Analisis Deret Waktu* Wahyu Dwi Lesmono, S.Si Mungkin Terakhir

Pengertian Deret Waktu Deret waktu merupakan rangkaian data yang diukur berdasarkan waktu dengan selang interval yang sama. Dalam hal ini, variabel waktu selalu ada dalam analisis deret waktu. Dalam analisa statistik, data dengan variabel waktu selalu dikaitkan dengan peramalan suatu objek yang dihasilkan pada waktu yang akan mendatang.

Peramalan Peramalan (forecast) merupakan suatu usaha untuk melakukan prediksi suatu objek tertentu di masa yang akan mendatang berdasarkan fakta-fakta yang diperoleh sebelumnya.

Jenis-Jenis Peramalan 1. Peramalan Kualitatif Peramalan yang didasari pada fakta subjek dan objek yang ada pada masa lalu. Contoh: pemilihan keputusan, survey pasar, identifikasi seseorang, jajak pendapat. 2. Peramalan Kuantitatif Peramalan yang didasari pada fakta nilai yang telah ada pada masa lalu. Contoh: kurs uang, cuaca esok hari, rencana anggaran biaya produksi, jumlah produksi.

Pola Data Deret Waktu

Lag dan Lead Lag merupakan waktu permulaan suatu data yang dimulai pada sebelum waktu tertentu. Lead merupakan waktu permulaan suatu data yang dimulai pada setelah waktu tertentu. Contoh: Waktu Xt (Lag/Lead ke-0) Xt-1 (Lag ke-1) Xt-2 (Lag ke-2) Xt-3 (Lag ke-3) Xt+1 (Lead ke-1) Xt+2 (Lead ke-2) 1 10 12 24 2 31 3 4 8 5 6

Differencing Differencing merupakan pembeda atau selisih antara waktu yang satu dengan waktu yang lainnya. Contoh: Waktu Xt ΔXt Δ2Xt Δ3Xt 1 10   2 12 3 32 20 22 4 19 -13 7 9 5 8 -11 -24 -4 Nilai ΔX2 dihitung dengan cara: X2 – X1 = 12 – 10 = 2 Niali Δ2X3 dihitung dengan cara: X3 – X1 = 32 – 10 = 22 Differencing digunakan agar pola data menjadi stasioner pada nilai rata-rata.

Stasioneritas Stasioneritas merupakan kondisi pola pergerakan antar observasi atau waktu yang stabil, tidak mengalami kenaikan maupun penurunan yang cukup signifikan. Pola data dikatakan stasioner apabila pola pergerakan antar observasi atau waktu stabil pada nilai tengah (rata-rata) dan ragam. Apabila pola data tidak stasioner pada rata-rata, maka penanggulangan dapat dilakukan dengan cara differencing. Jika pola data tidak stasioner pada ragam, maka penanggulangan dapat dilakukan dengan cara transformasi variabel ke fungsi yang lain (pada umumnya menggunakan fungsi logaritma natural). Pengujian stasioneritas dapat dilakukan dengan menggunakan unit root test apabila peninjauan secara grafik kurang meyakinkan. Metode unit root test diantaranya Uji Augmented Dickey-Fuller, Uji Phillips-Perron, Uji Canova-Hansen, Uji KPSS (Untuk differencing nonseasonal), Uji OCB (Untuk differencing seasonal), dan lain-lain.

Pola Data Stasioner pada Deret Waktu Stasioner pada rata-rata dan ragam Stasioner pada ragam namun tidak stasioner pada rata-rata Stasioner pada rata-rata namun tidak stasioner pada ragam Tidak stasioner pada rata-rata maupun ragam

Metode Peramalan Kuantitatif 1. Data historis: -Metode Naive -Trend Analysis -Semi Average -Moving Average -Single Exponential Smoothing -Double Exponential Smoothing (Holt Method) -Triple Exponential Smoothing (Holt-Winter Method) -Dekomposisi 2. Kausalitas: -Regresi -Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) -Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) -Model-Model Ekonometrika

Model ARIMA Model ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average) merupakan metode peramalan kausal untuk memprediksikan data deret waktu yang memiliki pola yang cukup kompleks. Peramalan dengan model ARIMA hanya dapat digunakan untuk periode waktu yang pendek (Short Period) tergantung data yang ada pada periode sebelumnya. Dalam praktek statistik, peramalan dengan model ARIMA dikategorikan sebagai pemodelan interatif. Sehingga lebih mudah digunakan dengan cara komputasi karena pemodelan dengan ARIMA lebih sering bersifat Trial and Error untuk mencari model yang terbaik dalam penggunaan model ARIMA yang layak digunakan. Model ARIMA dibagi menjadi 2: Model ARIMA tanpa pengaruh musiman (Model ARIMA) Model ARIMA dengan pengaruh musiman (Model SARIMA [Seasonal ARIMA])

Model Umum ARIMA dengan: Model Umum ARIMA didefinisikan sebagai notasi backshift berikut: dengan: Operator Backshift = Operasi pada deret waktu yang mengartikan sebagai kembali oleh satu unit waktu

Model Umum SARIMA dengan: Model Umum SARIMA didefinisikan sebagai notasi backshift berikut: dengan: Operator Backshift = Operasi pada deret waktu yang mengartikan sebagai kembali oleh satu unit waktu

Penjabaran Struktur Backshift pada Model ARIMA Model ARIMA berdasarkan notasi fungsi backshift dapat dijabarkan sebagai berikut: Model Autoregressive orde ke-1 atau ARIMA(1,0,0) atau AR(1) dapat dijabarkan sebagai berikut:

Contoh Penjabaran Strukstur Backshift Model ARIMA Model ARIMA(0,0,1) [MA(1)]: Model ARIMA(0,2,0): Model ARIMA(1,1,1): Bagaimana cara menjabarkan struktur notasi backshift model ARIMA ke model Regresi berikut? ARIMA(2,1,2) ARIMA(3,2,1) ARIMA(1,2,3) ARIMA(4,0,4)

Penjabaran Struktur Backshift pada Model SARIMA Model SARIMA berdasarkan notasi fungsi backshift dapat dijabarkan sebagai berikut: Model Seasonal Autoregressive orde ke-1 atau ARIMA(0,0,0)(1,0,0) atau SAR(1) dapat dijabarkan sebagai berikut:

Contoh Penjabaran Strukstur Backshift Model SARIMA Model ARIMA(1,0,1)(1,0,1): Model ARIMA(0,0,0)(0,0,1) [SMA(1)]: Model ARIMA(0,1,0)(0,1,0): Bagaimana cara menjabarkan struktur notasi backshift model SARIMA ke model Regresi berikut? ARIMA(1,1,1)(1,1,1) ARIMA(2,0,0)(0,1,2) ARIMA(1,1,0)(0,1,1) ARIMA(3,2,1)(1,2,3)

Parameter Konstanta dan Rata-Rata Data Aktual Dalam model peramalan, parameter konstanta memberikan pengaruh bagi hasil penduga model. Apabila identifikasi model awal sudah stasioner pada rata-rata maka PERLU ditambahkannya parameter konstanta pada model. Namun apabila identifikasi model awal tidak stasioner pada rata-rata maka TIDAK PERLU ditambahkannya parameter konstanta. Hal tersebut dikarenakan parameter konstanta memberikan pengaruh pergeseran (drift) linear trend pada model peramalan. Sehingga model yang tidak stasioner pada rata-rata akan memberikan hasil peramalan yang menyimpang dan diluar kendali. Nilai parameter konstanta mendekati nilai rata-rata pada data aktual pada distribusi sampel pada saat tidak dilakukan differencing pada saat identifikasi model awal. Namun nilai parameter konstanta tidak identik karena rata-rata sampel memiliki hasil yang berbeda apabila diduga dengan metode maksimum likelihood ketika p + q > 0. Dengan kata lain: d = 0 maka c dimasukkan dalam model d >= 1 maka c tidak dimasukkan dalam model

Tahapan dari Model (S)ARIMA Identifikasi Model dengan menggunakan korelogram fungsi Autokorelasi (ACF) dan fungsi Autokorelasi Parsial) (PACF) Estimasi penduga parameter model berdasarkan hasil identifikasi model dengan metode penduga tertentu. Diagnosa kelayakan model dengan menggunakan “L-Jung-Box Method” atau “Q Box and Pierce Test”, apabila nilai P-Value lebih kecil dibandingkan nilai taraf nyata untuk setiap lag-nya maka model tidak layak sehingga kembali ke langkah 1. Jika sebaliknya (untuk setiap lag P-Value > Taraf Nyata), maka model dikatakan layak digunakan sebagai model peramalan. Melakukan peramalan.

Penentuan Orde MA pada Plot ACF dan PACF MA(1) atau ARIMA(0,0,1) MA(2) atau ARIMA(0,0,2): Penentuan Orde MA dilihat dari plot ACF, selama pergerakan lag dari lag 1 tidak jatuh dibawah garis signifikan dan garis 0 maka orde MA dapat ditentukan. Jika dilihat dari plot PACF pergerakan lag menurun secara eksponensial atau sinusoidal.

Penentuan Orde AR pada Plot ACF dan PACF AR(1) atau ARIMA(1,0,0): AR(2) atau ARIMA(2,0,0): Penentuan Orde AR dilihat dari plot PACF, selama pergerakan lag dari lag 1 tidak jatuh dibawah garis signifikan dan garis 0 maka orde AR dapat ditentukan. Jika dilihat dari plot ACF pergerakan lag menurun secara eksponensial atau sinusoidal.

Penentuan Orde ARMA pada Plot ACF dan PACF ARMA(1,1) atau ARIMA(1,0,1): Penentuan Orde ARMA plot PACF dan ACF, selama pergerakan lag dari lag 1 tidak jatuh dibawah garis signifikan dan garis 0 maka orde ARMA dapat ditentukan. Pergerakan salah satu plot mengikuti gerakan sinusoidal dan pergerakan di plot yang lain mengikuti gerakan menurun secara eksponensial.

Plot Deret Waktu Musiman Korelogram ACF Penentuan orde seasonal dilihat dari lag ke-s yang signifikan. Sama halnya dengan aturan penentuan orde ARIMA sebelumnya. Korelogram PACF

Contoh Kasus 1 Berikut adalah data harga saham dari Color Vision Company selama tiga puluh bulan. Dengan menggunakan data pada slide berikut, lakukan analisis sebagai berikut: Buatlah grafik peramalan, lakukan peramalan selama periode tersebut dan 5 periode mendatang dengan metode: Trend Linear Moving Average 3 Periode Simple Exponential Smoothing dengan bobot pemulusan tingkat 0.5 Double Exponential Smoothing dengan bobot pemulusan tingkat 0.5 dan trend 0.5 Metode Holt-Winter multiplikatif dengan panjang musiman 12 dan bobot pemulusan tingkat 0.5, trend 0.3, dan musiman 0.6 Dengan menggunakan kriteria ukuran galat peramalan, metode manakah yang terbaik untuk meramalkan harga saham dari Color Vision Company pada periode bulan yang akan datang? Buatlah model persamaan regresi dengan metode OLS untuk mengetahui pengaruh harga saham pada periode satu bulan sebelumnya terhadap periode bulan sekarang ini!

Bulan Harga Saham 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 71 70 69 68 64 65 72 78 75 74 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 86 82 73 77 83 81 85 84

Cara Ramalan dengan Metode Trend Linear Stat > Time Series > Trend Linear Variable masukkan “Harga Saham” > Model Type pilih Linear > Ceklis Generate Forecasts > Number of forecasts diisi 5 > Starting from origin diisi 30 Storage > ceklis Fits dan Forecasts > OK Results > ceklis Summary Table and Results Table > OK Klik OK

Cara Ramalan dengan Metode Moving Average Stat > Time Series > Moving Average Variable masukkan “Harga Saham” > MA length pilih 3 > Ceklis Generate Forecasts > Number of forecasts diisi 5 > Starting from origin diisi 30 Storage > ceklis Fits dan Forecasts > OK Results > ceklis Summary Table and Results Table > OK Klik OK

Cara Ramalan dengan Single Exponential Smoothing Stat > Time Series > Single Exponential Smoothing Variable masukkan “Harga Saham” > Weight to Use in Smoothing pilih Use diisi 0.5 > Ceklis Generate Forecasts > Number of forecasts diisi 5 > Starting from origin diisi 30 Storage > ceklis Fits dan Forecasts > OK Results > ceklis Summary Table and Results Table > OK Klik OK

Cara Ramalan dengan Double Exponential Smoothing Stat > Time Series > Double Exponential Smoothing Variable masukkan “Harga Saham” > Weight to Use in Smoothing pilih Specified weights dengan for Level diisi 0.5 dan For trend diisi 0.5 > Ceklis Generate Forecasts > Number of forecasts diisi 5 > Starting from origin diisi 30 Storage > ceklis Fits dan Forecasts > OK Results > ceklis Summary Table and Results Table > OK Klik OK

Cara Ramalan dengan Holt-Winter (Triple Exponential Smoothing) Stat > Time Series > Holt-Winter Variable masukkan “Harga Saham” > Seasonal length diisi 12 > Method Type pilih Multiplicative > Weights to Use in Smoothing diisi pada Level 0.5, Trend 0.2, dan Seasonal 0.6, Ceklis Generate Forecasts > Number of forecasts diisi 5 > Starting from origin diisi 30 Storage > ceklis Fits dan Forecasts > OK Results > ceklis Summary Table and Results Table > OK Klik OK

Jawaban A Garis observasi berwarna biru menunjukkan nilai aktual harga saham. Garis observasi berwarna merah menunjukkan nilai peramalan harga saham berdasarkan periode yang bersesuaian dengan nilai aktual. Garis observasi berwarna berwarna hijau merupakan nilai peramalan untuk periode yang akan mendatang. Sementara garis observasi berwarna ungu menunjukkan selang kepercayaan parameter penduga

Jawaban A Bagaimana anda mengintepretasikan plot diatas?

Hasil peramalan pada setiap bulan berdasarkan masing-masing metode. Harga Saham Linear Trend Moving Average Single Exponential Smoothing Double Exponential Smoothing Holt-Winter 1 71 68.3204   71.0000 69.2566 2 70 68.8110 70.8207 69.9088 3 69 69.3015 70.0000 70.5000 71.3656 70.0264 4 68 69.7921 69.0000 69.7500 70.5467 72.2139 5 64 70.2826 67.0000 68.8750 69.0005 71.2251 6 65 70.7732 65.6667 66.4375 64.9773 65.3463 7 72 71.2637 65.7188 63.4714 61.8438 8 78 71.7542 71.6667 68.8594 68.3506 69.1738 9 75 72.2448 75.0000 73.4297 76.2025 73.2851 10 72.7353 76.0000 74.2148 78.3279 76.5608 11 73.2259 74.6074 78.5586 76.9430 12 73.7164 73.3333 74.8037 77.7843 77.2883 13 74.2070 72.4019 72.9511 78.1625 14 74.6975 73.7009 73.5467 74.8835 15 74 75.1881 74.6667 74.3505 74.2078 73.7625 16 75.6786 75.6667 74.1752 73.9864 74.9998 17 86 76.1692 79.3333 76.0876 76.8791 77.0171 18 82 76.6597 82.0000 81.0438 84.6057 84.3468 19 77.1502 81.0000 81.5219 85.8176 85.5164 20 73 77.6408 76.6667 78.2610 80.2191 81.5126 21 78.1313 75.6305 74.6151 71.6809 22 78.6219 72.6667 73.8152 70.6593 70.0325 23 79.1124 72.3333 73.4076 69.7666 70.0365 24 77 79.6030 74.0000 72.7038 69.3786 68.8054 25 83 80.0935 77.3333 74.8519 73.5899 79.1378 26 81 80.5841 80.3333 78.9260 81.0481 81.7322 27 81.0746 81.6667 79.9630 83.7652 81.4064 28 85 81.5651 82.3333 80.4815 84.4324 84.5334 29 82.0557 83.6667 82.7407 86.9079 87.9359 30 84 82.5462 84.6667 83.8704 87.6687 84.8745 Hasil peramalan pada setiap bulan berdasarkan masing-masing metode.

Menampilkan Plot Deret Waktu dengan Peramalannya Stat > Time Series > Time Series Plot ATAU Graph > Time Series Plot Pilih Multiple > OK Masukan Harga Saham serta hasil peramalan semua metode (FITS) ke Series > OK

Jawaban A Plot berikut merupakan plot pembanding hasil peramalan dengan metode peramalan yang lain sehingga mudah melihat pergerakan hasil peramalan yang dekat dengan nilai aktual. Bagaimana mengintepretasikannya?

Jawaban A Nilai peramalan harga saham Color Vision Company untuk 5 bulan mendatang dari setiap metode ditunjukkan pada tabel berikut: Bulan Linear Trend Moving Average Single Exponential Smoothing Double Exponential Smoothing Holt-Winter 31 83.03678 84.66667 83.93519 86.63192 83.35601 32 83.52733 87.42948 86.02491 33 84.01787 88.22704 84.84783 34 84.50842 89.0246 85.80862 35 84.99896 89.82217 85.31591

Jawaban B Ukuran Peramalan Linear Trend Moving Average Single Exponential Smoothing Double Exponential Smoothing Holt-Winter MAPE 4.2223 4.9038 4.0541 5.2070 4.7131 MAD 3.1592 3.7407 3.0859 3.9384 3.5244 MSD 15.6847 23.4280 16.8541 25.5719 23.6989 Berdasarkan ukuran peramalan dengan menggunakan MAPE, MAD, dan MSD didapat bahwa metode Single Exponential Smoothing merupakan metode yang terbaik sebagai metode peramalan harga saham Color Vision Company untuk periode yang akan datang.

Jawaban C Hasil analisis signifikansi model menunjukkan bahwa seluruh variabel bebas yaitu harga saham satu bulan sebelumnya mempengaruhi harga saham pada bulan saat ini berdasarkan uji F. Pada uji t, penambahan harga saham pada satu bulan sebelumnya secara signifikan mempengaruhi harga saham pada bulan saat ini sebesar 0.820 namun pada saat tidak dipengaruhi oleh faktor tersebut, tidak mempengaruhi secara signifikan terhadap harga saham pada bulan saat ini walaupun harga saham pada bulan saat ini meningkat menjadi 14.01. Hasil koefisien determinasi menunjukkan bahwa harga saham pada satu bulan sebelumnya memberikan pengaruh bagi harga saham pada bulan saat ini sebesar 63.40%, sisanya dipengaruhi oleh faktor lainnya. Hasil koefisien determinasi prediksi menunjukkan bahwa harga saham pada bulan saat ini dapat diprediksi oleh harga saham pada satu bulan sebelumnya dengan tingkat keakuratan sebesar 58.12%, sementara itu sisanya diprediksi oleh faktor yang lain. Hasil analisis asumsi model diperoleh bahwa model penduga dengan metode OLS tidak mengalami masalah variabel multikolinearitas dan autokorelasi (buktikan!). Terdapat pencilan pada bulan ke-17. Untuk menguji normalitas pada hasil model penduga dengan metode penduga OLS dapat dilakukan uji normalitas pada galat. Hasil sumber keragaman Lack-of-Fit menunjukkan bahwa hasil penduga berdasarkan harga saham pada bulan sebelumnya yang mempengaruhi harga saham pada bulan saat ini berbentuk linear. Bagaimana anda mengintepretasikan hasil R-Square Adjusted, nilai S, dan PRESS?

Jawaban C (Uji Normalitas) Berdasarkan hasil uji normalitas dengan menggunakan metode Anderson-Darling diperoleh kesimpulan bahwa model penduga dari metode penduga OLS memiliki residual yang menyebar normal pada taraf nyata 5% dan 1%. Sehingga tidak terdapat permasalahan normalitas pada model penduga harga saham pada bulan saat ini berdasarkan faktor harga saham pada satu bulan sebelumnya dengan metode OLS.

Jawaban C (Uji Heteroskedastisitas) Uji Glejser Uji Park Berdasarkan hasil uji Glejser dan uji Park diperoleh bahwa seluruh variabel bebas tidak berpotensi mengalami masalah heteroskedastisitas pada hasil model penduga dengan metode penduga OLS. Hasil tersebut terlihat dari nilai P-Value variabel bebas yang lebih besar dari taraf nyata.

Contoh Kasus 2 Tahun Cacat 1 60 15 49 29 68 2 43 16 41 30 51 3 67 17 Data berikut merupakan data record mengenai jumlah produksi sirup ABC yang cacat tiap tahunnya selama 42 tahun. Lakukan analisis deret waktu dengan model ARIMA disertai dengan analisis signifikansi dan asumsi modelnya! Lakukan peramalan 14 tahun mendatang! Tahun Cacat 1 60 15 49 29 68 2 43 16 41 30 51 3 67 17 13 31 33 4 50 18 35 32 5 56 19 53 6 42 20 34 77 7 21 81 8 65 22 36 9 23 69 37 71 10 24 59 38 11 25 48 39 12 26 40 70 47 27 86 14 28 55 Harusnya data umur kematian raja di inggris tiap periode penjabatan

Statistika Deskriptif untuk Grafik Deret Waktu Berdasarkan plot deret waktu pada produk cacat diperoleh bahwa jumlah produk yang cacat tiap tahun mengalami perubahan naik-turun setiap tahunnya. Namun terdapat sedikit perubahan antar tahun yang cukup tajam dan berada di luar garis rata-rata. Jumlah produk cacat paling sedikit terjadi pada tahun ke-17 sebanyak 13 produk dan jumlah produk cacat paling banyak terjadi pada tahun ke-27 sebanyak 86 produk. Tahun ke-33 hingga tahun ke-42 mengalami perubahan produk cacat tertinggi yang paling lama sehingga menyebabkan data tidak stasioner pada rata-rata.

Identifikasi Stasioneritas Data dengan Grafik I-MR Assitant > Control Chart > Pilih I-MR Chart Masukkan Cacat ke kotak Data Coloumn > How will you determine the control limits and center line pilih Estimate from the data > OK Berdasarkan hasil disamping diperoleh bahwa data kecacatan mengalami pergeseran pada rata-rata diantara titik data (observasi/waktu) 33-42.

Identifikasi Model (Uji Stasioneritas Data dengan Grafik I-MR) Berdasarkan hasil laporan kecacatan produk pada grafik I-MR Chart diperoleh bahwa pola data berdistribusi normal serta tidak terdapat korelasi antar waktu (observasi). Namun pola data tidak stabil karena terdapat data yang di luar kendali dan mengalami pergeseran pada rata-rata (shift in mean) sehingga dapat dikatakan bahwa data tidak stasioner pada rata-rata namun stasioner para ragam sehingga harus dilakukan differencing agar data menjadi stasioner Batas maksimal titik data berada diluar garis rata-rata adalah 8 titik

Cara Melakukan Differencing Stat > Time Series > Differences Masukkan Series sebagai Cacat > Store Differences in ketik D1Cacat > Lag diketik 1 > OK Nantinya akan muncul kolom baru bernama D1Cacat. Tampilkan ulang plot deret waktu untuk D1Cacat untuk mengetahui apakah datanya sudah stasioner atau belum.

Grafik Data Deret Waktu setelah Differencing Pertama Berdasarkan plot data deret waktu produksi cacat setelah dilakukan differencing pertama diperoleh bahwa sudah stasioner pada rata-rata dan ragam. Terlihat dari perubahan naik dan turun yang tidak terlalu jauh serta tidak ada jumlah cacat yang berada di luar rata-rata dalam jangka waktu yang lama. Oleh karena itu, dapat dilakukan identifikasi model ARIMA dengan menggunakan korelogram autokorelasi dan korelogram autokorelasi parsial.

Grafik I-MR setelah Differencing Pertama Berdasarkan hasil laporan kecacatan produk setelah dilakukan differencing pertama pada grafik I-MR Chart diperoleh bahwa pola data berdistribusi normal, tidak terdapat korelasi antar waktu (observasi), serta pola data sudah stabil. Sehingga diperoleh kesimpulan bahwa data produk cacat setelah dilakukan differencing pertama sudah stasioner pada rata-rata dan ragam. Oleh karena itu, dapat dilakukan identifikasi model ARIMA dengan menggunakan korelogram autokorelasi dan korelogram autokorelasi parsial. Sudah tidak ada lagi gejala diluar kendali, baik berdasarkan grafik Individual Value maupun Moving Average

Cara Menampilkan Korelogram Autokorelasi Parsial Stat > Time Series > Partial Autocorrelation Masukkan Kotak Series sebagai hasil pola data yang stabil, dalam kasus ini dipilih D1Cacat > Pilih Default number of lags > OK

Identifikasi Model (Menentukan orde Autoregressive (AR)) Berdasarkan korelogram autokorelasi parsial diperoleh bahwa terdapat 3 jarum (lag) bernilai negatif yang terpotong digaris signifikan (garis warna merah) secara perlahan dan meningkat dari lag 1 hingga lag 3. Korelogram autokorelasi parsial mereda menuju nol setelah lag ke-3. Sehingga diperoleh model Autoregressive (AR) yang mungkin adalah orde 3 atau AR(3).

Cara Menampilkan Korelogram Autokorelasi Stat > Time Series > Autocorrelation Masukkan Kotak Series sebagai hasil pola data yang stabil, dalam kasus ini dipilih D1Cacat > Pilih Default number of lags > OK

Identifikasi Model (Menentukan orde Moving Average (MA)) Berdasarkan korelogram autokorelasi diperoleh bahwa terdapat 1 jarum (lag) bernilai negatif yang terpotong digaris signifikan (garis warna merah) pada lag 1. Korelogram autokorelasi mulai meningkat secara perlahan setelah lag 1 dan mereda menuju nol namun tidak ada jarum (lag) yang signifikan lagi setelah lag 1. Sehingga diperoleh model Moving Average (MA) yang mungkin adalah orde 1 atau MA(1).

Identifikasi Model (Menentukan Model ARIMA yang Mungkin) Identifikasi model ARMA dilakukan pada differencing pertama dan diperoleh AR(3) dan MA(1). Sehingga diperoleh model penduga ARIMA yang mungkin dapat dilakukan: ARIMA(3,1,0) ARIMA(0,1,1) ARIMA(3,1,1) Tahapan berikutnya yaitu estimasi parameter dan diagnosis model.

Cara Melakukan Estimasi Parameter Model Penduga ARIMA Stat > Time Series > ARIMA Series Masukan “Cacat” (bukan hasil differencing) > Kotak Nonseasonal masukkan sesuai dengan model penduga yang diperoleh sebelumnya Graphs > Ceklis Time Series Plot, ACF dan PACF Residuals > Pilih Four in One > OK Forecasts > Lead masukan 14 > Storage Forecasts agar mudah membedakan masukan FORpdq dengan p, d, dan q nilai orde dari model penduga ARIMA yang diperoleh sebelumnya > OK Storage > Ceklis Residuals dan Fit > OK Klik OK

Hasil Estimasi Parameter dan Diagnosis Model ARIMA(3,1,0) ARIMA(0,1,1) ARIMA(3,1,1) AR 1 -0.6218*** - -0.5972 AR 2 -0.5145*** -0.5021* AR 3 -0.3540** -0.3452 MA 1 0.7439*** 0.0280 Ljung-Box 12 3.7 6.7 Ljung-Box 24 13.3 17.3 Ljung-Box 36 18.5 20.4 Ljung-Box 48 MSE 238.33 235.17 244.80 Keterangan: *** : Signifikan pada taraf 1% ** : Signifikan pada taraf 5% * : Signifikan pada taraf 10% Hasil diagnosis model menunjukkan bahwa nilai Ljung-Box untuk seluruh lag tidak signifikan untuk semua model ARIMA. Hal tersebut menyebabkan residual sudah white noise (rata-rata nol dan ragam konstan) sehingga ketiga model ARIMA layak digunakan sebagai peramalan. Namun nilai MSE terkecil dari ketiga model ARIMA yang diduga adalah ARIMA(0,1,1) sehingga model penduga ARIMA(0,1,1) merupakan model yang terbaik untuk meramalkan jumlah produksi yang cacat.

Pembentukan Model ARIMA Model ARIMA(0,1,1) berdasarkan estimasi parameter sebelumnya dapat dibentuk dengan menggunakan operator backshift sebagai berikut: Hasil persamaan model ARIMA diatas menunjukkan bahwa jumlah produksi cacat pada tahun saat ini disebabkan karena jumlah produksi cacat pada satu tahun yang lalu, residual pada tahun saat ini, dan perubahan residual pada satu tahun yang lalu. Penambahan satu jumlah produksi cacat pada satu tahun yang lalu meningkatkan jumlah produksi cacat di tahun saat ini sebesar satu jumlah produksi cacat. Penambahan satu residual jumlah produksi cacat pada tahun saat ini akan meningkatkan satu jumlah produksi cacat pada tahun saat ini. Penambahan satu residual jumlah produksi cacat pada satu tahun lalu akan meningkatkan jumlah produksi cacat pada tahun saat ini sebesar 0.7439.

Uji Normalitas Model ARIMA Berdasarkan uji Normalitas dengan menggunakan metode Anderson-Darling diperoleh bahwa residual model penduga ARIMA yang dibentuk berdistribusi normal. Terlihat pula dengan bentuk histogram yang berdistribusi normal, jarak antar kuartil pada boxplot seimbang serta nilai skewness dan kurtosis yang mendekati nilai 0.

Uji Heteroskedastisitas Berdasarkan scatter plot antara nilai penduga dengan nilai residual terlihat bahwa penyebaran titik tidak membentuk pola tertentu sehingga data tidak mengalami masalah heteroskedastisitas. Bagaimana cara menguji multikolinearitas dan autokorelasi pada data? Apakah bisa pula diuji Linearitas dan Homogenitasnya?

Menampilkan Plot Gabungan Peramalan Deret Waktu Untuk menampilkan hasil gabungan peramalan pada periode aktual dengan periode di masa mendatang. Hasil pada kolom FOR011 dipindahkan dibawah baris terakhir pada FITS1. Kemudian lakukan proses yang sama untuk menampilkan plot deret waktu dengan menggunakan grafik Multiple! Untuk model ARIMA, batas atas dan batas bawah peramalan dimasukkan dalam plot deret waktu. Sehingga jika belum ada kolom batas atas dan batas bawah peramalan ARIMA, pada bagian Stat > Time Series > ARIMA > Storage > Masukkan Lower Limit dengan nama LFLpdq dan Upper Limit dengan nama UFLpdq dengan p, d, dan q adalah orde ARIMA yang terbaik berdasarkan hasil diagnosis model. Kemudian, pindahkan hasil LFLpdq dan UFLpdq dibawah observasi/waktu yang terakhir pada data agar bisa bersesuai dengan peramalan di periode yang akan mendatang (FORpdq setelah dipindahkan dibawah baris terakhir FITS1).

Plot Deret Waktu Plot Deret Waktu diatas merupakan data jumlah produksi cacat tiap tahunnya disertai dengan hasil peramalan dengan model penduga ARIMA(0,1,1), batas bawah peramalan, dan batas atas peramalan. Terlihat bahwa pergerakan peramalan berada ditengah pergerakan data aktual. Selain itu, peramalan untuk 14 tahun mendatang memiliki pola perubahan yang konstan dan horizontal. Sehingga peramalan untuk 14 tahun mendatang dengan model penduga ARIMA(0,1,1) adalah sama yaitu sebanyak 68 produk cacat.

Contoh Kasus 3 Berikut adalah data jumlah penumpang pesawat terbang di suatu penerbangan internasional di negara Indonesia. Lakukan analisis peramalan dengan menggunakan model ARIMA untuk meramalkan jumlah penumpang pesawat terbang di suatu penerbangan internasional di negara Indonesia selama 12 bulan mendatang disertai dengan analisis signifikansi dan analisis modelnya! Bulan Tahun 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 January 112 115 145 171 196 204 242 284 315 340 360 417 Februari 118 126 150 180 188 233 277 301 318 342 391 Maret 132 141 178 193 236 235 267 317 356 362 406 419 April 129 135 163 181 227 269 313 348 396 461 Mei 121 125 172 183 229 234 270 355 363 420 472 Juni 149 218 243 264 374 422 435 535 Juli 148 170 199 230 302 364 413 465 491 548 622 Agustus 272 293 347 405 467 505 559 606 September 136 158 184 209 237 259 312 404 463 508 Oktober 119 133 162 191 211 274 306 359 407 November 104 114 146 203 271 305 310 390 Desember 140 166 194 201 278 336 337 432

Identifikasi Model (Gambaran Umum Pola Deret Waktu) Gambar pola deret waktu jumlah penumpang pesawat menunjukkan bahwa jumlah penumpang setiap tahunnya mengalami peningkatan yang cukup signifikan. Jumlah penumpang tertinggi berada pada pertengahan bulan dan jumlah penumpang terendah berada pada akhir dan awal bulan. Pola deret waktu tersebut membentuk pola musiman sehingga pola data deret waktu tidak stasioner pada rata-rata dan ragam. Data aktual perlu dilakukan differencing dan transformasi.

Identifikasi Model (Uji Stasioneritas Data dengan Grafik I-MR) Berdasarkan hasil laporan jumlah penumpang pesawat pada grafik I-MR Chart diperoleh bahwa pola data tidak stabil pada rata-rata dan ragam sehingga perlu dilakukan penanggulangan berupa differencing dan transformasi pada data. Selain itu, pola data yang tidak berdistribusi normal menunjukkan perlu adanya transformasi dengan menggunakan fungsi terbaik agar data menjadi normal selain menggunakan transformasi box-cox. Fungsi logaritma natural digunakan untuk mentransformasikan data deret waktu sesuai teori analisis deret waktu. Pola data antar waktu berkorelasi kuat yang mengindikasikan terjadinya masalah autokorelasi pada data. Titik data yang lebih dari 100 memberikan hasil kontrol limit yang lebih akurat dan presisi. Hasil tersebut dapat memberikan kesimpulan yang lebih baik untuk menentukan titik data mana saja yang diluar kendali.

Cara Transformasi Logaritma Natural dengan Minitab Store Result in Variable ketik LN(PENUMPANG) > Expression ketik LN(‘Jumlah Penumpang Pesawat’) > OK

Identifikasi Model (Gambaran Umum Pola Deret Waktu Setelah Transformasi Logaritma Natural) Setelah data jumlah penumpang pesawat ditransformasikan ke fungsi logaritma natural diperoleh bahwa pola data deret waktu memiliki pergerakan pola yang sama setiap tahunnya pada setiap 12 bulan dan tidak terdapat perbedaan naik turun yang signifikan di setiap bulannya untuk setiap tahunnya. Sehingga data jumlah penumpang pesawat sudah stasioner pada ragam namun karena setiap tahunnya mengalami kenaikan setiap tahunnya maka data tidak stasioner pada rata-rata sehingga perlu dilakukan dengan differencing musiman (seasonal differencing) sebanyak 12 lag.

Identifikasi Model (Uji Stasioneritas Data dengan Grafik I-MR) Berdasarkan hasil laporan jumlah penumpang pesawat pada grafik I-MR Chart diperoleh bahwa pola sudah stabil pada ragam namun tidak stabil pada rata-rata sehingga perlu dilakukan penanggulangan berupa differencing pada data. Selain itu, hasil transformasi data tidak membuat pola data berdistribusi normal sehingga perlu dilakukan penambahan fungsi transformasi yang lain atau dilakukan transformasi yang lain agar data menjadi normal selain menggunakan transformasi Box-Cox. Pola data yang berkorelasi antar waktu berkorelasi kuat yang mengindikasikan terjadinya masalah autokorelasi pada data. Titik data yang lebih dari 100 memberikan hasil kontrol limit yang lebih akurat dan presisi. Hasil tersebut dapat memberikan kesimpulan yang lebih baik untuk menentukan titik data mana saja yang diluar kendali. Fungsi transformasi apa yang terbaik agar pola data menjadi normal? Hasil I-MR Chart menunjukkan bahwa Individual Value Chart masih terdapat titik yang berada di luar kendali. Namun plot Moving Range tidak terdapat titik yang berada di luar kendali yang menunjukkan bahwa pola data stabil (stasioner) pada ragam.

Cara Melakukan Differencing Musiman Stat > Time Series > Differences Masukkan Series sebagai LN(PENUMPANG) > Store Differences in ketik D12LNPENUMPANG > Lag diisi 12 > OK

Identifikasi Model (Gambaran Umum Plot Data Deret Waktu) Hasil differencing musiman memberikan plot data deret waktu yang sudah stasioner pada ragam namun tidak stasioner pada rata-rata. Terlihat adanya pergerakan setiap tahun dan setiap bulan yang berubah secara tidak merata sehingga perlu dilakukan differencing pada rata-rata.

Identifikasi Model (Uji Stasioneritas Data dengan Grafik I-MR) Berdasarkan hasil laporan jumlah penumpang pesawat pada grafik I-MR Chart diperoleh bahwa pola sudah berdistribusi normal namun tidak stabil pada rata-rata dan ragam serta masih terjadi autokorelasi antar waktu. Walaupun data sudah berdistribusi normal, pola data secara signifikan sudah stabil pada ragam. Pola data yang tidak stabil pada rata-rata menunjukkan bahwa data perlu dilakukan differencing. N.B: Data yang sudah berdistribusi normal dapat diartikan sebagai keragaman data yang sudah stabil/stasioner.

Cara Differencing Nonseasonal pada Hasil Differencing Seasonal Stat > Time Series > Differences Masukkan Series sebagai D12PENUMPANG > Store Differences in ketik D1D12LNPENUMPANG > Lag diisi 1 > OK

Identifikasi Model (Gambaran Umum Plot Data Deret Waktu) Hasil differencing pertama dari differencing musiman memberikan pola data deret waktu horizontal serta tidak banyak mengalami kenaikan maupun penurunan yang cukup tajam. Pergerakan deret waktu tersebut menunjukkan bahwa data jumlah penumpang yang sudah ditransformasikan dengan logaritma natural, dilakukan difference musiman satu kali dan difference non musiman dari difference musiman satu kali sudah stasioner pada rata-rata dan ragam. Sehingga dapat dilakukan tahapan lebih lanjut untuk menentukan orde Autoregressive dan Moving Average. Baik nonseasonal dan seasonal 12 periode.

Identifikasi Model (Uji Stasioneritas Data dengan Grafik I-MR) Berdasarkan hasil laporan jumlah penumpang pesawat pada grafik I-MR Chart diperoleh bahwa pola sudah berdistribusi normal dan tidak terdapat korelasi antar waktu. Namun tidak stabil pada rata-rata dan ragam. Walaupun data sudah berdistribusi normal, pola data secara signifikan sudah stabil pada ragam. Pada bagian summary report menunjukkan bahwa rata-rata proses sudah stabil dan tidak terdapat titik data yang diluar kendala pada Individual Value Chart. Hasil tersebut menunjukkan bahwa data sudah stasioner pada rata-rata. Sehingga diperoleh kesimpulan bahwa data jumlah penumpang dengan menggunakan transformasi fungsi logaritma natural, differencing musiman 12 periode, differencing pertama dari differencing musiman 12 periode telah stasioner dengan rata-rata dan ragam sehingga dapat dilakukan analisis untuk menentukan orde Autoregressive dan Moving Average. Baik nonseasonal maupun seasonal dalam 12 periode.

Identifikasi Model (Menentukan orde Autoregressive) Walaupun lag 9 signifikan dan bernilai positif, namun tidak terhitung dalam penentuan model AR. Penentuan model AR dilakukan berdasarkan lag 1 hingga lag ke-n secara terurut hingga terputus pada garis signifikan dan garis bernilai 0. Berdasarkan korelogram autokorelasi parsial diperoleh bahwa terdapat jarum (lag) yang terpotong di garis signifikan dan bernilai negatif pada lag 1 dan lag 12 serta bernilai positif pada lag ke-9. Karena pergerakan dari lag 1 ke lag 2 naik signifikan menjadi positif serta melewati garis 0 maka penentuan orde Autoregressive Nonseasonal berhenti pada lag 1 sehingga diperoleh model yang mungkin untuk Autoregressive Nonseasonal yaitu AR(1). Selain itu, periode musiman sebesar 12 menunjukkan bahwa terdapat orde Autoregressive Seasonal yang mungkin masuk pada model SARIMA. Berdasarkan lag kelipatan 12 diperoleh bahwa lag 12 memiliki nilai negatif yang sama dengan lag 1 serta terpotong di garis signifikan. Selain itu pada lag 24, lag 36, dan lag 48 tidak berpotongan di garis signifikan sehingga diperoleh model yang mungkin untuk orde Autoregressive Seasonal yaitu SAR(1).

Identifikasi Model (Menentukan orde Moving Average) Berdasarkan korelogram autokorelasi diperoleh bahwa terdapat jarum (lag) yang terpotong di garis signifikan dan bernilai negatif pada lag 1, lag 3, dan lag 12. Karena pergerakan dari lag 1 ke lag 2 naik signifikan menjadi positif serta melewati garis 0 maka penentuan orde Moving Average Nonseasonal berhenti pada lag 1 sehingga diperoleh model yang mungkin untuk Moving Average Nonseasonal yaitu MA(1). Selain itu, periode musiman sebesar 12 menunjukkan bahwa terdapat orde Moving Average Seasonal yang mungkin masuk pada model SARIMA. Berdasarkan lag kelipatan 12 diperoleh bahwa lag 12 memiliki nilai negatif yang sama dengan lag 1 serta terpotong di garis signifikan. Selain itu pada lag 24, lag 36, dan lag 48 tidak berpotongan di garis signifikan sehingga diperoleh model yang mungkin untuk orde Moving Average Seasonal yaitu SMA(1).

Identifikasi Model (Menentukan Model SARIMA yang Mungkin) Identifikasi model dengan transformasi fungsi logaritma natural, differencing seasonal pertama, serta differencing nonseasonal pertama dari differencing seasonal diperoleh model ARMA yang mungkin yaitu AR(1), SAR(1), MA(1), dan SMA(1). Sehingga diperoleh model penduga Seasonal ARIMA yang mungkin dapat dilakukan: ARIMA(1,1,0)(0,1,0)12 ARIMA(0,1,1)(0,1,0)12 ARIMA(0,1,0)(1,1,0)12 ARIMA(0,1,0)(0,1,1)12 ARIMA(1,1,1)(0,1,0)12 ARIMA(1,1,0)(1,1,0)12 ARIMA(1,1,0)(0,1,1)12 ARIMA(0,1,1)(1,1,0)12 ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12 ARIMA(0,1,0)(1,1,1)12 Tahapan berikutnya yaitu estimasi parameter dan diagnosis model. ARIMA(1,1,1)(1,1,0)12 ARIMA(1,1,1)(0,1,1)12 ARIMA(1,1,0)(1,1,1)12 ARIMA(0,1,1)(1,1,1)12 ARIMA(1,1,1)(1,1,1)12 Bagaimana dan berapa banyak model penduga Seasonal ARIMA yang mungkin dilakukan apabila hasil identifikasi model diperoleh AR(1), AR(2), AR(3), SAR(1), SAR(2), SAR(3), MA(1), MA(2), MA(3), SMA(1), SMA(2), dan SMA(3)?

Cara Melakukan Estimasi Parameter Model Penduga SARIMA Stat > Time Series > ARIMA Series Masukan “LN(PENUMPANG)” (bukan hasil differencing) namun hasil transformasi > Ceklis Fit Seasonal Model > Period diketik 12 > Kotak Nonseasonal dan Seasonal masukkan sesuai dengan model penduga yang diperoleh sebelumnya Graphs > Ceklis Time Series Plot, ACF dan PACF Residuals > Pilih Four in One > OK Forecasts > Lead masukan 12 > Storage Forecasts agar mudah membedakan masukan FORpdqPDQs dengan p, d, q, P, D, Q, dan s nilai orde dari model penduga ARIMA yang diperoleh sebelumnya > Optional untuk Lower Limit dan Upper Limit jika ingin melihat batas peramalan diisi LFLpdqPDQs untuk batas bawah dan UFLpdqPDQs untuk batas atas > OK Storage > Ceklis Residuals dan Fit > OK Klik OK

Estimasi dan Diagnosis Model Penduga SARIMA Parameter Ljung-Box Lag MSE AR(1) SAR(1) MA(1) SMA(1) 12 24 36 48 ARIMA(1,1,0)(0,1,0)12 -0.3431*** - 39.8*** 56.9*** 72.5*** 80.0*** 0.001855 ARIMA(0,1,1)(0,1,0)12 0.3906*** 38.1*** 53.6*** 67.4*** 74.6*** 0.001840 ARIMA(0,1,0)(1,1,0)12 -0.4544*** 31.7*** 63.1*** 82.9*** 91.8*** 0.001710 ARIMA(0,1,0)(0,1,1)12 0.6833*** 24.9*** 43.1*** 58.0*** 64.9** 0.001502 ARIMA(1,1,1)(0,1,0)12 0.1471 0.5420*** 36.4*** 51.3*** 64.8*** 72.2*** 0.001850 ARIMA(1,1,0)(1,1,0)12 -0.3724*** -0.4754*** 13.9 35.0** 50.4** 57.4 0.001472 ARIMA(1,1,0)(0,1,1)12 -0.3333*** 0.6225*** 12.5 29.8 40.2 48.7 0.001354 ARIMA(0,1,1)(1,1,0)12 -0.4856*** 0.4403*** 9.5 27.8 41.4 48.3 0.001439 ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12 0.3958*** 0.6136*** 9.4 25.5 35.6 44.3 0.001333 ARIMA(0,1,0)(1,1,1)12 0.0257 0.6983*** 24.5*** 42.5*** 57.1*** 63.8** 0.001513 ARIMA(1,1,1)(1,1,0)12 0.0603 -0.4845*** 0.4914*** 27.9 41.7 0.001449 ARIMA(1,1,1)(0,1,1)12 0.2624  - 0.6361*** 0.6285*** 8.4 24.2 35.7 43.6 0.001330 ARIMA(1,1,0)(1,1,1)12 -0.3378*** -0.0701 -  0.5752*** 13.0 30.1* 50.1 0.001360 ARIMA(0,1,1)(1,1,1)12 -0.1179 0.4071*** 0.5089*** 9.1 24.7 35.9 46.1 0.001368 ARIMA(1,1,1)(1,1,1)12 0.2224 -0.0994 0.6067*** 0.5628*** 8.8 24.4 36.7 45.0 0.001335 Baris warna kuning merupakan model penduga SARIMA yang sudah white noise (Tidak ada Ljung-Box yang signifikan) yaitu model yang layak digunakan sebagai model peramalan.

Hasil Analisis Diagnosis Model Berdasarkan hasil estimasi model dan diagnosis model diperoleh model ARIMA(1,1,0)(0,1,1)12, ARIMA(0,1,1)(1,1,0)12, ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12, ARIMA(1,1,1)(1,1,0)12, ARIMA(1,1,1)(0,1,1)12, ARIMA(0,1,1)(1,1,1)12, dan ARIMA(1,1,1)(1,1,1)12 merupakan model-model yang sudah white noise sehingga model-model tersebut layak digunakan sebagai model peramalan. Untuk mencari model peramalan dapat ditinjau dengan melihat keseluruhan parameter SARIMA yang signifikan serta nilai MSE yang terkecil. Pada tabel slide sebelumnya, model penduga SARIMA dengan nilai MSE paling kecil diantara model yang lainnya adalah ARIMA(1,1,1)(0,1,1)12. Karena terdapat 1 parameter yang tidak signifikan yaitu parameter AR(1), maka dicari kembali model SARIMA dengan MSE terkecil kedua serta keseluruhan parameter SARIMA yang signifikan. Model ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12 merupakan model penduga SARIMA dengan signifikansi di seluruh parameter model SARIMA serta memiliki nilai MSE terkecil setelah model ARIMA(1,1,1)(0,1,1)12. Oleh karena itu, dapat diperoleh kesimpulan bahwa model ARIMA ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12 merupakan model penduga SARIMA terbaik untuk meramalkan jumlah penumpang pesawat terbang di suatu penerbangan Internasional di Indonesia untuk bulan yang akan mendatang.

Pembentukan Model SARIMA Model ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12 berdasarkan estimasi parameter dan diagnosis sebelumnya dapat dibentuk dengan menggunakan operator backshift sebagai berikut: Fungsi logaritma natural digunakan dalam penurunan model ARIMA dengan operator backshift berdasarkan hasil transformasi pada saat melakukan stasioner pada ragam.

Intepretasi Model ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12 Berdasarkan model menunjukkan bahwa jumlah penumpang pesawat terbang di suatu penerbangan internasional di Indonesia pada bulan saat ini dipengaruhi oleh jumlah penumpang pesawat terbang pada 1 bulan sebelumnya, 12 bulan sebelumnya, 13 bulan sebelumnya, residual pada 1 bulan sebelumnya, residual pada 12 bulan sebelumnya, dan residual pada 13 bulan sebelumnya. Penambahan 1 jumlah penumpang pada 1 bulan sebelumnya meningkatkan jumlah penumpang pada bulan saat ini sebanyak 1 penumpang. Penambahan 1 jumlah penumpang pada 12 bulan sebelumnya meningkatkan jumlah penumpang pada bulan saat ini sebanyak 1 penumpang. Penambahan 1 jumlah penumpang pada 13 bulan sebelumnya meningkatkan jumlah penumpang pada bulan saat ini sebanyak 1 penumpang. Penambahan 1 residual jumlah penumpang pada bulan saat ini meningkatkan jumlah penumpang pesawat terbang pada bulan saat ini sebanyak 1 penumpang. Penambahan 1 residual jumlah penumpang pada 1 bulan sebelumnya meningkatkan jumlah penumpang pesawat terbang pada bulan saat ini sebanyak 0.3958 penumpang. Penambahan 1 residual jumlah penumpang pada 12 bulan sebelumnya meningkatkan jumlah penumpang pesawat terbang pada bulan saat ini sebanyak 0.6136 penumpang. Penambahan 1 residual jumlah penumpang pada 13 bulan sebelumnya meningkatkan jumlah penumpang pesawat terbang pada bulan saat ini sebanyak 0.2429 penumpang.

Uji Normalitas Berdasarkan uji Normalitas dengan menggunakan metode Anderson-Darling diperoleh bahwa residual model penduga Seasonal ARIMA yang dibentuk berdistribusi normal. Walaupun terdapat 1 pencilan dan nilai kurtosis yang sedikit meruncing namun secara keseluruhan residual pada model penduga Seasonal ARIMA masih berdistribusi normal.

Uji Heteroskedastisitas Berdasarkan plot nilai penduga model ARIMA dengan nilai residual diperoleh terlihat bahwa penyebaran titik tidak membentuk pola tertentu sehingga data tidak mengalami masalah heteroskedastisitas.

Hasil Peramalan Karena hasil peramalan dalam bentuk fungsi logaritma natural, maka untuk mendapatkan nilai peramalan yang sesuai dengan nilai data aktual maka hasil peramalan dapat ditransformasikan ke bentuk eksponensial. Dapat dilakukan untuk hasil batas peramalan pada periode mendatang (batas atas maupun batas bawah peramalan). Gunakan fasilitas Calc > Calculator untuk melakukan transformasi hasil peramalan dan batas peramalan ke fungsi eksponensial! Transformasikan hasil FOR01101112, LFL01101112, UFL01101112, dan FITS1 ke bentuk fungsi eksponensial!

Plot Deret Waktu Plot Deret Waktu diatas merupakan data jumlah penumpang pesawat terbang di suatu penerbangan internasional di Indonesia setiap bulannya disertai dengan hasil peramalan periode aktual dan periode 12 bulan mendatang dengan model penduga ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12, batas bawah peramalan, dan batas atas peramalan. Terlihat bahwa pergerakan peramalan berada di dekat pergerakan data aktual mengikuti pola deret waktu yang sama. Selain itu, peramalan untuk 12 bulan mendatang memiliki pola yang sama dengan tahun sebelumnya dan meningkat dibandingkan tahun sebelumnya. Peramalan jumlah penumpang pesawat terbang untuk tahun 1962 pada bulan Januari sebanyak 450 penumpang, bulan Februari meningkat sebanyak 426 penumpang, bulan Maret meningkat sebanyak 482 penumpang, hingga meningkat di bulan Juli sebanyak 668 penumpang. Kemudian mengalami penurunan hingga bulan November sebanyak 430 penumpang dan meningkat di bulan Desember sebanyak 478 penumpang.

Pertanyaan Tugas Besar Individu (B) PERTANYAAN WAJIB: Kerjakan Modul ANEDA halaman 69 dengan menyertakan langkah-langkah identifikasi model, estimasi parameter dan diagnosis parameter, buat model persamaan ARIMA dan peramalan untuk periode 12 bulan mendatang! Jika menggunakan transformasi Johnson pada contoh kasus 3, lakukan analisis deret waktu dengan menggunakan Model ARIMA disertai dengan peramalan 12 tahun mendatang, analisis signifikansi model, dan analisis asumsi modelnya! Lakukan analisis model ARIMA pada contoh kasus 1 disertai dengan peramalan 5 bulan mendatang, analisis signifikansi model, dan analisis asumsi modelnya! PERTANYAAN BONUS UNTUK PERBAIKAN DAN PENAMBAHAN NILAI: Jawablah pertanyaan yang ada pada slide halaman 15, 20, 22, 41, 44, 47 (disertai bukti perhitungan autokorelasi), 66, 74, dan 83! Bagaimanakah model umum ARIMA untuk metode Holt-Winter Additif? Apakah metode Holt-Winter Multiplikatif tidak memiliki model umum ARIMA? Jelaskan!

Pertanyaan Tugas Besar Individu (A) PERTANYAAN WAJIB: Kerjakan Modul ANEDA halaman 69 dengan menyertakan langkah-langkah identifikasi model, estimasi parameter dan diagnosis parameter, buat model persamaan ARIMA dan peramalan untuk periode 12 bulan mendatang! Jika dipaksakan menggunakan transformasi Box-Cox sebanyak dua kali pada contoh kasus 3, lakukan analisis deret waktu dengan menggunakan model ARIMA disertai dengan peramalan 12 tahun mendatang, analisis signifikansi model, dan analisis asumsi modelnya! Lakukan analisis model ARIMA pada contoh kasus 1 disertai dengan peramalan 5 bulan mendatang, analisis signifikansi model, dan analisis asumsi modelnya! PERTANYAAN BONUS UNTUK PERBAIKAN DAN PENAMBAHAN NILAI: Jawablah pertanyaan yang ada pada slide halaman 15, 20, 22, 41, 44, 47 (disertai bukti perhitungan autokorelasi), 66, 74, dan 83! Apa kegunaan grafik korelogram ACF dan PACF Residual pada saat melakukan diagnosis model ARIMA?

Kisi-Kisi UAS -Take Home (Waktu pengerjaan seperti biasa) -Hanya terdiri dari 1 soal mencangkup bahasan mengenai analisis model (Model Regresi, Model Linear Umum, dan Model Deret Waktu). -Isi subsoal berupa, analisis gambaran umum, pembentukan model, analisis asumsi serta strategi penanggulangannya, analisis kasus soal, dan analisis statistika lainnya. -Penilaian yang dinilai pada UAS antara lain: -Ketepatan analisis penyelesaian soal -Eksplorasi penjelasan dan pedalaman materi -Ketepatan dalam input-output program

Kisi-Kisi UAS -Hanya dapat dikerjakan apabila Tugas Besar Individu DAN Slide Presentasi + Mini Jurnal Tugas Besar Kelompok yang direvisi sudah dikumpulkan. Deadline pengumpulan kedua tugas besar paling terakhir tanggal 24 Juni 2016 jam 23:59 dikumpulkan via: E-mail: DSMLMD@yahoo.co.id Subject E-mail dan Nama File: * Untuk TUGAS BESAR INDIVIDU: ANEDA INDIVIDU [NAMA LENGKAP] [NPM] * Untuk TUGAS BESAR KELOMPOK: ANEDA [NOMORKELOMPOK] ([NPM MASING-MASING ANGGOTA]) Contoh: * Untuk Tugas Besar Individu: ANEDA INDIVIDU NINA DAMAYANTI 064114999 * Untuk Tugas Besar Kelompok: ANEDA KELOMPOK 9 (064114997 (Ketua), 064114998 (Wakil Ketua), 064114999) -Format file Tugas Besar Individu dan Kelompok HARUS format PDF -Soal UAS akan diberikan antara jam 10:00-18:00 tanggal 25 Juni 2016 via e-mail masing-masing.