PELUANG

Percobaan : proses yang menghasilkan data Ruang Sampel (S) : himpunan yang memuat semua kemungkinan hasil percobaan Misal : a. Ruang sampel percobaan pelemparan sebuah mata uang ? S : {head, tail} atau { gambar, angka} b. Ruang sampel pelemparan dadu S : {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Kejadian = Event : himpunan bagian dari ruang sampel Misal : Percobaan: Pengambilan satu kartu dari sekumpulan 52 kartu bridge, dan diperhatikan gambarnya S : { sekop, klaver, hati, wajik }, Event: kita hanya tertarik pada kejadian A munculnya kartu yang berwarna merah. A : {hati, wajik }

Definisi Peluang: besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi. Peluang suatu peristiwa: Definisi klasik, dengan menganggap tiap-tiap elemen ruang sampel S mempunyai peluang yang sama untuk terjadi, maka peluang terjadinya peristiwa A, dengan n(A): banyak anggota peristiwa A n(S): banyak anggota ruang sampel S

Kaidah Penjumlahan Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka : example: Peluang seorang mahasiswa lulus statistika adalah 2/3 dan peluang lulus matematika adalah 4/9. Peluang sekurang-kurangnya lulus salah satu pelajaran tersebut adalah 4/5. Berapa peluang lulus kedua pelajaran tersebut? 4/5 = 2/3+4/9-P(S∩M)

Kaidah Penjumlahan Bila A dan B adalah dua kejadian terpisah, maka : example : Dari pelemparan 2 buah dadu, A adalah kejadian munculnya jumlah 7 dan B adalah kejadian munculnya angka 11. Kejadian A dan B adalah saling terpisah karena tidak mungkin terjadi bersamaan. Berapa peluang jumlah 7 atau jumlah 11? p(A) = 1/6 p(B)=1/18

Kaidah Penjumlahan Bila A dan A’ adalah dua kejadian yang satu merupakan komplemen lainnya, maka : Example: Peluang tidak munculnya angka 3 pada pelemparan sebuah dadu adalah:

Peluang Bersyarat Adalah peluang dengan suatu syarat kejadian lain. Contoh : Peluang terjadinya kejadian B bila diketahui suatu kejadian A telah terjadi. Dilambangkan : P(B|A) Didefinisikan : Contoh : Populasi sarjana berdasarkan jenis kelamin dan status pekerjaan. Bekerja Menanggur Laki-Laki 300 50 Perempuan 200 30

Peluang Bersyarat Kejadian-kejadian A = yang terpilih laki-laki B = yang telah bekerja Jawaban :

Peluang Bersyarat Peluang bersyarat untuk kejadian bebas, kejadian satu tidak berhubungan dengan kejadian lain. P(B|A) = P(B) atau P(A|B) = P(A) Contoh : Percobaan pengambilan kartu berturut dengan pengembalian. A : Kartu pertama Ace B : Kartu kedua sekop Karena kartu pertama kemudian dikembalikan, ruang contoh untuk pengembalian pertama dan kedua tetap sama yaitu 52 kartu yang mempunyai 4 ace dan 13 sekop.

Peluang Bersyarat Jawab : atau Jadi A dan B adalah kejadian yang saling bebas.

Kaidah Penggandaan Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat terjadi sekaligus, maka Contoh : A : kejadian bahwa sekering pertama rusak. B : kejadian bahwa sekering kedua rusak. : A terjadi dan B terjadi setelah A terjadi

Kaidah Penggandaan Peluang mendapatkan sekering rusak pada pengambilan pertama adalah ¼ dan peluang mendapatkan sekering rusak pengambilan kedua adalah 4/19. Jadi :

Kaidah Penggandaan Bila dua kejadian A dan B bebas, maka Contoh: A dan B menyatakan bahwa mobil pemadam kebakaran dan ambulans siap digunakan, maka: P(A) = 0.98 p(B) = 0.92 A dan B saling bebas.

Soal 1: Andi memiliki sebuah koin dengan satu sisi berupa gambar (G) dan satu sisi lainnya berupa angka (A). Jika Koin tersebut dilempar ke atas, maka saat koin jatuh kemungkinan mendapatkan sisi gambar adalah ½. Kemudian dilempar sekali lagi, maka peluang mendapatkan sisi Angka pada lemparan kedua adalah... Soal 2: Untuk suatu undian minggu ini, Ali membeli angka 00, 15, 20. Seperti diketahui bahwa angka undian terdiri dari 2 digit yaitu 00 sampai 99 dimana masing-masing mempunyai peluang yang sama untuk keluar. Maka berapa probabilitas Ali memperoleh undian minggu ini?

Soal 3 Suatu toples berisi 3 permen dengan bentuk dan ukuran yang sama Soal 3 Suatu toples berisi 3 permen dengan bentuk dan ukuran yang sama. Tiga permen tersebut, 1 kuning dan 2 merah. Setelah toples dikocok, 2 permen diambil satu persatu tanpa melihat. Berapakah peluang dua permen yang terambil merah semua?

VARIABEL RANDOM Definisi: Suatu cara memberi harga angka kepada setiap elemen ruang sampel, atau suatu fungsi bernilai real yang harganya ditentukan oleh setiap elemen dalam ruang sampel. Contoh1. Eksperimen melemparkan uang logam tiga kali, S={AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}. Variabel random X: banyak sisi G muncul dalam pelemparan uang logam tiga kali. Contoh 2. Eksperimen dilakukan dengan mencatat IPK mahasiswa pada satu semester tertentu. S=[0,4] Variabel random: IPK mahasiswa pada semester tersebut.

R S AAA AAG AGA GAA AGG GAG GGA GGG 1 2 3

Variabel random diskrit: Suatu variabel random yang hanya dapat menjalani harga-harga yang berbeda yang berhingga banyaknya (korelasi satu-satu dengan bilangan cacah) Variabel random kontinu: Suatu variabel random yang dapat menjalani setiap harga dalam interval (tak hingga banyaknya) Distribusi peluang: Model matematik yang menghubungkan semua nilai variabel random dengan peluang terjadinya nilai tersebut dalam ruang sampel. Distribusi peluang dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi, tabel atau grafik. Distribusi peluang dapat dipandang sebagai frekuensi relatif jangka panjang.

Sifat distribusi peluang diskrit: Fungsi peluang disebut sebagai fungsi peluang dari variabel random diskrit X, jika untuk setiap harga x yang mungkin: 1. 2. Peluang untuk nilai x tertentu: Distribusi kumulatif dari variabel random X:

Contoh: Eksperimen melemparkan uang logam tiga kali, S={AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}. Variabel random X: banyak sisi G muncul dalam pelemparan uang logam tiga kali. Tabel distribusi peluangnya : X 1 2 3 Jumlah P(X=x) 1/8 3/8

Sifat distribusi peluang kontinu: Fungsi peluang disebut sebagai fungsi peluang dari variabel random kontinu X, jika untuk setiap harga x yang mungkin: 1. 2. Distribusi kumulatif dari variabel random X:

Contoh Fungsi Peluang Variabel Random Kontinu Diketahui variabel random X mempunyai fungsi densitas Tunjukkan bahwa P(0<X<2) = 1 Hitunglah P(X<1,5) Hitunglah P(0,5<X<1,5)

HARGA HARAPAN VARIABEL RANDOM Harga harapan suatu variabel random X dengan fungsi peluang f(x) adalah: Contoh: Harga harapan banyaknya muncul sisi A pada 3 kali lemparan koin seimbang adalah....

Sifat harga harapan Sifat dari nilai harapan : Jika a,b konstan dan X,Y variabel random, maka E(a)=a E(aX)=aE(X) E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(aX + b) = a E(X) + b

Sebuah mata uang logam seimbang dilemparkan sebanyak 4 kali Sebuah mata uang logam seimbang dilemparkan sebanyak 4 kali. Misalkan variabel random X menyatakan banyaknya sisi muka(M) yang muncul dalam 4 lemparan, tentukan: distribusi peluang X peluang diperoleh 3 sisi muka peluang diperoleh paling sedikit 3 sisi belakang (B)

Seorang pembalap mobil ingin mengasuransikan mobilnya selama musim balapan mendatang sebesar 100 juta rupiah. Perusahaan asuransi menaksir terjadinya kerugian total ( 100 juta rupiah) dengan peluang 0,004, kerugian 50% dengan peluang 0,02 dan kerugian 25% dengan peluang 0,1. Jika kerugian lainnya diabaikan, berapa besar premi yang harus dibayar pembalap tiap musim kompetisi agar perusahaan asuransi mendapat keuntungan sebesar 1 juta ?