ANALISIS VEKTOR Pertemuan 1 : Vektor dan Skalar   Pertemuan 1 : Vektor dan Skalar Pertemuan 2 : Operasi kali antar Vektor Pertemuan 3 : Vektor Satuan Pertemuan 4 : Hasil kali titik (dot product) dua vektor Pertemuan 5 : Hasil kali silang (cross product dua vektor Pertemuan 6 : Hasil kali tripel dan proyeksi vektor Pertemuan 7 : Kekontinuan, limit dan turunan Pertemuan 8 : UTS

VEKTOR DAN SKALAR Beberapa besaran fisika seperti massa, waktu dan suhu sudah cukup jika dinyatakan dengan suatu bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan besarnya nilai besaran tersebut. Tetapi banyak besaran lain yang harus menyertakan persoalan arah untuk mendeskripsikan secara lengkap makna besaran tersebut. Sebagai misal kecepatan sebuah kereta api, untuk mendeskripsikan gerak tersebut, kita belum cukup hanya mengatakan seberapa cepat kereta api berjalan, namun pada saat bersamaan kita harus mengatakan ke arah mana kereta bergerak. Tanpa menyebutkan arah gerak kereta, kita belum memperoleh informasi yang bermakna tentang gerak tersebut.

Berdasarkan informasi di atas, besaran-besaran fisika jika ditinjau dari pengaruh arah terhadap besaran tersebut dapat dikelompokkan menjadi : Besaran Skalar : besaran yang cukup dinyatakan besarnya saja (tidak tergantung pada arah). Misalnya: massa, waktu, suhu dsb. Besaran Vektor : besaran yang tergantung pada arah. Misalnya: kecepatan, gaya, momentum dsb.

NOTASI VEKTOR Kita akan mulai mendalami vektor dari sebuah besaran vektor yang paling sederhana, yaitu perpindahan (dicplacment). Perpindahan didefinisikan sebagai perubahan posisi dari suatu titik. Deskripsi berikut ini akan lebih memperjelas pemahaman kita tentang vektor. Sebuah benda bergerak dari titik A ke titik B melewati sebuah lintasan lengkung (gambar 1.2a). Vektor perpindahan gerak tersebut ditunjukan oleh garis terpendek (lurus) dari A ke B (gambar 1.2b) yang berikutnya kita beri nama sebagai vektor perpindahan R (gambar 1.2c).

OPERASI VEKTOR Besaran vektor, sebagaimana besaran skalar dapat dioperasikan secara matematis, baik operasi penjumlahan maupun perkalian. Namun demikian operasi vektor memiliki beberapa perbedaan dengan operasi skalar karena dalam operasi vektor kita tidak hanya memperhitungkan besar namun juga sekaligus arahnya. Simaklah uraian di bawah ini untuk melihat perbedaan-perbedaannya!

Berikut akan disajikan beberapa hukum dalam operasipenjumlahan vektor : Hukum komutatif Sebuah partikel mengalmi perpindahan A, dilanjutkan dengan perpindahan B. Hasil akhirnya adalah perpindahan C. Seandainya partikel tersebut terlebih dahulu mengalami perpindahan B, dilanjutkan dengan melakukan perpindahan A, maka hasil akhirnyapun perpindahan C. Amati kenyataan tersebut pada gambar di bawah ini :

Hukum komutatif dalam operasi penjumlahan vektor menyatakan bahwa: A + B = B + A.................................................................................... 1.4 Kenyataan ini menunjukan bahwa urutan suku dalam penjumlahan vector tidaklah berpengaruh.

OPERASI PERKALIAN ANTAR VEKTOR

Perkalian Vektor dengan Vektor Perkalian vektor dengan vektor dapat diklasifikasi menjadi dua macam, yaitu perkalian vektor yang akan menghasilkan skalar dan perkalian vektor yang akan menghasilkan vektor lain.

VEKTOR SATUAN

VEKTOR-VEKTOR SATUAN TEGAK LURUS i,j,k

Contoh Soal:

Latihan Soal:

PERKALIAN TITIK (DOT PRODUCT) Perkalian dot atau titik disebut juga perkalian skalar (scalar product). Hal itu dikarenakan perkalian tersebut akan menghasilkan skalar meskipun kedua pengalinya merupakan vektor. Perkalian skalar dari dua vektor A dan B dinyatakan dengan A• B, karena notasi ini maka perkalian tersebut dinamakan juga sebagai perkalian titik (dot product). Kita akan mendefinisikan A• B dengan cara menggambarkan kedua vektor dengan ekor-ekornya terletak pada titik yang sama. Setelah itu kita cari komponen vektor yang sejajar di antara keduanya. A• B didefinisikan sebagai besar vektor A yang dikalikan dengan komponen B yang sejajar dengan A.

PERKALIAN SILANG (CROSS PRODUCT) Perkalian silang (cross product) disebut juga sebagai perkalian vektor (vector product), karena perkalian ini akan menghasilkan vektor lain. Perkalian vector antara A dan B dinyatakan dengan A x B. Kita akan mendefinisikan A x B dengan cara menggambarkan kedua vector dengan ekor-ekornya terletak pada titik yang sama. Setelah itu kita cari komponen vektor yang tegak lurus di antara keduanya. A x B didefinisikan sebagai besar vektor A yang dikalikan dengan komponen B yang tegak lurus dengan A.

Latihan Soal:

PROYEKSI VEKTOR

Latihan Soal:

DIFFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI VEKTOR

TURUNAN VEKTOR

Contoh Soal:

Latihan Soal:

TURUNAN PARSIAL Turunan parsial untuk fungsi vektor dua variabel atau lebih, prinsipnya sama dengan definisi turunan fungsi vektor satu variabel, dimana semua variabel dianggap konstan, kecuali satu yaitu variabel terhadap apa fungsi vektor itu diturunkan.

ATURAN RANTAI

Contoh Soal:

Latihan Soal: