Pengertian Teori Antrian ”Teori Antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrian – antrian atau baris – baris penunggu” ” Queuing theory , which is a mathematical approach to the analysis of waiting lines”. “Queuing theory studies queuing system by formulating mathematical models of their operation and then using these models to derive measures of performance”. (Hillier & Liberman) Berdasarkan definisi para ahli tersebut, maka dapat diambil kesimpulan bahwa Teori antrian merupakan suatu studi/ilmu pendekatan matematika yang mempelajari system dan perilaku antrian dalam suatu kegiatan operasi.

Tujuan Teori Antrian

Pengertian Antrian ”Antrian adalah deretan orang , barang olahan, atau unit apa saja yang sedang menunggu giliran untuk dilayani diolah dan sebagainya(Daryanto) ”Queue is characterized By the maximum permissible number of customer that it can contain”(Mc.Clain, Thomas, Mazolla) ”Queue is single waiting line that forms prior to a service facility”. ( Render & Stair Jr) Dengan gambaran mengenai pengertian tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa antrian merupakan suatu keadaan dimana seseorang, suatu unit atau apa saja yang membentuk deretan menunggu untuk memperoleh pelayanan.

Ciri- Ciri Antrian Pemberi pelayanan Rata- rata kedatangan Rata- rata pelayanan Satuan penerima pelayanan

Disiplin Antrian First Come First Served (FCFS) atau First In First Out (FIFO). 2. Last Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO). 3. Service in Random Order (SIRO) 4. Priority Service (PS)

Klasifikasi menurut Hiller dan Lieberman adalah sebagai berikut : Sistem pelayanan komersial Sistem pelayanan transportasi Sistem pelayanan Industri bisnis Sistem pelayanan sosial

Single Channel – Single Phase (Model 1 : M/M/I/I/I) Single Channel – Multi Phase (Model 2 : M/M/S/I/I) Struktur Antrian Multi Channel – Single Phase &model antrian (Model 3 : M/M/I/I/F) Multi Channel – Multi Phase (Model 4 : M/M/S/I/F)

Model 1 : M/M/I/I/I = LQ = µ(µ - λ) _ λ _ = LS = µ - λ _ λ _ _ λ2 _ = LQ = µ(µ - λ) _ λ _ = LS = µ - λ _ λ _ = WQ = µ (µ - λ) 1 _ = WS = µ - λ _λ_ = P = µ

λ = jumlah kedatangan Rata-rata per satuan waktu(unit/waktu) µ = jumlah orang yang dilayani persatuan waktu(unit /waktu) Ls = Jumlah pelanggan rata- rata dalam sistem(yang sedang menunggu untuk dilayani dan yang sedang sedang dilayani) Lq = Jumlah unit rata- rata yang menunggu dalam antrian Ws = Jumlah waktu rata- rata yang dihabiskan dalam sistem(waktu tunggu +waktu pelayanan) Wq = Waktu rata- rata yang duhabiskan untuk menunggu dalam antrian. Ρ = faktor utilisasi sistem Po = probabilitas terdapat 0 unit dalam sistem(yaitu unit pelayanan kosong)

Model 2 : M/M/S/I/I Lq = λ .µ ( λ / µ µ2 ) . Po (S – 1 ) ! ( Sµ - λ ) _ LS = λ / µ + nq Wq = Po . [ λ / µ ]s µS ( S !) [ 1 - (λ / Sµ2) ] P = λ / Sµ PO = _ 1 _ S-1 Σ(λ / µ) n + (λ / µ )s N=0 n! S! ( 1- λ / Sµ) PW = (λ / µ )s _ Po _ S ! [ 1 - (λ / Sµ) ]

Model 3 : M/M/M/I/I/I Lq = [ λ / µ]2 1 – Q ( λ / µ )Q-1 + (Q-1)( λ / µ ) Q (λ / µ ) - (λ / µ µQ ) LS = [ λ / µ]2 ( Q + 1 ) ( λ / µ ) Q + Q ( λ / µ ) Q+ 1 ( λ / µ ) - (λ / µ µQ- 1 ) Pn = [ λ / µ] 1 - ( λ / µ ) 1 - ( λ / µ ) Q+ 1

Model 4 : M/M/S/I/F X = _ T _ T + U _ _ nq ( T + U) _ Kq = N - nq + T Pn = N - nq _ _ nq = N - J = nq + H H = F N X J = NF (1 – X)

Gambar 9.2. Gambar 9.3. Single Channel – Single Phase *** Antrian Mekanisme pelayanan Sumber input Unit- unit yang dilayani Langganan / Sistem Antrian Gambar 9.3. Single Channel – Single Phase Fasilitas * Pelayanan *** Pelayanan selesai Kedatangan

Gambar 9.4. Single Channel – Multi Phase Fasilitas * Pelayanan *** Pelayanan selesai Kedatangan Gambar 9.5. Multi Channel – Single Phase Fasilitas * Pelayanan Antrian *** Pelayanan selesai

Gambar 9.6. Multi Channel – Multi Phase Fasilitas * Pelayanan Antrian ***

Gambar 9.7. Model Tingkat Kedatangan Poisson Pelayanan Poisson Sumber tak terbatas Tingkat Kedatangan Poisson FCF Pelayanan Poisson Keluar Kepanjangan antrian tak terbatas (1)

Gambar 9.8. FCF Sumber tak terbatas Tingkat Pelayanan Poisson Keluar Kepanjangan antrian tak terbatas (1) Populasi (1) Antrian (M)

Gambar 9.9. Model M/M/I/I/I Tingkat Pelayanan Poisson FCFS Kepanjangan antrian terbatas (F) Sumber tak terbatas Populasi (1) Antrian (M) Keluar Fasilitas pelayanan (M/I)

Gambar 9.10. FCF Sumber tak terbatas Tingkat Pelayanan Poisson Keluar Kepanjangan antrian tak terbatas (1) Populasi (1) Antrian (M)

Seorang montir dapat memasang sebuah knalpot baru rata- rata 3 buah per jam (1 knalpot per 20 menit).Pelanggan yang datang rata – rata 2 orang per jam.Hitunglah; Hitunglah jumlah pelanggan dalam sistem Hitunglah waktu rata- rata dalam sistem Hitunglah jumlah pelanggan dalam antrian Hitunglah waktu pelanggan dalam antrian Hitunglah waktu sibuk Hitunglah waktu nganggur

Latihan soal Data sebuah restoran sebagai berikut: Tingkat kedatangan rata- rata langganan 50 mobil per jam(berdistribusi poison).Waktu pelayanan rata- rata 1 menit( mengikuti distribusi eksponensial). Pertanyaan: Tentukan tingkat kegunaan/waktu sibuk bagi pelayan restoran dan waktu nganggur Jumlah pelanggan dalam antrian Jumlah pelanggan dalam sistem Waktu tunggu dalam antrian Waktu tunggu dalam sistem