FUNGSI & GRAFIKNYA 2.1 Fungsi Secara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat aturan dimana nilai y (tunggal) mengkait nilai x. Contoh: 1. a. b. Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimana himpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain ) dan himpunan semua nilai y = f(x) disebut daerah hasil (ko-domain) dari fungsi A B f Notasi: f : A →B x y = f(x) Daerah asal Daerah hasil Untuk contoh 1.a. mendefinisikan suatu fungsi. Namakan fungsi itu f. Fungsi f adalah himpunan pasangan terurut (x,y) sehingga x dan y memenuhi: Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5);(1,7);(-1,7); (2,13);(-2,13);(10,205) Dan f memuat tak berhingga banyak pasangan terurut. x 1 -1 2 -2 … 10 y 5 7 13 205

Ada beberapa penyajian fungsi yaitu Catatan: 1. Himpunan A, B є  2. Fungsi: y = f(x) , x peubah bebas y peubah tak bebas, bergantung pada x 3. Daerah asal fungsi: Df = A = {x | fungsi f terdefinisi} 4. Daerah hasil fungsi: Wf = {y є B | y = f(x), x є Df } 5. Grafik fungsi: {(x,y) | x є Df , y = f(x)) } y y = f(x) y Wf x x Df Soal: Buatlah sketsa grafik fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asal dan dan daerah hasilnya. a. y = 2x + 1 b. y = x2 - 1 Ada beberapa penyajian fungsi yaitu a. Secara verbal : dengan uraian kata-kata. b. Secara numerik : dengan tabel c. Secara visual : dengan grafik d. Secara aljabar : dengan aturan/rumusan eksplisit

Contoh: 1. Secara verbal Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w). Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut. Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan sampai 5 ons. 2. Secara numerik Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut. Berat w (ons) Biaya B(w) (rupiah) 0 < w ≤ 1 1.000 1< w ≤ 2 1.250 2 < w ≤ 3 1.500 3 < w ≤ 4 1.750 4 < w ≤ 5 2.000 3. Secara visual Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut. B Rupiah 2.000 1.500 1.000 w 1 2 3 4 5 Ons

Bentuk umum: y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta 4. Secara aljabar Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut. 2.2 Jenis-jenis Fungsi 1. Fungsi linear Bentuk umum: y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta a = kemiringan garis b = perpotongan garis dengan sumbu-y Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf =  Grafik: y y = ax + b b x 2. Polinomial Bentuk umum: y = P(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a2 x2 + a1 x + a0 dimana: an, an-1, …, a1, a0 = konstanta, n = derajat polinom ( an 0) Daerah asal: Df = 

Bentuk umum: y = f(x) = xn , n є  Grafik: Polinom derajat 2: y = P(x) = ax2 + bx + c, D = b2 - 4ac y y = P(x) y y x x c x a < 0, D > 0 c y = P(x) c y = P(x) a < 0, D = 0 a < 0, D < 0 y y y y = P(x) y = P(x) y = P(x) c c c x x x a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a > 0, D < 0 Soal : Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut. a. y = x2 + 2x - 1 b. y = -2x2 + 2x - 4 3. Fungsi pangkat Bentuk umum: y = f(x) = xn , n є  Daerah asal: Df =  Grafik: y y y y = x y = x2 y = x3 x x x

4. Fungsi akar Bentuk Umum: Soal : 5. Fungsi kebalikan Bentuk umum: Daerah asal dan daerah hasil: Df = [0,∞), Wf = [0, ∞), jika n genap Df = , Wf = , jika n ganjil Grafik: y y x x Soal : Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut a. b. 5. Fungsi kebalikan Bentuk umum: Daerah asal dan daerah hasil: Df =  - {0}, Wf =  - {0} Grafik: y x

Bentuk umum: dimana: P, Q adalah polinom 6. Fungsi rasional Bentuk umum: dimana: P, Q adalah polinom Daerah asal: Df =  - { x | Q(x) = 0} Contoh: Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut a. b. 7. Fungsi aljabar Definisi: Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar, yang dimulai dengan polinom. Contoh: a. b. Catatan: Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar.

Bentuk umum: y = f(x) = sin x, x dalam radian 8. Fungsi trigonometri 8.1 Fungsi sinus Bentuk umum: y = f(x) = sin x, x dalam radian Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1] Grafik: y y = sin x 1 x -2π -π π 2π -1 8.2 Fungsi cosinus Bentuk umum: y = f(x) = cos x, x dalam radian Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1] Grafik: y y = cos x 1 π -π x -2π 2π -1 8.3 Fungsi tangen Bentuk umum: Daerah asal : Df =  - {π/2 + nπ | n є } Daerah hasil: Wf = 

8.4 Fungsi trigonometri lainnya Bentuk umum: Grafik: y = tan x 1 x -2π - -π π 2π -1 8.4 Fungsi trigonometri lainnya Bentuk umum: 8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri a. -1≤ sin x ≤ 1 b. -1 ≤ cos x ≤ 1 c. sin x = sin (x + 2π) d. cos x = cos (x + 2 π) e. tan x = tan (x + π)

Bentuk umum: y = f(x) = ax, a > 0 9. Fungsi eksponensial Bentuk umum: y = f(x) = ax, a > 0 Daerah asal dan daerah hasil: Df =  , Wf = (0, ) Grafik: y y y = ax , a > 1 y = ax , 0 < a < 1 1 1 x x 1 1 10. Fungsi logaritma Bentuk umum : y = f(x) = loga x, a > 0 Daerah asal dan daerah hasil: Df = (0, ) , Wf =  Grafik: y y = loga x 1 x 1

12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong 11. Fungsi transenden Definisi: Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar. Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri invers trigonometri, eksponensial dan logaritma. Contoh: Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya. 12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong (piecewise function) Definisi: Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal. Contoh: y y = |x| 1 x -1 1

3. Definisikan x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil y = f(x) x 1 2 3. Definisikan x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. y y = f(x) 3 f(x) = x = 2 1 x 1 2 3 4 Catatan: 1. f(x) = |x| , f disebut fungsi nilai mutlak 2. f(x) = x , f disebut fungsi bilangan bulat terbesar 13. Fungsi genap dan fungsi ganjil Definisi: [Fungsi genap] Jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap. y f(x) y = f(x) x -x x Catatan: Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.

Definisi: [Fungsi ganjil] Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil. y y = f(x) f(x) -x x x -f(x) Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal. Soal: Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi ganjil atau bukan kedua-duanya. a. f(x) = 1 - x4 b. f(x) = x + sin x c. f(x) = x2 + cos x d. f(x) = 2x - x2 14. Fungsi naik dan fungsi turun Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika f(x1) < f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I. 2. Fungsi f disebut turun pada selang I jika f(x1) > f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I. y y y = f(x) f(x2) f(x1) y = f(x) f(x1) f(x2) x x1 x2 x1 x2 x Fungsi f naik Fungsi f turun

15. Fungsi Baru dari Fungsi Lama Soal: Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi turun pada selang I. a. f(x) = x2 I = [0, ) b. f(x) = sin x I = [ , 2] 15. Fungsi Baru dari Fungsi Lama Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara: 1. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan pencerminan 2. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian 3. Komposisi fungsi Transformasi fungsi a. Pergeseran (translasi) Misalkan c > 0, diperoleh 4 macam grafik: 1. y = f(x) + c, geser y = f(x) sejauh c satuan ke atas y y = f(x) + c y = f(x+c) y = f(x) y = f(x-c) c c c y = f(x) - c c x

2. y = f(x) - c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah 3. y = f(x - c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kanan 4. y = f(x + c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kiri b. Peregangan (dilatasi) Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik: 1. y = cf(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c. 2. y = (1/c)f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c. 3. y = f(cx), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar 4. y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara medatar y y y = 2 cos x 2 2 y = cos x y = cos x 1 1 y = ½ cos x y = cos 2x x x π 2π π 2π -1 -1 y = cos ½ x -2 -2

Untuk memperoleh grafik: c. Pencerminan Untuk memperoleh grafik: 1. y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-x 2. y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-y y y y = f(x) y = f(-x) y = f(x) f(x) f(x) x x x -x x y = -f(x) -f(x) Contoh: Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan sifat transformasi fungsi. 1. f(x)= |x-1| 2. f(x) = x2+2x+1 3. f(x)= sin 2x 4. f(x) = 1 - cos x

OPERASI FUNGSI ALJABAR Definisi: [Aljabar fungsi] Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan Dg. Fungsi f+g, f-g, fg dan f/g didefinisikan sebagai berikut 1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) Df+g = Df  Dg. 2. (f - g)(x) = f(x) - g(x) Df-g = Df  Dg. 3. (fg)(x) = f(x) g(x) Dfg = Df  Dg. 4. (f/g)(x) = f(x)/g(x) Df/g = {Df  Dg.} – {x | g(x)= 0} Contoh: Tentukan f+g, f-g, fg dan f/g beserta daerah asalnya, jika Komposisi fungsi Definisi: [Komposisi fungsi] Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan Dg. Fungsi komposisi f o g didefinisikan sebagai berikut: (f o g)(x) = f(g(x)) di mana Df o g = {x є Dg | g(x) є Df }

Soal : Tentukan f o g, g o f dan f o f beserta daerah asalnya, jika Dg Wg Df f Wf a g(a) x g(x) f(g(x)) f ° g Soal : Tentukan f o g, g o f dan f o f beserta daerah asalnya, jika

Polinomial (Suku Banyak)  

Dengan syarat : n ∈ bilangan cacah dan 𝑎 𝑛 , 𝑎 𝑛−1 , ..., 𝑎 0 disebut koefisien-koefisien suku banyak, 𝑎 0 disebut suku tetap dan 𝑎 𝑛 ≠0. NILAI SUKU BANYAK Menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dua cara, yaitu: Cara Substitusi Cara Horner

Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk Linear TEOREMA SISA dan TEOREMA FAKTOR 1.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh pembagi linear berbentuk (x – k), maka sisanya adalah s = f(k). 2.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh pembagi linear berbentuk (ax + b), maka sisanya adalah s = Bukti : f(x) = (x – k).H(x) + s Jika x = k, maka f(k) = (k – k).H(k) + s f(k) = 0.H(k) + s f(k) = 0 + s  Sisa s = f(k) (terbukti)

Jadi sisa suku banyak di atas adalah 79 Contoh soal : CARA SUBSTITUSI 1. Tentukan sisa pembagian suku banyak (3x4+4x3–x2+5x– 7) oleh (x – 2) Jawab : S = f(2) = 3.24 + 4.23 – 22 + 5.2 – 7 = 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7 = 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7 = 48 + 32 – 1 = 79 Jadi sisa suku banyak di atas adalah 79

Teorema Faktor 1.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki faktor (x – k) jika dan hanya jika f(k) = 0. 2.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki faktor (ax + b) jika dan hanya jika = 0 Contoh Buktikan bahwa (x – 2) dan (x + 3) adalah faktor-faktor dari suku banyak (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) ! Bukti : f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18)

Karena f(-3) = 0, maka (x + 3) adalah faktor dari f(x) Bukti : f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18) = (32 + 56 – 16 – 54 – 18) = 0 Karena f(2) = 0, maka (x – 2) adalah faktor dari f(x) (x + 3) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) maka f(-3) = (2.(-3)4 + 7.(-3)3 – 4.(-3)2 – 27.(-3) – 18) = (162 – 189 – 36 + 81 – 18) = 0 Karena f(-3) = 0, maka (x + 3) adalah faktor dari f(x)

Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak Menentukan Faktor Linear dari Suku Banyak Jika f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an dan (x – a) merupakan faktor dari f(x), maka nilai a yang mungkin adalah faktor-faktor bulat dari an Contoh soal : Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2x3 – 5x2 – 14x + 8) Jawab : f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8 Nilai a yang mungkin adalah ±8, ±4, ±2, ±1 Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0

Untuk a = -2  f(- 2) = 0, sehingga (x + 2) merupakan faktor dari f(x) Untuk menentukan faktor-faktor yang lain dapat dilakukan dengan cara HORNER sebagai berikut : 2 – 14 – 5 8 x = – 2 – 4 + – 9 18 4 – 8  f(-2) Sehingga : f(x) = (x – k).H(x) + s 2x3 – 5x2 – 14x + 8 = Jadi faktor dari 2x3 – 5x2 – 14x + 8 adalah (x + 2), (2x – 1) dan (x – 4) (x + 2).(2x2 – 9x + 4) + 0 (x + 2).(2x – 1)(x – 4)

Pembagian Suku Banyak Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x – k) 1. Cara bersusun Contoh soal : Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7 dibagi (x – 2) ! Jawab : 19x2 – 38x -

Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43 dan sisanya adalah 79 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7 (x – 2) 3x4 – 6x3 - pembagi 10x3 – x2 + 5x – 7 10x3 – 20x2 - 19x2 + 5x – 7 19x2 – 38x - 43x – 7 43x – 86 - 79  sisa Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43 dan sisanya adalah 79

2. Cara Bagan/Horner/Sintetis : + 2. Cara Bagan/Horner/Sintetis : Contoh soal : Jawab : 3 - 1 4 - 7 5 x = 2 6 10 20 19 38 43 79 86  Sisa Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7 dibagi (x – 2) ! Koefisien Hasil Bagi Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43 dan sisanya adalah 79

SOAL-SOAL LATIHAN Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 4x4 – 5x2 + 3x – 1 dibagi (2x2 + x – 1) !

SOAL-SOAL LATIHAN

SOAL-SOAL LATIHAN

SOAL-SOAL LATIHAN

SOAL-SOAL LATIHAN