MATEMATIKA EKONOMI Drs. Zaenudin Tachyan,.SE.,Ak MM

Pentingnya Pengetahuan Fungsi Matematika untuk Ekonomi   Kejadian-kejadian ekonomi saling berhubungan dan saling mempengaruhi seperti : Hubungan pendapatan dengan pengeluaran untuk konsumsi Hubungan harga dengan permintaan barang Hubungan Biaya Promosi dengan Hasil Penjualan Hubungan Investasi dengan Pendapatan nasional Dengan demikian kita dapat melakukan : Perubahan – perubahan yang terjadi Peramalan atau Perkiraan Mengukur Pengaruh Beberapa Contoh Penggunaan Matematika Penggunaan Dalam Statistik Ekonomi : Memahami rumus-rumus statistik Memahami teori pengujian hipotesis Memahami konsep teori harapan Memahami analisa regresi Penggunaan Linear Programming : Maksimum minimum Matriks dan determinan Grafik

HIMPUNAN MATEMATIKA EKONOMI

Ruang Lingkup Pengertian Himpunan Penyajian Himpunan Himpunan Universal dan Himpunan Kosong Operasi Himpunan Kaidah Matematika dalam Operasi Himpunan

Pengertian Himpunan Himpunan : Suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek. Secara umum himpunan dilambangkan  A, B, C, ...... Z Obyek dilambangkan  a, b, c, ..... z Notasi : - p A  p anggota A - A B  A himpunan bagian dari B - A = B  himpunan A sama dengan B - =  ingkaran ∩ ∩ ∩ ∩

Penyajian Himpunan Penyajian Himpunan cara daftar  A = {1,2,3,4,5} berarti himpunan A beranggotakan bilangan-bilangan bulat positif 1,2,3,4, dan 5. cara kaidah  A = {x; 0 < x < 6} berarti himpunan A beranggotakan obyek x, dimana x adalah bilangan-bilangan bulat positif yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari enam.

Cara menulis himpunan : Dengan cara mendaftar anggota himpunannya Contoh : A =  a, b, c, d  artinya himpunan A mempunyai 4 anggota yaitu a, b, c, dan d. 2. Dengan cara menentukan suatu aturan pernyataan Contoh : Suatu himpunan B yang beranggotakan x sedemikian rupa sehingga x adalah bilangan ganjil (1, 3, 5, 7, ………dst), ditulis dengan : B =  x  x bilangan ganjil  P =  x  x mahasiswa penerima beasiswa  Suatu obyek yang merupakan anggota himpunan B ditulis dengan x  B. Suatu obyek yang bukan merupakan anggota himpunan B ditulis dengan x  B Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B, jika keduanya mempunyai anggota yang sama, maka akan ditulis A = B

Himpunan Universal dan Kosong U  himpunan universal  himpunan besar dan terdiri dari beberapa himpunan bagian { } atau Ø  himpunan kosong (tidak punya satu anggota)  himpunan kosong juga merupakan himpunan bagian dari setiap hipunan apapun. U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } A = {0,1,2,3,4} B = {5,6,7,8,9 } C = {0,1,2,3,4 }

Operasi Himpunan No Lambang Arti 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.     _ U Ø Lambang-lambang dalam Teori Himpunan dan artinya No Lambang Arti Contoh Penggunaan 1.   2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.     _ U Ø Anggota (element) himpunan bagian (subset) gabungan (union) irisan (intersection)  selisih bukan A (komplemen) himpunan universal himpunan kosong xA : obyek x adalah anggota dari himpunan A AB : A adalah himpunan bagian dari B A B : gabungan antara A dan B A  B : irisan antara A dan B A—B : selisih antara himp A dikurangi himp B A = bilangan positif = bilangan negatif Seluruh abjad dari a sampai z Seluruh penduduk di dunia

Operasi Himpunan Gabungan (Union) A U B = {x; x Є A atau x Є B} Irisan (Intersection) A ∩ B = {x; x Є A dan x Є B} Selisih A - B = A|B {x; x Є A tetapi x Є B} Pelengkap (Complement) Ā = {x; x Є U tetapi x Є A} = U – A

Contoh Soal 1: Dari 42 kambing yang ada di kandang milik pak Arman, 30 kambing menyukai rumput gajah, dan 28 ekor kambing menyukai rumput teki. apabila ada 4 ekor kambing yang tidak menyukai kedua rumput tersebut, berapa ekor kambing yang menyukai rumput gajah dan rumput teki?   Pembahasan: untuk mencarinya, kita gunakan rumus himpunan berikut: n{A ∩ B} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X}) n{A ∩ B} = (30 + 28) - (42 - 4) n{A ∩ B} = 58 - 38 n{A ∩ B} = 20 Jadi, jumlah kambing yang menyukai kedua jenis rumput tersebut adalah 20 ekor.

Contoh Soal 2: Mahasiswa STIE Kridatama Bandung Semester I adalah 45. tiap-tiap mahasiswa memilih dua jenis pelajaran yang mereka sukai. diketahui ada 27 mahasiswa yang menyukai pelajaran Matematika dan 26 siswa menyukai pelajaran Bahasa Inggris. Sementara mahasiswa yang tidak menyukai kedua pelajaran tersebut ada 5 orang. Tentukanlah banyaknya mahasiswa yang menyukai pelajaran bahasa inggris dan matematika serta gambarlah diagram venn-nya.   Pembahasan: Kita cari terlebih dahulu jumlah siswa yang menyukai kedua pelajaran tersebut: n{A ∩ B} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X}) n{A ∩ B} = (27 + 26) – (45 – 5) n{A ∩ B} = 13 Maka dapat disimpulkan bahwa: Mahasiswa yang menyukai matematika saja = 27 - 13 = 14 Mahasiswa Mahasiswa yang menyukai bahasa inggris saja = 26 - 13 = 13 Mahasiswa

Maka gambar diagram venn-nya adalah:

Contoh Soal 3:   Di dalam sebuah ruangan terdapat 150 Mahasiswa baru STIE Kridatama . Diketahui ada 75 mahasiswa memilih untuk masuk prodi manajemen dan 63 mahasiswa memilih untuk masuk prodi sementara ada 32 mahasiswa yang belum menentukan pilihannya. Lalu, berapakah banyaknya mahasiswa yang hanya memilih untuk masuk prodi manajemen dan akuntansi saja? Pembahasan: mahasiswa yang memilih masuk prodi manajemen dan akuntansi adalah: n{A ∩ B} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X}) n{A ∩ B} = (75 + 63) – (150 – 32) n{A ∩ B} = 138 – 118 n{A ∩ B} = 20 siswa Mahasiswa yang memilih masuk prodi manajemen saja = 75 – 20 = 55 orang Mahasiswa yang memiilih masuk prodi akuntansi saja = 63 – 20 = 43 orang

Contoh Soal 4: Dari 40 orang bayi, diketahui bahwa ada 18 bayi yang gemar memakan pisang, 25 bayi gemar makan bubur, dan 9 bayi menyukai keduanya. Lalu ada berapa bayi yang tidak menyukai pisang dan bubur?   Pembahasan: n{A ∩ B} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X}) 9 = (18 + 25) - (40 - n{X}) 9 = 43 - 40 + n{X} 9 = 3 + n{X} 9 - 3 = n{X}  n{X} = 6

Diagram venn-nya adalah: Contoh Soal 5: Dari sekelompok atlet diketahui bahwa 17 orang menyukai sepak bola, 13 menyukai renang, dan 12 orang menyukai keduanya. coba kalian gambarkan diagram venn dan tentukan pula jumlah keseluruhan dari atlet tersebut.   Pembahasan: Jumlah keseluruhan dari atlet tersebt adalah: Atlet ang menyukai sepakbola saja : 17-12 = 5 orang Atlet yang menyukai renang saja = 13 – 12 = 1 orang Diagram venn-nya adalah: Jadi, jumlah keseluruhan atlet tersebut adalah 18 orang

Diagram Venn Gabungan ( A U B ) U B A Irisan U A B

Lanjutan ........ Selisih ( A – B = A|B ) A B Pelengkap / complement ( Ā ) A U B

Kaidah-kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan Kaidah Idempoten A U A = A b. A ∩ A = A Kaidah Asosiatif ( A U B ) U C = A U ( B U C ) b. ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) Kaidah Komutatif A U B = B U A b. A ∩ B = B ∩ A Kaidah Distributif a. A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A U C ) b. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C )

Lanjutan ............ Kaidah Identitas a. A U Ø = A b. A ∩ Ø = Ø c. A U U = U d. A ∩ U = A Kaidah Kelengkapan a. A U Ā = U b. A ∩ Ā= Ø c. ( Ā ) = A d. U = Ø Ø = U Kaidah De Morgan a. (A U B)= Ā ∩ B b. (A ∩ B) = Ā U B

Latihan A = {2,3,5,7} B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan : Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika : U = {1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {2,3,5,7} B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan : (a) A – B (c) A ∩ B (e) A ∩ B (b) B – A (d) A U B (f) B ∩ Ā

Diketahui suatu himpunan sebagai berikut: C = { 2,3,4,5,6,11,12 }   Hitunglah himpunan tersebut menjadi: A U C = B ∩ C = A ∩ B = A ∩ C = A – C = 6. C – B = 7. A’ – C’ = 8. B’ – C’ = 9. ( A U C ) – ( A ∩ B ) = 10. ( B ∩ C ) ∩ ( A – C ) = 11. ( A’ – C’ ) U ( B’ – C’ ) = 12. ( C – B ) ∩ ( B U C ) =