VEKTOR DAN SKALAR BESARAN FISIKA ( BESARAN POKOK DAN TURUNAN) DAPAT DIBAGI MENJADI 2 KELOMPOK: 1. BESARAN VEKTOR contoh: s=perpindahan, v=kecepatan, a=percepatan, F=gaya, p=tekanan, B=medan magnet dst 2.BESARAN SKALAR contoh: m=massa, t=waktu, t=suhu, N=jumlah zat, E=energi, W=usaha dst Skalar : besaran yang punya nilai saja Contoh: m=10kg t=10K t=10 detik W=100 joule Jika m1=25,5kg dan m2=15,0kg Hitung R jika R=m1+m2 Penyelesaian m1=25,5kg m2=15,0kg + R =40,5kg Vektor : besaran yang punya nilai dan arah Contoh: s=10m(α=90o) atau s=10m( ke utara) v=100m/s (α =0o) atau v=100m/s(ke timur) Jika V1=4m/s(0o) dan V2=3m/s(90o) Hitung R jika R=V1+V2 Penyelesaian: V1=4m/s(0o) V2=3m/s(90o) + R = 5m/s(53o)

Arah vektor : α=60o terhadap sb X positip Sifat-sifat besaran vektor 1. Dapat dilukis sebagai garis lurus berarah ( tanda panah) Vektor ditulis secara umum :V=|V|(αo) Besar vektor Arah vektor α=60o V=5 satuan V=5m/s (α=60o) Artinya: Besar vektor : |V|=5 m/s Arah vektor : α=60o terhadap sb X positip Ditulis : Dilukis Panjang garis menyatakan besar Kemiringannya menyatakan arah 2. Sebuah vektor dapat di uraikan menjadi dua vektor saling tegak lurus F=|F|(α ) Di uraikan menjadi dua Fx dan Fy Fx= |F|cos α Fy=|F| sin α Diurai Menjadi 3. Vektor dapat dipindah-pindah asal besar dan arah vektor tetap

4. Dua buah vektor dikatakan sama bila besar dan arahnya sama. Dua buah vektor dikatakan berlawanan bila besarnya sama tetapi arahnya berlawanan. 5. Arah vektor dapat dinyatakan dengan sudut(α) dan indek x dan y dengan tanda + dan – Fx=+| F | misal Fx = +5N Fx= -|F| misal Fx = - 10N Fy=-6N Penyelesaian vektor secara matematis 3 tahap: 1. Menuliskan persamaan vektor 2. Melukiskan vektor variabel dan vektor hasil (poligon/jajaran genjang/ analitis) 3. Penyelesaian aljabar vektor (baik nilai vektor maupun arah vektor) dengan menghitung panjang garis dan besar sudut garis itu

Penjumlahan vektor ada 3 Cara: Poligon : Menumpuk vektor secara berurutan, hasilnya garis hubung pangkal vektor awal dan ujung vektor akhir 2. Jajaran genjang : Menggabung pangkal-pangkal vektor, membentuk jajaran genjang dengan sisi vektor-vetor itu sendiri, Hasilnya adalah diagonal panjang jajaran genjang 3. Analitis : Menguraikan tiap vektor menjadi dua, di sumbu x dan di sumbu y, jumlahkan vektor secara poligon di setiap sumbu yaitu ΣFx dan ΣFy. Hasilnya adalah jumlahkan secara jajaran genjang ΣFx dan ΣFy , Ingat : Penyelesaian berhitung vektor: Langkah 1: menuliskan persamaan Langkah 2: Melukis(poligon/jajaran genjang/analitis) Langkah 3: Menghitung panjang garis= sebagai hasil

1. Penjumlahan vektor a. Secara grafis / poligon Diketahui : Panjang resultan ( R) diukur dengan mistar dan arah resultan dapat diukur dengan busur derajat atau rumus segitiga TABEL NILAI Sinα,Cosα,Tgα b. Secara jajaran genjang Diketahui : Besar/panjang R (resultan) dapat dicari dengan persamaan cosinus : Resultan R diukur dengan mistar atau rumus segitiga

c,. Penjumlah analitis R=a+b ax bx ay by ΣFy R a b θ α ay by ax ΣFy=ay+ by ΣFx bx ΣFx=bx +ax R2= ΣFx2+ΣFx2 Menghitung panjang atau nilai R: Phitagoras

F |F| θ Fx Fy F1 |F1| α |F1|cosα F2 |F2| β F3 |F3| γ |F3|cosγ Jumlah Ingat : 1. Rumus segitiga untuk Poligon a b c α β γ 3. Rumus analitis: F1=|F1|(α); F2=|F2|(β) ;F3=|F3|(γ) 2. Rumus jajaran Genjang F |F| θ Fx Fy F1 |F1| α |F1|cosα F2 |F2| β |F2|cos β F3 |F3| γ |F3|cosγ Jumlah ΣFx ΣFy a R θ α β b

Contoh1: Hitungng R secara metematik Ljika R=a+b ; jika a = 4 cm(00) dan b=4cm(120o) Jawab : Cara 1: Poligon sebab hanya 2 vektor Langkah1: Persamaan : R=a+b Langkah 2: Lukis poligon 120o 60o a=4 b=4 R @ Langkah3: Hitung panjang garis R R2=a2+b2-2.a.bcos60o =42+42-2(4)(4)(1/2) =16 R=4 cm (60o) Cara2: Jajaran Genjang, sebab juga 2 vektor Langkah1: Persamaan : R=a+b Langkah 2: Lukis jajaran genjang Langkah 3: Hitung panjang R R2=a2+b2+2.a.bcos120o =42+42+2(4)(4)(-1/2) =16 R=4 cm (60o) R 120o a=4 b=4

F |F| @ Fx=|F| cos@ Fy=|F| sin@ F1 4 0o 4cos0=4 4sin0=0 F2 6 120o F3 8 Contoh 2: Hitung a+b+c; Jika a = 4 cm(00) dan b=6cm(120o) c=8cm(-60o) Jawab: Langkah 1: R=a+b+c Langkah 2: Tabel F |F| @ Fx=|F| cos@ Fy=|F| sin@ F1 4 0o 4cos0=4 4sin0=0 F2 6 120o 6cos(120o)=-3 6sin120=5,1 F3 8 -600 8cos(-60o)=4 8sin(-60o)=-6,8 Jumlah ΣFx=5 ΣFy= - 1,7 Langkah 3: Lukis ΣFx=5 tg@=1,7/5 @=18,8 @ R ΣFy= - 1,7 Langkah 4: Hitung Jadi R = 5,25 cm(-18,8o) karena di kuadran ke IV

Contoh 3: Hitung dan lukis a+b+c α R = a+b+c |R| = (72+52)1/2 = V74 Berdasarkan segitiga siku-siku alas 7 tinggi 5 tg@=5/7 sehinga @=35,5o jadi R=V74 (35,5o)

Jawab : Pindahkan b diujung a dan c di ujung b, hubungan pangkah a ke ujung c; Garis hubung itu =R a c b R 5 7 R = a+b+c |R| = (72+52) = V74 Berdasarkan segitiga siku-siku alas 7 tinggi 5 tg@=5/7 sehinga @=35,5o jadi R=V74 (35,5o)

Kuis:Diskusikan untuk 1 kelompok Lukis penjumlahan vektor-vektor a+b+c dengan : 1. Poligon, 2. Jajaran genjang 3. Analitis dari ketiga vektor dibawah ini: Jika: a= 4cm(60o) b= 2 cm (120o) c= 8 cm (210o) PR1: Hitung besar dan R jika R= V1+V2+V3+V4+V5+V6 Jika V1= 12m/s(0) ,V2=8V2(45), V3 =10m/s(90), V4=12m/s(180) V5=12m/s(270) dan V6 =8V2 m/s (225)

Fy 2 2 R = (-3) + (25,3) R Tg α=25,3/(3) = 8,44 α = 83,24 = V634 Contoh 1: Hitung R jika R= F1+F2+F3+F4+F5+F6, Jika vektor dari F1 = 10V2 N(135) F4 = 20 N(90) F2 = 8V3 N (30) F5 = 10V3 N ( 150) F3 = 10 N (270) F6 = 10V2N ( -45) F α Fx =|F| cosα Fy =|Fy)sinα F1=10V2 135 10V2(-1/2V2)=-10 10V2 (1/2V2)=10 F2=8V3 30 8V3(1/2V3) = 12 8V3(1/2) = 4V3=6,8 F3=10 270 10 (0) = 0 10 (-1) = -10 F4=20 90 20 (0) = 0 20 (1) = 20 F5=10V3 150 10V3(-1/2V3)=-15 10V3 (1/2) =5V3=8,5 F6=10V2 315 10V2(1/2V2)=10 Jum Fx = -3 Fy= 25,3 Fy 2 2 R = (-3) + (25,3) R Tg α=25,3/(3) = 8,44 α = 83,24 = V634 θ = 180-α = 180-83,24= 96,76 Jadi R = V634 (96,76o) α Fx

F @ Fx=|F| cos@ Fy=|F|sin@ Contoh2: hitung R jika R =F1+F2+F3 Dari gambar di bawah F3=10V2N(135) F1=10V2N(45) ubah F1=10V2N F2=3N 45 F3=10V2N F2=3N(0) R2= 32+202 = 409 R = V409 tg@=20/3 @ =81,5o Jadi R = V409 N(81,5o) Isikan tabel F @ Fx=|F| cos@ Fy=|F|sin@ F1=10V2 45 10V2(1/2V2)=10 F2=3 3(1) =3 3(0) =0 F3=10V2 135 10V2(-1/2V2)-10 Fx=3 Fy=20 @ Fx=3 Fy=20 R Jadi: R=10V2(45o)+10V2(135o)+3(0o) = V409 (8,1o)

PR2: Hitung dan lukis besar R jika R=a+b+c+d+e

VEKTOR SATUAN θ=disebut arah Kalian di kelas X telah mempelajari adalah VEKTOR POLAR yang penulisannya V=|V|(θ)o θ=disebut arah |V|= besar/nilai vektiir VEKTOR SATUAN adalah vektor yang nilainya =1 satuan (satuan meter, m/s,Newton, dst) Penulisnya: V = Vx i + Vy j + Vz k i,j,k = indeks vektor di sumbu x,y,z Vx,Vy,Vz=besar vektor/persamaan vektor di sumbu x,y,z Contoh1: Y(+) 4 Vektor posisi partikel r = 3 i + 4 j + 5 k r 3 X(+) 5 Z(+)

HUBUNGAN VEKTOR POLAR DAN VEKTOR SATUAN Di SMA hanya dibahas hubungan vektor satuan dua demensi dengan vektor polar F=10N Vektor polar: V=|V| (θ) Contoh: Jika diketahui vektor polar Vektor satuan: V = Vx i + Vy j Lukiskan vektor satuan! 60o Jawab; F=10N(60o) jadi |F|=10N dan θ=60o Fx=10N cos60o = 5N Fy=10N sin60o = 8,5N Jadi: F= 5i+8,5j Hubungan Kesimpulan Vektor satuan adalah komponen-komponen sebuah vektor di sumbuX dan di sumbuY Fx=5N Fy=8,5N F

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Satuan Contoh2: X(-) -3 0,0,0 Vektor posisi partikel r = - 3 i - 4 j + 5 k 5 Z(+) r -4 Y(-) Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Satuan Penjumlahan dan pengurangan vektor satuan dilakukan secara aljabar/sekalar menurut indeks vektor Contoh: Vektor a=3i+4j+5K da vektor b=4i-5j+6k; Jika c=a+b dan d=a-b tuliskan vektor c=..? Dan vektor d=….? Jawaban: c=a+b d=a-b =(3i+4j+5k)+(4i-5j+6k) =(3i+4j+5k)-(4i-5j+6k) =3i+4j+5k+4i-5j+6k = 3i+4j+5k-4j+5j-6k =7i-j+11k = -i+9j-k

PERKALIAN VEKTOR Perkalian vektor dapat dikelompokkan menjadi 2 menurut jenis perkalian Perkalian silang/crossx Contoh: c=axb dan hasil kali c adalah vektor Perkalian titik/dot . Contoh; d=a.d dan hasil kali d adalah skalar 1. Perkalian vektor polar A=|A|(θA) dan B=|B|(θB); Jika C=AxB dan D=A.B Maka penyeleisaiannya: a) C=|C|(θ=90 terhadap arah A dan B) |C|=|A||B|sinθ dimana θ sudut apit vektor A dan B b) D=|D| adalah sebuah sekalar |D|=|A|B|cosθ Contoh: F=10N(30o) dan R=5m(90o) Hitung T dan W jika a)T=FxR dan b)W=F.R Penyelesaian; Sudut apit F dan R adalah θ=60o a)|T| =|F||R|sinθ = 10N.5m sin60o =50. ½ V3 =42,5 Nm T=42,5Nm (90o terhadap arah F dan R) b)W=|F||R|cosθ =10N.5m cos60o =25Nm =25 Joule

Contoh: Perkalaian CROSS dan DOT vektor polar F=10N(30o) dan R=5m(90o) Hitung T dan W jika a)T=FxR dan b)W=F.R Penyelesaian; Sudut apit F dan R adalah θ=60o a)|T| =|F||R|sinθ = 10N.5m sin60o =50. ½ V3 =42,5 Nm T=42,5Nm (90o terhadap arah F dan R) b)W=|F||R|cosθ =10N.5m cos60o =25Nm =25 Joule T R F T=FxR R F T1 T1= RxF

2. Perkalian CROSS dan Perkalian DOT Vektor Satuan Aturan: CROSS ixi=jxj=kxk=0 ixj=+k jxi=-k jxk=+i kxj=-I ixk=-j kxi=+j Contoh F=(2i+3j+5k)Newton dan R=(3i-4j+6k)meter Hitunglah a) T jika T=RxF dan b) W jika W=F.R Disingkat ixjxkxixjxk Penyelesaian: a) T=(3i-4j+5k)x(2i+3j+5k) =(3ix2i+3ix3j+3ix5k)+(-4jx2i-4jx3j-4jx5k)+(5kx2i+5kx3j+5kx5k) ={0 +9k +15(-j)} +{-8(-k) -0 -20i} +{10j +15(-i)+0} =(-35i-5j-7k)Nm b) W=(2i+3j+5k).(3i-4j+5k) =(3i.2i+3i.3j+3i.5k)+(-4j.2i -4j.3j-4j.5k)+(5k.2i+5k.3j+5k.5k) =(6 +0 +0) +(0 -12 -0) +(0 +0 +25) = 19 Joule + - Aturan DOT i.j=j.i=i.k=k.i=j.k=k.j=0 i.i=j.j=k.k=1