Kuliah 1 : Sistem Bilangan

Pendahuluan Komputer digital -> sistem yang memproses informasi diskrit Elemen diskrit -> biner (0/1) Input yang bukan bilangan biner diubah terlebih dahulu ke dalam bilangan biner. Sistem bilangan : base atau radix (r) Macam sistem bilangan : Desimal : r=10 Biner : r=2 Oktal : r=8 Heksadesimal r=16 dsb

Sistem-Sistem Bilangan Sistem-Sistem Bilangan secara matematis: Contoh-2: desimal: 5185.6810 = 5x103 + 1x102 + 8x101 + 5x100 + 6 x 10-1 + 8 x 10-2 = 5x1000 + 1x100 + 8x10 + 5 x 1 + 6x.1 + 8x.01 biner (radiks=2, digit={0, 1}) 100112 = 1  16 + 0  8 + 0  4 + 1  2 + 1  1 = 1910 | | MSB LSB 101.0012 = 1x4 + 0x2 + 1x1 + 0x.5 + 0x.25 + 1x.125 = 5.12510

Sistem-Sistem Bilangan Umum Radiks Himpunan/elemen Digit Contoh Desimal r=10 r=2 r=16 r= 8 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 25510 Biner {0,1,2,3,4,5,6,7} 3778 {0,1} 111111112 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B, C, D, E, F} FF16 Oktal Heksadesimal Desimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Biner 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Heksa 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Oktal 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17

1.1 Konversi Bilangan

Radiks-r ke desimal Ekspansikan dgn menggunakan definisi berikut Contoh-2: 1101.1012 = 123 + 122 + 120 + 12-1 + 12-3 = 8 + 4 + 1 + 0.5 + 0.125 = 13.62510 572.68 = 582 + 781 + 280 + 68-1 = 320 + 56 + 2 + 0.75 = 378.7510

Radiks-r ke desimal (lanj.) = 32 + 10 + 0.5 = 42.510 132.34 = 142 + 341 + 240 + 34-1 = 16 + 12 + 2 + 0.75 = 30.7510 341.245 = 352 + 451 + 150 + 25-1 + 45-2 = 75 + 20 + 1 + 0.4 + 0.16 = 96.5610

Desimal ke biner Untuk bilangan desimal bulat Gunakan pembagian dgn 2 secara suksesif sampai sisanya = 0. Sisa-sisa pembagian membentuk jawaban, yaitu sisa yang pertama akan menjadi least significant bit (LSB) dan sisa yang terakhir menjadi most significant bit (MSB).

Desimal ke biner (lanj.) Contoh: Konversi 17910 ke biner: 179 / 2 = 89 sisa 1 (LSB) / 2 = 44 sisa 1 / 2 = 22 sisa 0 / 2 = 11 sisa 0 / 2 = 5 sisa 1 / 2 = 2 sisa 1 / 2 = 1 sisa 0 / 2 = 0 sisa 1 (MSB)  17910 = 101100112

Desimal ke biner (lanj.) Untuk bilangan desimal di belakang koma kalikan dengan 2 secara berulang sampai fraksi hasil perkalian = 0 (atau sampai jumlah penempatan biner yang diharapkan). Digit kesleuruhan hasil perkalian memrupakan jawaban, dengan yang pertama  MSB, dan yang terakhir LSB.

Desimal ke biner (lanj.) Contoh: Konversi 0.312510 ke biner Digit hasil .3125  2 = 0.625 0 (MSB) .625  2 = 1.25 1 .25  2 = 0.50 0 .5  2 = 1.0 1 (LSB)  0.312510 = .01012

Desimal ke Oktal Untuk bilangan bulat Gunakan pembagian dgn 8 secara suksesif sampai sisanya = 0. Sisa-sisa pembagian membentuk jawaban, yaitu sisa yang pertama akan menjadi LSB dan sisa yang terakhir menjadi MSB. Untuk bilangan desimal di belakang koma : kalikan dengan 8 secara berulang sampai fraksi hasil perkalian = 0 (atau sampai jumlah penempatan biner yang diharapkan). Digit keseluruhan hasil perkalian merupakan jawaban, dengan yang pertama  MSB, dan yang terakhir LSB.

Desimal ke Oktal (lanj.) Contoh : Konversi 153.513 ke oktal sampai 8 angka di belakang koma Untuk bilangan desimal bulat 153 153 / 8 = 19 sisa 1 (LSB) / 8 = 2 sisa 3 / 8 = 0 sisa 2 (MSB)  15310 = 2318 Untuk bilangan desimal dibelakang koma 0.513 0.513 x 8 = 4.104 4 (MSB) 0.104 x 8 = 0.832 0 0.832 x 8 = 6.656 6 0.656 x 8 = 5.248 5 0.248 x 8 = 1.984 1 0.984 x 8 = 7.872 7 (LSB)  0.51310 = .4065178 Sehingga 153.51310 = 231.4065178

Biner ke Oktal/Heksadesimal Base/radix oktal = 8 = 23 Base/radix heksadesimal =16 = 24 Konversi dari biner ke oktal maupun ke heksadesimal dilakukan dengan cara mengelompokkan bilangan biner tiap 3 digit (oktal) atau 4 digit (heksadesimal) dimulai dari tanda koma ke kiri dan ke kanan.

Biner ke Oktal/Heksadesimal Contoh : (10 110 001 101 011 . 111 100 000 110)2 = ( 10 1100 0110 1011 . 1111 0000 0110)2 = ( 2 6 1 5 3 . 7 4 0 6 )8 ( 2 C 6 B . F 0 6 )16

Oktal/Heksadesimal ke Biner Setiap digit oktal dikonversi ke 3 digit biner yang ekivalen. Setiap digit heksadesimal dikonversi ke 4 digit biner yang ekivalen. Contoh : (673.124)8 = ( 110 111 011 . 001 010 100 )2 (306.D)16 = ( 0011 0000 0110 . 1101 )2

1.2 Operasi Matematika Biner Penjumlahan Pengurangan Perkalian Pembagian

Penjumlahan aritmatika Biner Mirip spt penjumlahan bil. Desimal, dua bil. biner dijumlahkan melalui penambahan setiap pasangan bit-bit bersamaan dengan propagasi “carry”. Contoh: Cout dr bit ke-5 = Cin dr bit ke-6

Pengurangan aritmatika Biner Dua bil. Biner dikurangkan melalui pengurangan setiap pasangan bit-bit berikut suatu borrowing, jika diperlukan. Contoh:

Perkalian Biner Contoh: 11 x 13 = ? 11 1 0 1 1 multiplicand (4 bits) X 13 X 1 1 0 1 multiplier (4 bits) -------- ------------------- 33 1 0 1 1 11 0 0 0 0 ______ 1 0 1 1 143 1 0 1 1 --------------------- 1 0 0 0 1 1 1 1 Hasil kali (8 bits)

Pembagian Biner Contoh : 15 : 3 = ? 3 = 11 11 11 1111 11 - 0011 11 - 15 = 1111 3 = 11 11 11 1111 11 - 0011 11 - 00

Pembagian Biner Contoh : 33 : 11 = ? 33 = 100001 11 = 1011 011 1011 100001 0000 - 10000 1011 - 1011 1011 - 0000

Latihan konversi bilangan 1. Konversi desimal ke biner, oktal, heksa a. 1231 b. 673.23 2. Konversi biner ke desimal, oktal, heksa a. 101110 b. 1110101.11 3. Konversi oktal ke biner a. 623 b. 715 4. Konversi heksa ke biner a. 15F b. A7

Latihan op. aritmatika biner Lakukan operasi aritmatika biner : 80 : 20 = ? 13 x 7 = ? 46 + 27 = ? 89 – 24 = ?

1.3 Komplemen

Komplemen digunakan untuk menyederhanakan operasi pengurangan atau untuk manipulasi logika. Ada 2 macam : r’s komplemen (r-1)’s komplemen Contoh : r=10 (desimal) : 10’s dan 9’s komplemen r=2 (biner) : 2’s dan 1’s komplemen dst

r’s komplemen r’s = ( rn – N) 10’s komplemen dari 546700 N : bilangan r : basis bil. n : jumlah digit N 10’s komplemen dari 546700 = 1000000 – 546700 = 453300 10’s komplemen dari 012398 = 1000000 – 012398 = 987602 2’s komplemen dari 1011000 = 10000000 – 1011000 = 0101000 2’s komplemen dari 0101101 = 10000000 – 0101101 = 1010011

(r-1)’s komplemen (r-1)’s = rn - rm – N N : bilangan r : basis bil. n : jumlah digit integer N m : jumlah digit pecahan N 9’s komplemen dari 546700 = 106 - 100 – 546700 = 453299 9’s komplemen dari 0.3267 = 100 - 104 – 0.3267 = 0.6733 1’s komplemen dari 1011000 = 27 – 20 – 1011000 = 0100111 1’s komplemen dari 0101101 = 27 - 20 – 0101101 = 1010010

1.4 Operasi Aritmatika Menggunakan Komplemen

Pengurangan dengan 2’s Komplemen Pengurangan 2 n-digit bilangan M-N pada basis r dapat dilakukan sbb : Tambahkan M dengan r’s komplemen dari N M + ( rn – N ) = M - N + rn Jika M>=N, hasil penjumlahan menghasilkan carry (sisa), yang kemudian dibuang dengan cara mengurangi dengan rn. hasil akhir = M - N Jika M<N, hasil penjumlahan tidak menghasilkan carry hasil = rn – ( N – M ) hasil akhir diperoleh dari r’s komplemen dari hasil hasil akhir = - r’s komplemen (hasil)

Contoh (1) Menggunakan 10’s komplemen, lakukan pengurangan 72532 – 3250. M = 72532 10’s komplemen N = 96750 + Jumlah = 169282 Buang carry 105 = 100000 – Hasil = 69282

Contoh (2) Menggunakan 10’s komplemen, lakukan pengurangan 3250 - 72532. M = 03250 10’s komplemen N = 27468 + Jumlah = 30718 Hasil = -(10’s komplemen 30718) = -69282

Contoh (3) Menggunakan 2’s komplemen, lakukan pengurangan 1010100 – 1000011 M = 1010100 2’s komplemen N = 0111101 + Jumlah = 10010001 Buang carry 27 = 10000000 - 0010001

Contoh (4) Menggunakan 2’s komplemen, lakukan pengurangan 1000011 – 1010100 M = 1000011 2’s komplemen N = 0101100 + Jumlah = 1101111 Hasil = - (2’s komplemen 1101111) = -0010001

Pengurangan dengan 1’s Komplemen Pengurangan 2 n-digit bilangan M-N pada basis r dapat dilakukan sbb : Tambahkan M dengan r’s komplemen dari N M + ( rn – rm – N ) = M - N + rn - rm Jika M>=N, hasil penjumlahan menghasilkan carry (sisa), yang kemudian dibuang dengan cara menambahkan carry ke hasil penjumlahan Jika M<N, hasil penjumlahan tidak menghasilkan carry. Hasil akhir diperoleh dari (r-1)’s komplemen dari hasil. hasil akhir = - (r-1)’s komplemen (hasil)

Contoh (1) X – Y = 1010100 – 1000011 X = 1010100 1’s komplemen N = 0111101 + Jumlah = 10010001 Tambahkan carry = 1 + 0010010

Contoh (2) X – Y = 1000011 – 1010100 M = 1000011 1’s komplemen N = 0101100 + Jumlah = 1101111 Hasil = - (1’s komplemen 1101111) = -0010001

1.5 Kode Biner

Kode Desimal Kode biner untuk bilangan desimal minimum terdiri dari 4 digit. Ada 5 macam kode desimal : BCD (Binary Code Decimal) atau 8421 Excess-3, diperoleh dari BCD + (11)2 8-4-2-1 2421 Biquinary atau 5043210

Tabel Kode Desimal Desimal BCD (8421) Excess-3 8-4-2-1 2421 Biquinary 5043210 0000 0011 0100001 1 0001 0100 0111 0100010 2 0010 0101 0110 0100100 3 0101000 4 0110000 5 1000 1011 1000001 6 1001 1010 1100 1000010 7 1101 1000100 8 1110 1001000 9 1111 1010000

Konversi Desimal ke Kode Biner Setiap digit bilangan desimal di konversi ke n-digit kode desimal. Contoh : Bilangan desimal 639 BCD : 0110 0011 1001 Excess-3 : 1001 0110 1100 8-4-2-1 : 1010 0101 1111 2421 : 1100 0011 1111 Biquinary : 1000010 0101000 1010000

Komplemen 9’s komplemen dari suatu bilangan desimal diperoleh mengubah 1 jadi 0 dan 0 jadi 1, kecuali BCD. Contoh : 395 dengan 2421 = 0011 1111 1011 9’s komplemen dari 395 = 1100 0000 0100 = 604 123 dengan BCD = 0001 0010 0011 9’s komplemen dari 123 = 1110 1101 1100 = xxx

Kode Pendeteksian Error Pengiriman data melalui media kabel ataupun yang lain kadang menimbulkan error. Error terjadi ketika data yang diterima tidak sesuai dengan data yang dikirim atau perubahan 0 jadi 1 atau sebaliknya. Pendeteksian error dapat dilakukan dengan menambahkan satu bit (parity bit) pada akhir data.

Parity Bit Merupakan ekstra bit yang disisipkan pada pesan untuk menjadikan total 1’s yang dikirim genap atau ganjil. Macam Odd Parity (parity ganjil) : bit akan di set ke 1 jika jumlah angka 1 yang dikirimkan berjumlah genap (berarti membuat total angka 1 berjumlah ganjil) Even Parity (parity genap) : bit akan di set 1 jika jumlah angka 1 yang dikirimkan berjumlah ganjil (berarti membuat total angka 1 berjumlah genap)

Odd Parity Even Parity Message P 0000 1 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Kode ASCII ASCII (American Standard Code fir Information Interchange) Terdiri dari 128 karakter, yaitu : 26 huruf besar (A sampai Z) 26 huruf kecil (a sampai z) 10 numerik (1 sampai 9) 32 karakter spesial , spt %, * dan $ 34 karakter nonprinting

b7b6b5 b4b3b2b1 ` * : + ; [ { , < \ | - = ] } . > ^ ~ / ? 000 001 010 011 100 101 110 111 0000 NUL DLE SP @ P ` p 0001 SOH DC1 ! 1 A Q a q 0010 STX DC2 “ 2 B R b r 0011 ETX DC3 # 3 C S c s 0100 EOT DC4 $ 4 D T d t 0101 ENQ NAK % 5 E U e u 0110 ACK SYN & 6 F V f v 0111 BEL ETB ‘ 7 G W g w 1000 BS CAN ( 8 H X h x 1001 HT EM ) 9 I Y i y 1010 LF SUB * : J Z j z 1011 VT ESC + ; K [ k { 1100 FF FS , < L \ l | 1101 CR GS - = M ] m } 1110 SO RS . > N ^ n ~ 1111 SI US / ? O o DEL

Contoh Huruf ‘A’ memiliki kode ASCII 1000001 (kolom 100, baris 0001) Karakter ‘{‘ memiliki kode ASCII 1111011 Dsb.

Latihan 1. Lakukan proses pengurangan dengan dan tanpa komplemen (ubah dulu ke biner) : 482 – 256 = ? Lakukan pengurangan 2 bilangan dengan menggunakan komplemen (ubah dulu ke biner) 324 – 742 = ? 3. DECODE KODE ASCII BERIKUT : 1001010 1100001 1101110 1100101 0100000 1000100 1101111 1100101