyatakan bahwa paling sedikit dua wanita memakai detergen Hitunglah P (E)

8. Peluang suatu penerbangan regular berangkat tepat pada waktunya adalah P(D) =0,83, peluang penerbangan itu mendarat tepat pada waktunya adalah P(A)=0,92,danpeluang penerbangan itu berangkat dan mendarat pada waktunya adalah P(A∩D) =0,78. Hitunglah peluang dalam suatu pesawat pada penerbangan itu mendarat tepat waktu bila diketahui bahwa pesawat tersebut berangkat tepat waktu berangkat tepat waktu biladiketahui bahwa pesawat tersebut mendarat tepat waktu 9. Misalkan kita mempunyai sebuah kotak berisi 20 sekering,dan diantaranya rusak. Bila dua sekering diambilsecara acak (satu-satu) tanpa pengembalian, berapa peluang sekering yang terambil itu keduanya rusak ?

10.Dari 10 orang staf bagian pemasaran PT. Rumah Elok, diketahui : sarjana teknik pria 1 orang sarjana teknik wanita 3 orang sarjana ekonomi pria 2 orang sarjana ekonomi wanita 4 orang Dari 10 staf tersebut dipilih secara acak 1 orang untuk menjadi manajer pemasaran. Berapa cara yang dapat dibentuk, jika diinginkan bahwa manajer harus sarjana teknik ? Berapa peluang A, jika A menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang wanita ? Berapa peluang B, jika B menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang sarjana teknik? Hitunglah P(A/B) dan P(AB)!

11. Sebuah distributor telepon genggam akan menyewa 2 buah stand disuatu pusat perbelanjaan. Ada 5 buah stand yang terdiri atas 2 menghadap ke utara (U1, U2) dan 3 menghadap ke selatan (S1,S2, S3).kelima stand tersebut mempunyai harga sewa yang sama danmempunyai lingkungan yang sama.jika distributor tersebut memilih stand dengan cara acak : berapa kemungkinan cara yang dia dapatkan untuk memilih stand tersebut secara sembarang; jika distributor inginmenyewa hanya di stand yang menghadap ke selatan, berapa kemungkinan cara yang dia dapatkan untukmemilih stand; jika distributor ingin menyewa 1 stand yang menghadap ke utara dan 1 stand yang menghadap ke selatan, berapa kemungkinan cara yang dia dapatkan untukmemilih stand ?

12. Ada 3 kotak ,yaitu 1, 2 dan 3 yang masing-masing berisi bola merah dan putih sebagai berikut : Jumlah Bola merah Bola putih 5 4 7 3 8 20 13 9 10 14 33 Mula-mula satu kotak dipilih secara acak,kemudian dari kotak yang terpilih diambil satu bola juga secara acak. Tiap kotak mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih Berapa peluang yang sama untuk terpilih Berapa peluang bahwa bola itu merah ? Berapa peluang bahwa bola itu putih ? Bola terpilih merah, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak 1 ? Bola terpilih putih, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak 2 ?

BAGIAN II Probabilitas dan Teori Keputusan OUTLINE BAGIAN II Probabilitas dan Teori Keputusan Konsep-konsep Dasar Probabilitas Distribusi Probabilitas Diskret Distribusi Normal Teori Keputusan Pengertian dan Karakteristik Distribusi Probabilitas Normal Distribusi Probabilitas Normal Standar Penerapan Distribusi Probabilitas Normal Standar Pendekatan Normal Terhadap Binomial Menggunakan MS Excel untuk Distribusi Probabilitas

Pendahuluan Diantara sekian banyak distribusi barangkali distribusi normal merupakan distribusi yang secara luas banyak digunakan dalam berbagai penelitian. Banyak kejadian yang dapat dinyatakan dalam data hasil observasi per eksperimen yang mengikuti distribusi normal. Misalkan antara lain tinggi badan, berat badan, isi sebuah botol, nilai hasil ujian dan lain-lain.

Pengertian Distribusi Probabilitas Normal Distribusi probabilitas normal merupakan salah satu distribusi yang paling penting dalam statistika. Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika.

Karakteristik Distribusi Probabilitas Normal Kurva berbentuk genta atau lonceg dan memiliki satu puncak yang terletak di tengah. Nilai rata-rata hitung sama dengan median dan modus Distribusi probabilitas dan kurva normal berbentuk kurva simetris dengan rata-rata hitungnya Kurva ini menurun di kedua arah yaitu keeeeee kanan untuk nilai positif tak terhingga dan kekiri untuk nilai negatif tak terhingga Luas daerah yang terletak di bawah kurva normal tetapi di atas sumbu mendatar sama dengan 1.

Distribusi Probabilitas Normal Standar Distribusi probabilitas normal standar adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng. Transformasi memetakan distribusi normal menjadi distribusi normal standard, sebab distribusi normal dengan variabel z ini memiliki mean =0 dan standard deviasi = 1. Transformasi ini juga mempertahankan luas dibawah kurvanya artinya: Luas dibawah kurva distribusi normal standard antara z1 dan z2 Luas dibawah kurva distribusi normal antara x1 dan x2 = Dengan z1 = (x1-μ)/σ dan z2 = (x2-μ)/σ. Sehingga cukup dibuat tabel distribusi normal standard kumulatif

Kurva Distribusi Normal Standard

Contoh: Mawar adalah seorang peragawati yang akan diseleksi dengan tinggi badan 173 cm. Standar tinggi badan rata-rata peragawati adalah 171,8 dan standar deviasinya adalah 12. Berapakah standar normalnya (Z) ? Penyelesaian : Dik : x = 173, µ = 171,8, σ = 12 Dit : Z = ? Jawab = 0.1 n

Pendekatan Normal Terhadap Binominal Jumlah suatu distribusi mempunyai n ≥ 30 dan n,p ≥ 5 atau n(1-p)≥ 5 maka penyelasaian probabilitas dapat menggunakan pendekatan distribusi binomial ke distribusi normal dengan terlebih dahulu mencari nilai µ dan σ yaitu : σ = √ n . p . q ket : p= probabilitas sukses µ = n . p q= probabilitas gagal q =1 - p Kalau x merupakan varibel diskrit sekaligus variabel continue maka perlu diadakan koreksi dengan menambah atau mengurangi nilainya dengan 0.5 n

Contoh Akhir tahun 1999, jumlah mahasiswa Kampus Selang sebanyak 752 orang. Yang mendapat bea siswa dari kampus tersebut ada 650 orang. Peluang yang mendapat bea siswa adalah 90%. Berapakah : a.Rata-rata mahasiswa yang seharusnya mendapat bea siswa ? b.Standar deviasinya ? c.Standar normalnya ? Penyelesaian : Dik : x = 650, n = 752, p = 90% = 0.9 q = 1 – p = 1 – 0.9 = 0.1 Dit : a. µ : ? b. σ : ? c. Z : ? n

Contoh (lanjutan) jawab : a. µ = n . p = 752 . 0.9 = 676.8 b. σ = √ n . p . q = √ 752 . 0.9 . 0.1 = √ 67.68 = 8.227 c. Z = (x - µ )/σ = 650 – 676.8/ 8.227 = - 26.8 / 8.227 = - 3.258 n

KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL simestris Ekor ekor  = Md= Mo  Kurva berbentuk genta (= Md= Mo) Kurva berbentuk simetris (sumbu vertikal) Kurva normal berbentuk asimptotis (takterhingga ) Kurva mencapai puncak pada saat X=  Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri. Luas daerah dibawah kurva normal standar sudah ada tabelnya yaitu dalam tabel dist normal standar atau tabel Z

Contoh BrainTest dari 600 capeg PDAM Jambi berdistribusi mendekati normal dengan rata-rata 115 dan simpangan baku 12. bila PDAM hanya menerima BT paling rendah 95, berapa banyak pelamar yang akn ditolak jk berdasarkan kententuan tersebut, tanpa melihat ability lainnya?

Jawab µ= 115, σ=12, n= 600, Z= x-µ / σ = 95 – 115 / 12 = -1.67 (lihat Tabel =0,4525)..... Z= 0,5 – 0,4525 = 0.0475 P (x<95) = P (z < -1.67) = 0.0475 or 4.75% Jadi banyaknya pelamar yang akan ditolak: =4.75% x 600 = 28,5 atau 29 orang.

DEFINISI KURVA NORMAL Bila X suatu pengubah acak normal dengan nilai tengah , dan standar deviasi , maka persamaan kurva normalnya adalah: N(X; ,) = 1 e –1/2[(x-)/]2, 22 Untuk -<X<   di mana  = 3,14159 e = 2,71828

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL SD BNI 2,58 GEMA 3,75 >Sd MREI 4,08 Distribusi kurva normal dengan  sama dan  berbeda, HARGA 100/LEMBAR.

KETERANGAN SMAKIN MENGELOMPOK NILAI SD PADA NILAI TENGAH (MIU) MAKA PARAMETER NILAI TENGA TERSEBUT LEBIH BAIK MENJADI INDIKATOR UNTUK UKURAN POLPULASI.

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL KLASIFIKASI MUTU Mangga “C” Mangga “A” Mangga “B” Distribusi kurva normal dengan  berbeda dan  sama

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL PERBEDAAN KEMAMPUAN ANTAR POPULASI RENDAH Distribusi kurva normal dengan  dan  berbeda

Transformasi dari X ke Z TRANSFORMASI DARI NILAI X KE Z Transformasi dari X ke Z x z Di mana nilai Z: Z = X -  

TRANSFORMASI DARI X KE Z Contoh Soal: Harga saham di BEJ mempunyai nilai tengah (X)=490,7 dan standar deviasinya 144,7. Berapa nilai Z untuk harga saham 600? Jawab: Diketahui: Nilai  = 490,7 dan  = 144,7 Maka nilai Z =( X - ) /  Z = ?

LUAS DIBAWAH KURVA NORMAL 68,26% 95,44% 99,74% =x Z=0 -3 -3 -2 -2 -1 -1 +1 +1 +2 +2 +3 +3 Luas antara nilai Z (-1<Z<1) sebesar 68,26% dari jumlah data. Berapa luas antara Z antara 0 dan sampai Z = 0,76 atau biasa dituis P(0<Z<0,76)? Dapat dicari dari tabel luas di bawah kurva normal. Nilainya dihasilkan = ?

PENERAPAN KURVA NORMAL Contoh Soal: PT GS mengklaim berat buah mangga “B” adalah 350 gram dengan standar deviasi 50 gram. Bila berat mangga mengikuti distribusi normal, berapa probabilitas bahwa berat buah mangga mencapai kurang dari 250 gram, sehingga akan diprotes oleh konsumen. Z=-2,0

PENERAPAN KURVA NORMAL Jawab:

PENERAPAN KURVA NORMAL Contoh Soal: PT Work Electric, memproduksi Bohlam Lampu yang dapat hidup 900 jam dengan standar deviasi 50 jam. PT Work Electric ingin mengetahui berapa persen produksi pada kisaran antara 800-1.000 jam, sebagai bahan promosi bohlam lampu. Hitung berapa probabilitasnya! -2 2 0,4772

PENERAPAN KURVA NORMAL Jawab:

BAGIAN II Probabilitas dan Teori Keputusan OUTLINE BAGIAN II Probabilitas dan Teori Keputusan Konsep-konsep Dasar Probabilitas Distribusi Probabilitas Diskret Distribusi Normal Teori Keputusan Pengertian dan Karakteristik Distribusi Probabilitas Normal Distribusi Probabilitas Normal Standar Penerapan Distribusi Probabilitas Normal Standar Pendekatan Normal Terhadap Binomial Menggunakan MS Excel untuk Distribusi Probabilitas

PENDEKATAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL Apabila kita perhatikan suatu distribusi probabilitas binomial, dengan semakin besarnya nilai n, maka semakin mendekati nilai distribusi normal. Gambar berikut menunjukkan distribusi probabilitas binomial dengan n yang semakin membesar.

DALIL PENDEKATAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL Bila nilai X adalah distribusi acak binomial dengan nilai tengah =np dan standar deviasi =npq, maka nilai Z untuk distribusi normal adalah:   di mana n  dan nilai p mendekati 0,5 Z = X - np npq

DISTRIBUSI PROBABILITASNORMAL

Normal distribution (normal curve) disebut juga “Gaussian Distribution” (sesuai dengan nama orang yang menemukannya yakni Carl Gauss). Normal curve adalah salah satu distribusi kemungkinan teoritis dengan variabel random sinambung ( Continuous distribution). Distribusi ini berbeda dengan distribusi Binomial dan Poisson yang bervariabel random discrete. Dalam variabel discrete nilai x hanya berupa bilangan bulat positif saja (x = 0, 1, 2, 3 ….. n), sedangkan pada continuous variabel nilai x bisa menjalani semua harga dalam suatu interval tertentu, bisa mengambil bilangan pecahan dan tak terbatas dalam interval tersebut.

Distribusi bervariabel continue yang lain (di samping distribusi normal) adalah : 1. Distribusi nilai t 2. Distribusi nilai x2 3. Distribusi nilai F Ciri-ciri distribusi / kurva normal : Kurvanya berbentuk garis lengkung yang halus dan berbentuk seperti genta. 2. Simetris terhadap mean µ. 3. Kedua ekor/ujungnya semakin mendekati sumbu absisnya tetapi tidak pernah memotong. 4. Jarak titik belok kurva tersebut dengan sumbu simetrisnya sama dengan σ. 5. Luas daerah di bawah lengkungan kurva tersebut dari - ∞sampai + ∞ sama dengan 1 atau 100%.

Kurva normal standard adalah kurva normal yang sudah diubah menjadi distribusi nilai Z, dimana distribusi tersebut akan mempunyai µ = 0 dan deviasi standard σ = 1. Rumus : Z = x - µ σ

Tabel Luas Kurva Normal Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,0 7 0,08 0,0 0,000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,1 0,0596 0,2 0,0987 0,3 0,1368 0,4 0,1736 0,5 0,2088 0,6 0,2422 0,7 0,2734 0,8 0,3023 0,9 0,3289 1,0 0,3531 1,1 0,3749 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997

Pendekatan Normal terhadap Binomial Apabila p sama dengan ½ dan n adalah besar, maka distribusi binomial akan mendekati distribusi normal. Di dalam prakteknya, daerah kurva normal dapat dipergunakan untuk menghitung probabilitas binomial, walaupun n adalah relatif kecil dan p tidak sama dengan ½. Oleh karena itu, distribusi binomial mempunyai variabel discrete, sedangkan distribusi normal bervariabel kontinu, maka dalam menggunakan distribusi normal untuk memecahkan persoalan binomial perlu diadakan penyesuaian sebagai berikut ; untuk harga variabel x batas bawah dikurangkan 0,5 dan harga variabel x batas atas ditambahkan 0,5.

Penyesuaian tersebut dinamakan faktor koreksi kontinuitas, yaitu faltor koreksi yang besarnya 0,5 yang diperlukan untuk mentransformasi dari binomial menuju normal yang merupakan variabel acak kontinu. Rumus: Z = x - np √npq

DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL

BAGIAN II Probabilitas dan Teori Keputusan Konsep-konsep Dasar Probabilitas Distribusi Probabilitas Diskret Distribusi Normal Teori Keputusan Pengertian dan Karakteristik Distribusi Probabilitas Normal Distribusi Probabilitas Normal Standar Penerapan Distribusi Probabilitas Normal Standar Pendekatan Normal Terhadap Binomial Menggunakan MS Excel untuk Distribusi Probabilitas

Distribusi Normal Distribusi probailitas kontinyu yang terpenting di bidang statistik adalah distribusi Normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk lonceng seperti gambar 6.1. Distribusi ini ditemukan Karl Friedrich (1777-1855) yang juga disebut distribusi Gauss. Perubah acak X yang bentuknya seperti lonceng disebut perubah acak normal dengan persamaan matematik distribusi probabilitas yang bergantung paramerter dinyatakan Pada gambar (6.2) melukiskan dua kurva normal dengan simpangan baku yang sama tapi rata-rata berbeda, gambar 6.3 melukiskan beberapa kurva yang mempunyai mean sama tetapi standart deviasi bebeda. Gambar 6.4 mellukiskan kurva normal dengan mean dan standart deviasi yang berbeda.

Kurva normal 68

DEFINISI KURVA NORMAL Bila X suatu pengubah acak normal dengan nilai tengah , dan standar deviasi , maka persamaan kurva normalnya adalah: N(X; ,) = 1 e –1/2[(x-)/]2, 22 Untuk -<X<   di mana  = 3,14159 e = 2,71828

KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL Kurva berbentuk genta (= Md= Mo) Kurva berbentuk simetris Kurva normal berbentuk asimptotis Kurva mencapai puncak pada saat X=  Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri.

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL Distribusi kurva normal dengan  sama dan  berbeda

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL Mangga “C” Mangga “A” Mangga “B” Distribusi kurva normal dengan  berbeda dan  sama

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL Distribusi kurva normal dengan  dan  berbeda

TRANSFORMASI DARI NILAI X KE Z Transformasi dari X ke Z x z Di mana nilai Z: Z = X -  

Ganbar 6.7 Luas daerah contoh 6.1 CONTOH SOAL Diketahui suatu distribusi normal dengan dan Carilah probabilitas bahawa X mendapat ilai antara 45 dan 62 Jawab: Dicari nilai z yang berpadaan dengan adalah dan Jadi: Ganbar 6.7 Luas daerah contoh 6.1 75

Dengan R Gunakan tabel distribusi normal standart, diperoleh: > pnorm(-0.5) [1] 0.3085375 > pnorm(1.2) [1] 0.8849303 Tabel 6.1. Luas daerah di bawah kurva normal z 0.00 ……… 0.04 …….. 0.09 : -0.5 0.3085 1.2 0.8849

BAGIAN II Probabilitas dan Teori Keputusan Distribusi Probabilitas Normal Bab 9 OUTLINE BAGIAN II Probabilitas dan Teori Keputusan Konsep-konsep Dasar Probabilitas Distribusi Probabilitas Diskret Distribusi Normal Teori Keputusan Pengertian dan Karakteristik Distribusi Probabilitas Normal Distribusi Probabilitas Normal Standar Penerapan Distribusi Probabilitas Normal Standar Pendekatan Normal Terhadap Binomial Menggunakan MS Excel untuk Distribusi Probabilitas

Distribusi Normal Standar Distribusi Normal Standar = distribusi normal untuk µ = 0 dan σ = 1. Konversi dari X yang terdistribusi normal ke Z yang terdistribusi normal standar: „ MINITAB: Calc -> Probability Distribution -> Normal

Distribusi Normal dan Normal Standar „ Distribusi Normal (=Gauss) Parameter: µ = rata-rata,dan = standar deviasi

DISTRIBUSI NORMAL STANDAR Variabel random kontinu yang paling mendasar yang harus di perhatikan adalah variabel Z yang mempunyai distribusi normal standar yang mempunyai nilai harapan ( mean ) nol dan varian satu dengan fungsi densitas sebagai berikut :

BAGIAN II Probabilitas dan Teori Keputusan OUTLINE BAGIAN II Probabilitas dan Teori Keputusan Konsep-konsep Dasar Probabilitas Distribusi Probabilitas Diskret Distribusi Normal Teori Keputusan Pengertian dan Karakteristik Distribusi Probabilitas Normal Distribusi Probabilitas Normal Standar Penerapan Distribusi Probabilitas Normal Standar Pendekatan Normal Terhadap Binomial Menggunakan MS Excel untuk Distribusi Probabilitas

MENGGUNAKAN MS EXCEL Contoh 9-1 Buka program MS Excel dari Start, pilih MS Excel Letakkan kursor pada cell yang ada di sheet MS Excel, dan klik icon fx, atau klik icon insert dan pilih fx function Pilih statistical pada function category dan pilih Normdist pada function nama, Anda tekan OK.

MENGGUNAKAN MS EXCEL Anda akan menemui kotak dialog seperti berikut: NORMDIST   X ………….. (isilah nilai x, misal 600) Mean ………….. (isilah nilai mean, misal 490) Standard_dev ………….. (isilah nilai , misal 144,7 Cumulative ………….. (ketik True untuk kumulatif, dan False untuk nilai tunggal) Hasil nilai p = 0,76 akan muncul pada formula result atau tanda “=“

MENGGUNAKAN MS EXCEL Hasil nilai p = 0,7764 akan muncul pada formula result atau tanda “=“ Catatan: Bila menggunakan tabel Z pada lampiran 3, probabilitas adalah luas daerah yang diarsir, yaitu dari Z=0 ke kanan kurva (infiniti positif). Sedangkan dengan MS Excel, probabilitas adalah luas daerah dari kiri kurva (infiniti negatif) ke kanan (sampai nilai X yang dimaksud).

Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi