PENDUGAAN PARAMETER

INFERENSI STATISTIK Inferensi statistik mencakup semua metode yang digunakan dalam penarikan kesimpulan atau generalisasi mengenai populasi. Pendugaan Parameter Inferensi Statistik Pengujian Hipotesis

Pendugaan Parameter Pendugaan parameter berarti melakukan estimasi terhadap nilai dugaan/taksiran suatu parameter tertentu, karena pada umumnya nilai parameter suatu distribusi tidak diketahui Contoh : Seorang calon dalam suatu pemilihan ingin menduga proporsi yang sebenarnya pemilih yang akan memilihnya, dengan cara mengambil 100 orang secara acak untuk ditanyai pendapatnya. Proporsi pemilih yang menyukai calon tersebut dapat digunakan sebagai dugaan bagi proporsi populasi yang sebenarnya.

Metode Pendugaan Klasik Metode Pendugaan Klasik : Pendugaan dilakukan berdasarkan sepenuhnya pada informasi sampel yang diambil dari populasi. Metode Pendugaan Bayes : Pendugaan dengan menggabungkan informasi yang terkandung dalam sampel dengan informasi lain yang telah tersedia sebelumnya yaitu pengetahuan subyektif mengenai distribusi probabilitas parameter. Metode Pendugaan Parameter Metode Pendugaan Bayes

Pendugaan Proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga/ menaksir hubungan parameter populasi yg tidak diketahui Penduga : suatu statistik yg digunakan untuk menduga suatu parameter Estimasi: Pengukuran terhadap nilai parameternya (populasi) dari data sampel yang diketahui

Ciri-ciri Penduga Yg Baik Tidak Bias (Unbiased) : apabila nilai penduga sama dengan nilai yg diduganya Efisien : apabila penduga memiliki varians yg kecil Konsisten : Jk ukuran sampel semakin bertambah mk penduga akan mendekati parameternya Jk ukuran sampel bertambah tak berhingga mk distribusi sampling penduga akan mengecil mjd tegak lurus di atas parameter yg sebenarnya dgn probabilitas sama dgn satu

Jenis-jenis pendugaan berdasarkan cara penyajiannya 1. Pendugaan tunggal Pendugaan yg hanya mempunyai atau menyebutkan satu nilai. Tidak memberikan selisih atau jarak antara nilai penduga dengan nilai sebenarnya (parameter) Pendugaan interval Pendugaan yg memp dua nilai sbg pembatasan/ daerah pembatasan Digunakan tingkat keyakinan thd daerah yg nilai sebenarnya/ parameternya akan berada. Nilai (1-α) disebut koefisien kepercayaan Selang kepercayaan : (1-α) x 100%

Simbol-simbol yang digunakan dalam pendugaan 𝜇=Nilai rata-rata daripopulasi. Nilaiini merupakannilai yang akandidugadarinilai rata-rata contoh. 𝑥 =Nilai rata-rata contoh 𝜎 =Simpanganbakupopulasi. 𝜎akandiduga berdasarkannilaisimpanganbakucontoh s =Simpanganbakucontoh p =Proporsipopulasi 𝑝 =Proporsicontoh (1-𝛼)100% =Tingkat kepercayaan N = Jumlah data populasi n = jumlah data contoh

Jenis-jenis pendugaan berdasarkan parameternya Pendugaan rata-rata Pendugaan proporsi Pendugaan varians

Pendugaan interval untuk rata-rata Untuk sampel besar (n > 30) a. Utk populasi tdk terbatas/ populasi terbatas yg pengambilan sampelnya dgn pengembalian dan σ diketahui Penaksiran rata-rata sampel adalah menentukan interval nilai rata-rata sampel yang dapat memuat parameter rata-rata populasi, jika dipakai distribusi probabilitas normal, confedence interval untuk rata-rata ditentukan.

Didapat dua batas kepercayaan 𝑃 − 𝑍 𝛼 2 <𝑍< 𝑍 𝛼 2 =1-𝛼 zα/2 -zα/2 α/2 1‒α/2 Luas daerah Z diberikanoleh 𝑃 𝑍< 𝑧 𝛼 2 dan -𝑃 𝑍<− 𝑧 𝛼 2 z

Contoh: Rata-rata IP sampel acak 36 mahasiswa tingkat S-1 adalah 2. 6 Contoh: Rata-rata IP sampel acak 36 mahasiswa tingkat S-1 adalah 2.6. Hitung selang kepercayaan 95% dan 99% untuk rata-rata IP semua mahasiswa S-1! Anggap bahwa standar deviasi populasinya 0.3. Solusi: Diketahui x-bar = 2.6; σ = 0.3; z0.025 = 1.96; z0.005 = 2.575 Selang kepercayaan 95% untuk rata-rata IP semua mahasiswa S-I: Interpretasi: Dapat dipercaya sebesar 95% bahwa rata-rata IP semua mahasiswa S-1 antara 2.50 hingga 2.70

Selang kepercayaan 99% untuk rata-rata IP semua mahasiswa S-I: Interpretasi: Dengan tingkat kesalahan 1%, dapat dinyatakan bahwa rata-rata IP semua mahasiswa S-1 antara 2.47 hingga 2.73.

Selangkepercayaanuntukpendugaan 𝜇 menghasilkan galat (error) e maksimal 𝑍 𝛼 2 𝜎 𝑛 .Artinyakitapercaya (1-𝛼)100%, bahwagalat yang terjaditidaklebihbesardari 𝑍 𝛼 2 𝜎 𝑛 . Untukcontohdiataspadatingkatkepercayaan 95%, besargalatadalah: E=(1,96)(0.3/ 36 )=0,098 Jumlahcontoh yang harusdiambilsupayagalatpercobaantidahmelebihigalat yang sudahditentukan, dapatdihitungdenganmenggunakanrumusberikut: Z= (𝑍𝜎/𝑒) 2 n= ( 𝑍 𝛼 2 𝜎 𝑒 ) 2 Maka n= (1.96)(0.3) 0,098 2 =36

SOAL Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata waktu yang diperlukan oleh sebuah mesin yang digunakan untuk memproduksi satu jenis kain. Diambil secara acak 36 pis kain, waktu rata-rata yang diperlukan untuk memproduksi 1 pis kain adalah 15 menit. Jika diasumsikan standar deviasi populasi 3 menit, tentukan estimasi interval rata-rata dengan tingkat confidence (tingkat kepercayaan) 95% dan 99%?

b. Untuk populasi terbatas, pengambilan sampel tanpa pengembalian dan σ diketahui atau n/N > 5%

2. Untuk sampel kecil (n ≤ 30)

Contoh Buatlah selang kepercayaan 90% untuk isi rata-rata suatu minuman ringan yang dihasilkan dari suatu mesin. Jika ini rata-rata botol contoh adalah 245 ml dengan simpangan baku 0.5 ml. Asumsikan populasi menyebar hampir normal.

𝑥 = 245 ml dengan s = 10,5 ml (1-α)100%=90% makaα=1-0,9=0,1 𝑡 𝛼 2 = 𝑡 𝛼 2 =t0,05denganmenggunakantabelsebaran t pada v=16-1=15, diperoleh t0,05= 1,753 Makaselangkepercayaanuntuk µ adalah: 245-(1,753)(10,5/ 16 )<µ<245+(1,753)(10,5/ 16 ) 240,4<µ<249,6

Soal Lima karyawan PT TELITI dipilih secara acak, kemudian diukur beratnya. Datanya adalah 62, 67, 70, 65 dan 60 kg. Buatlah pendugaan interval rata-ratanya dgn tingkat keyakinan 99%

Pendugaan Interval Untuk Proporsi Untuk sampel besar (n > 30) Untuk populasi tidak terbatas Dimana p=x/n b. sampel dengan jumlah populasi diketahui

Contoh Dari suatu contoh acak 500 orang makan disebuah restaurant selama beberapa jumat, diperoleh informasi x=160 orang yang menyukai makanan laut. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi proporsi sesungguhnya orang yang menyukai makanan laut untuk makan siang pada hari jumat direstauran ini.

Dari soaldapatdihitung 𝑝 𝑝 =x/n=160/500=0,32 (1- 𝑝 )=1-0,32=0,68 𝑍 0,025 =1,96 0,32-1,96 60,32(0,68)/500 <p< 0,32-1,96 60,32(0,68)/500 0,28<p<0,36

Contoh Sebuah peti kemas diperiksa untuk menaksir persentase barang rusak. Untuk keperluan tersebut, diambil 60 buah barang yang ada dalam peti dan diperoleh 9 buah rusak. Dugalah persentase barang yang rusak. Digunakan interval keyakinan 99 persen

Konsep Dasar Estimasi Interval Mean Populasi Distribusi Sampling Pertimbangan Lebar Interval 3. Tingkat Kepercayaan Tingkat Kepercayaan Skor Z Bentuk umum estimate interval 90 % 1,645 95 % 1,960 99 % 2,575 μx: Mean populasi : error standar dari mean Z : nilai skor z yg ditentukan dg probabilitas estimate interval

Perbedaan Standard deviasi dan Standard error Perbedaan “standard error” dan“standard deviation” adalah sebagai berikut: Dalam suatu kelas berisi 40 murid melakukan ujian untuk mata pelajaran A. -. Standard deviation score test adalah variasi nilai antara 40 murid tersebut yang melakukan ujian untuk mata pelajaran A.  -. Standard error score test adalah variasi nilai dari seorang murid bernama Ali yang melakukan ujian mata pelajaran A secara berulang-ulang (murid Ali melakukan ujian lebih dari satu kali).  Perhitungan standard error berbeda-beda tergantung pada penduganya, misal untuk mean menggunakan standard error mean (SE(mean)).  Rumus SE(mean) adalah SE(mean) = Standar deviation/√(sample size), Atau ini menunjukkan bahwa nilai SE(mean) bergantung pada standard deviation dan ukuran sample. Dari rumus tersebut dapat diketahui pula bahwa nilai standard error akan turun apabila ukuran sample diperbanyak dan variance atau standard deviation sample dikurangi. Oleh karena itu, standard error dapat digunakan untuk menentukan dan mengontrol ukuran sample, hal ini berbeda dengan standard deviation yang nilainya tidak dipengaruhi ukuran sample.

2. Untuk sampel kecil (n ≤ 30) Sebuah Sampel sebanyak 25 buah apel, 8 diantaranya apel kualitas rusak. Dengan interval keyakinan 95%, tentukan proporsi apel yang rusak ?

Contoh kasus Dari sampel random 400 orang yg makan siang di restoran NIKMAT selama beberapa hari Sabtu, diperoleh data 125 org yg menyukai makanan tradisional. Tentukan pendugaan interval bagi proporsi sebenarnya, orang yg menyukai makanan tradisional utk makan siangnya pd hari Sabtu di restoran tersebut dgn menggunakan interval keyakinan 98%

2. Dari sampel random 400 orang yg makan siang di restoran NIKMAT selama beberapa hari Sabtu, diperoleh data 125 org yg menyukai makanan tradisional. Tentukan pendugaan interval bagi proporsi sebenarnya, orang yg menyukai makanan tradisional utk makan siangnya pd hari Sabtu di restoran tersebut dgn menggunakan interval keyakinan 98%

Pendugaan interval beda dua rata-rata Bila ada 2 populasi masing-masing dengan rata-rata μ1 dan μ2, varians σ12 dan σ22, maka estimasi dari selisih μ1 dan μ2 adalah Sehingga,

Pendugaan interval beda dua rata-rata Utk sampel besar dan σ1 dan σ2 diketahui

Contoh Soal Diketahui nilai ujian kimia yang diberikan pada 50 siswa putri dan 75 siswa putra mempunyai rata-rata secara berurutan adalah 76 dan 86. Cari selang kepercayaan 96% untuk selisih μ1-μ2. ! Anggap standar deviasi populasi untuk masing-masing putra dan putri adalah 8 dan 6.

Misal: x-bar1 = 86 adl rata-rata nilai siswa putra, n1 = 75 dan σ1 = 8. x-bar2 = 76 adl rata-rata nilai siswa putri, n2 = 50 dan σ2 = 6. α = 0.04 → z0.02 = 2.05 Selang kepercayaan 96% bagi selisih rata-rata nilai siswa putra dengan siswa putri adalah

Interpretasi: Dapat dipercaya 96% bahwa selisih rata-rata nilai ujian kimia semua siswa putra dengan siswa putri berkisar antara 3.43 hingga 8.57. Dengan tingkat signifikansi 4%, rata-rata nilai ujian kimia semua siswa putra lebih tinggi antara 3.43 hingga 8.57 dari nilai ujian kimia semua siswa putri. Dll.

2. Utk sampel kecil dan tidak diketahui; Selang kepercayaan (1-α)100% untuk μ1-μ2 ; dimana σ12 = σ22 , σ12 dan σ22 tidak diketahui:

Contoh Suatu sampel random sebanyak 12 buah, dari jenis produk yang dihasilkan oleh suatu perusahaan mempunyai berat rata-rata 3.11 gr dengan standar deviasi 0.771 gr. Sedangkan sampel yang lain dari jenis produk yang dihasilkan perusahaan lainnya berjumlah 10 buah dengan berat rata-rata 2.04 grdan standar deviasi 0.448. Distribusi berat produk diasumsikan berdistribusi normal, estimasilah perbedaan rata-rata tersebut dengan tingkat kepercayaan 90 persen.

Misal: x-bar1 = 3.11 adl rata-rata 1, n1 = 12, S1 = 0.771. Diasumsikan varians sama, maka α = 0.1 → t0.05db=12+10-2 = t0.05db=20 = 1.725 Jadi, selang kepercayaan 90% untuk selisih rata-rata antara dua produk adalah

Selang kepercayaan (1-α)100% untuk μ1-μ2 ; dimana σ12 ≠ σ22 , σ12 dan σ22 tidak diketahui: dengan,

SOAL Dalam sebuah penelitian kadar kimia-Ortofosfor, 15 sampel dikumpulkan dari stasion 1 dan 12 sampel diukur dari stasion 2. ke 15 sampel dari stasion 1 mempunyai rata-rata kadar ortofosfor 3.84 mg/l dan standar deviasi 3.07 mg/l, sedangkan 12 sampel dari stasion 2 mempunyai rata-rata kadar 1.49 mg/l dengan standar deviasi 0.80 mg/l. Cari selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata kadar ortofosfor sesungguhnya pada kedua stasion tersebut, anggap bahwa pengamatan berasal dari populasi normal dengan varians yang berbeda!

Misal: x-bar1 = 3.84 adl rata-rata kadar ortofosfor stasion 1, n1 = 15, S1 = 3.07. x-bar2 = 1.49 adl rata-rata kadar ortofosfor stasion 2, n2 = 12, S2 = 0.80. Diasumsikan varians berbeda, maka α = 0.05 → t0.025db= v = t0.025db=16 = 2.120 Jadi, selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata kadar ortofosfor di stasion1 dengan stasion2 adalah

Pendugaan interval beda dua proporsi

Contoh: Suatu perubahan dalam cara pembuatan suku cadang sedang direncanakan. Sampel diambil dari cara lama maupun yang baru untuk melihat apakah cara baru tersebut memberikan perbaiikan. Bila 75 dari 1500 suku cadang yang berasal dari cara lama ternyata cacat. Dan 80 dari 2000 yang berasal dari cara baru ternyata cacat. Carilah selang kepercayaan 90% untuk selisih sesungguhnya proporsi yang baik dalam kedua cara tersebut!

Estimasi Varians Populasi Sangat diperlukan untuk mengetahui sejauh mana sebaran nilai parameter sehingga dapat dijadikan untuk mengambil langkah-langkah dalam mengendalikannya. Misalnya: yang berkaitan dg suatu tingkat kualitas produk, diinginkan agar bukan hanya rata-rata nilai parameternya yg memenuhi suatu persyaratan tetapi juga konsistensi dari nilai tersebut harus bisa terjamin.

Estimasi Varians Populasi interval varians populasi berbentuk: Dimana: = nilai kritis yg tergantung tingkat kepercayaan dan derajat kebebasan α = 1 – tingkat kepercayaan (sering disebut chance of error) v = derajat kebebasan (df) = n – 1 NB : untuk menghitung diperlukan tabel distribusi

contoh Suatu mesin pengisi gandum ke dalam kemasan dirancang untuk bekerja mengisi gandum ke dalam kotak rata-rata sebanyak 25 kg. Suatu pemeriksaan terhadap 15 kotak menunjukkan bahwa deviasi standard pengisian gandum itu adalah 0,0894 kg. Estimasikan deviasi standard populasi dg tingkat kepercayaan 95% !

jawab  

Contoh kasus 1. Dua jenis tambang ingin dibandingkan kekuatannya. Untuk itu, 50 potong tambang dr setiap jenis diuji dlm kondisi yg sama. Jenis A memiliki kekuatan rata-rata 87,2 kg dgn simpangan baku 6,3 kg, sedangkan jenis B memiliki kekuatan rata-rata 78,3 kg dgn simpangan baku 5,6 kg. Buatlah pendugaan interval beda dua rata-rata dgn interval keyakinan 94%

2. Suatu sampel random sebanyak 300 org dewasa dan 400 remaja yg pernah menyaksikan sebuah acara di RCTI diketahui bahwa 125 org dewasa dan 250 remaja menyatakan suka pd acara tsb. Berapa beda proporsi dr seluruh org dewasa dan remaja yg menyukai acara tsb bl digunakan tingkat keyakinan 90%

3. Data berikut berupa masa putar film yg diproduksi dua perusahaan film Masa Putar (menit) Perusahaan I 103 94 110 87 98 Perusahaan II 97 82 123 92 175 88 118 Buatlah pendugaan interval bagi beda dua rata-rata masa putar film-film yg diproduksi oleh dua perusahaan tsb dgn menggunakan interval keyakinan 98%