VEKTOR

PENGENALAN VEKTOR Besaran Skalar Besaran Vektor z y x Sifat besaran fisis : Skalar Vektor Besaran Skalar Besaran yang hanya memiliki besar ( nilai ) saja Contoh: panjang, massa, dan waktu Catatan : skalar tidak tergantung sistem koordinat Besaran Vektor z x y Besaran yang memiliki besar ( nilai ) dan juga arah Contoh : kecepatan, percepatan, gaya Catatan : vektor tergantung sistem koordinat

Adalah Himpunan ruas garis-ruas garis berarah yang mempunyai besar dan arah yang sama,dimana panjang ruas garis berarah itu disebut panjang vektor dan arah ruas garis berarah disebut arah vektor V e k t o r

Besar vektor A = A = |A| (pakai tanda mutlak) PENGGAMBARAN DAN PENULISAN (NOTASI) VEKTOR Gambar : P Q Titik P : Titik pangkal vektor Titik Q : Ujung vektor Tanda panah : Arah vektor Panjang PQ = |PQ| : Besarnya (panjang) vektor Besar vektor A = A = |A| (pakai tanda mutlak) Notasi Vektor A Huruf tebal Pakai tanda panah di atas A Huruf miring

Catatan : a. Dua vektor sama jika arah dan besarnya sama A B A = B b. Dua vektor dikatakan tidak sama jika : 1. Besar sama, arah berbeda B A A B Why? 2. Besar tidak sama, arah sama A B A B Why? 3. Besar dan arahnya berbeda A B A B Why?

VEKTOR DI R2 Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y

VEKTOR DI R2 a y OP = xi; OQ= yj j Jadi x OA =xi + yj atau i A(x,y) y Q a OP = xi; OQ= yj Jadi OA =xi + yj atau a = xi + yj j x X O i P i vektor satuan searah sumbu X j vektor satuan searah sumbu Y

adalah Vektor yang terletak di Vektor di R3 adalah Vektor yang terletak di ruang dimensi tiga atau Vektor yang mempunyai tiga komponen yaitu x, y dan z

Misalkan koordinat titik T di R3 adalah (x, y, z) maka OP = xi; OQ = yj dan OS = zk Z S zk T(x,y,z) yj O Q Y xi P X

OP + PR = OR atau OP + OQ = OR OR + RT = OT atau OP + OQ + OS = OT Z S zk T(x,y,z) Jadi OT = xi + yj + zk atau t = xi + yj + zk t yj O Y xi Q P R(x,y) X

OPERASI VEKTOR

Penjumlahan Vektor Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan aturan jajaran genjang v u w = u + v

Hasil dari aljabar tersebut dengan menggunakan 2 metode hasilnya sama, yaitu :

Penjumlahan Vektor Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:

Pengurangan Vektor Selisih dua vektor u dan v ditulis u – v didefinisikan u + (-v) Dalam bentuk pasangan bilangan v u u w = u - v -v

Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

Sifat-sifat Vektor

Latihan (1) :

PERKALIAN VEKTOR 1. Perkalian Skalar dengan Vektor 2. Perkalian vektor dengan Vektor Perkalian Titik (Dot Product) Perkalian Silang (Cross Product) 1. Perkalian Skalar dengan Vektor Hasilnya vektor k : Skalar A : Vektor C = k A Vektor C merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan vektor A Catatan : Jika k positif arah C searah dengan A Jika k negatif arah C berlawanan dengan A k = 3, A C = 3A

Perkalian Titik (Dot Product) Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut antara keduanya. Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2], maka : a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o} a•b = 0 jika {γ| γ = 90o} a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}

Besar dan Arah dalam Perkalian Dot Product Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:

PERKALIAN SILANG (CROSS PRODUCT) Arah vektor hasil cross product adalah tegak lurus pada kedua vektor tersebut dan memenuhi aturan tangan kanan (right-hand rule). a x b = ab sin  .  = sudut antara vektor dan vektor

Dan apabila ditulis dalam determinan matriks, maka kita dapatkan rumus sebagai berikut:

Cross Product Contoh:

2. Diketahui koordinat titik A adalah (2, -3, 4) 2. Diketahui koordinat titik A adalah (2, -3, 4). Tuliskan dalam bentuk vektor dan berapa besar vektornya ? Vektor Jawab : = + 2 (-3) 4 A 2i – 3j + 4k 29 satuan 3. Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua buah vektor berikut ini : 2i – 2j + 4k A = i – 3j + 2k B Jawab : Perkalian titik : Perkalian silang : A . B = 2.1 + (-2)(-3) + 4.2 = 16 2 3 1 4 - k j i A x B = = { (-2).2 – 4.(-3)} i – {2.2 – 4.1} j + {2.(-3) – (-2).1} k = (-4+12) i – (4-4) j + (-6+4) k = 8i – 0j – 2j = 8i – 2k

Sifat Perkalian skalar dan vektor

Vektor Posisi OA = a dan OB = b adalah vektor posisi. AB = OB – OA Vektor yang menyatakan posisi suatu titik dalam sistem koordinat OA = a dan OB = b adalah vektor posisi. AB = OB – OA = b – a X Y A B b a

VEKTOR SATUAN Vektor yang besarnya satu satuan Notasi Besar Vektor Dalam koordinat Cartesian (koordinat tegak) Z A k Arah sumbu x : j Arah sumbu y : Y i Arah sumbu z : X

Vektor Ortogonal Teorema Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling tegak lurus Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0, dan vektor b juga ortogonal thd vektor a. Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor. Untuk vektor bukan-nol a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0  γ = 90o = π/2

Proyeksi Ortogonal Jika u dan a adalah vektor - vektor dalam ruang berdimensi 2 atau 3 dan jika a ≠ 0, maka : Proyeksi ortogonal u pada a atau komponen vektor u yang sejajar dengan a Komponen vektor u yang ortogonal terhadap a

Panjang komponen vektor u sepanjang a