RUANG VEKTOR bagian pertama

Ruang Vektor Definisi: Misalkan V sembarang himpunan benda yang dua operasinya didefinisikan, yakni penambahan dan perkalian dalam skalar (bilangan riil). Penambahan tersebut dipahami untuk mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda u dan v dalam V, yang mengandung elemen u + v , yang dinamakan jumlah u dan v; dengan perkalian skalar diartikan aturan untuk mengasosiasikannya baik untuk setiap skalar maupun untuk setiap benda u pada V yang mengandung elemen ku, yang dinamakan perkalian skalar (scalar multiple) u oleh k.

Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w pada V dan oleh semua skalar k dan l, maka kita namakan V sebuah ruang vektor (vector space) dan benda-benda pada V kita namakan vektor: Jika u dan v adalah benda-benda pada V, maka u + v berada di V. u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w Ada sebuah benda 0 di V sehingga 0 + u = u + 0

Untuk setiap u di V, ada sebuah benda – u di V yang kita namakan negatif u sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah sembarang benda di V, maka ku berada di V. k(u + v) = ku + kv (k +l)u = ku +lu k(lu) = (kl)u 1u = u

Sifat-sifat vektor Teorema Misalkan V adalah ruang vektor, u sebuah vektor pada V, dan k sebuah skalar maka: 0u = 0 K0 = 0 (-1)u = -u Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0

Sub ruang Definisi: Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan subruang (subspace) V jika W itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V.

KOMBINASI LINIER VEKTOR-VEKTOR DEFINISI Suatu vektor w disebut suatu kombinasi linier dari vektor–vektor v1, v2,…,vr jika bisa dinyatakan dalam bentuk: w = k1 v1 + k2 v2 + ... + kr vr dengan k1, k2, …, kr adalah skalar, disebut sebagai koefisien dari kombinasi linier.

contoh Setiap vektor v=(a,b,c) dalam R3 bisa dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor basis standar i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) karena v(a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1) =ai+bj+ck

contoh Tinjau vektor u=(1,2,-1) dan v=(6,4,2) dalam R3. Tunjukkan bahwa w =(9,2,7) adalah kombinasi linier dari u dan v dan bahwa w’ =(4,-1,8) bukanlah kombinasi linier dari u dan v

RENTANG TEOREMA: Jika v1, v2,…,vr adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor V, maka: a. Himpunan W semua kombinasi linier dari v1, v2,…,vr merupakan suatu sub-ruang dari V b. W adalah sub-ruang terkecil dari V yang berisi v1, v2,…,vr dalam pengertian bahwa setiap sub- ruang lain dari V yang berisi v1, v2,…,vr pasti mengandung W.

RENTANG DEFINISI: Jika S = {v1, v2,…,vr} adalah suatu himpunan vektor dalam suatu ruang vektor V, maka sub-ruang W dari V yang mengandung semua kombinasi linier dari vektor-vektor dalam S disebut ruang terentang oleh v1, v2,…,vr dan kita katakan bahwa vektor-vektor v1, v2,…,vr adalah rentang W. Untuk menunjukkan bahwa W adalah ruang terentang oleh vektor-vektor dalam himpunan S = {v1, v2,…,vr} kita tuliskan W=rent(S) atau W=rent {v1, v2,…,vr}

RENTANG TEOREMA: Jika S= {v1, v2,…,vr} dan S’= {w1, w2,…,wr} adalah dua himpunan vektor dalam suatu ruang vektor V, maka rent {v1, v2,…,vr}=rent {w1, w2,…,wr} jika dan hanya jika setiap vektor dalam S adalah himpunan suatu kombinasi linier dari vektor-vektor dalam S’, dan sebaliknya setiap vektor dalam S’ adalah suatu kombinasi linier dari vektor-vektor dalam S.

contoh Tentukan apakah v = (1,1,2), v = (1,0,1), dan v = (2,1,3) merentangkan ruang vektor R3

KEBEBASAN LINEAR DEFINISI: Jika S={v1,v2, … , vr} adalah suatu himpunan vektor-vektor tak kosong, maka persamaan vektor: k1v1+k2v2+…+krvr = 0 mempunyai paling tidak satu penyelesaian yaitu: k1=0, k2=0, …,kr=0 Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian, maka S disebut suatu himpunan yang bebas secara linear. Jika ada penyelesaian lain, maka S disebut himpunan yang tak bebas secara linear

KEBEBASAN LINEAR TEOREMA: Suatu himpunan S dengan dua2 atau lebih vektor disebut: Tak bebas secara linear jika dan hanya jika paling tidak salah satu vektor dalam S dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya dalam S Bebas secara linear jika dan hanya jika tidak ada vektor dalam S yang dapat dinyatakan sabagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor yang lain dalam S

KEBEBASAN LINEAR TEOREMA: Suatu himpunan vektor terhingga yang berisi vektor nol tak bebas secara linear Suatu himpunan dengan tepat dua vektor bebas secara linier jika dan hanya jika vektor yang satu bukan merupakan penggandaan skalar dari vektor lainnya Anggap S = {v1,v2,…vr} adalah suatu himpunan vektor-vektor dalam Rn. Jika r>n maka S tak bebas secara linier

BASIS UNTUK SEBUAH RUANG VEKTOR DEFINISI: Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S= {v1, v2,…,vr} adalah suatu himpunan vektor-vektor dalam V, maka S disebut suatu basis untuk V jika dua syarat berikut ini terpenuhi: S bebas secara linier S merentangkan V

BASIS UNTUK SEBUAH RUANG VEKTOR TEOREMA: Jika S= {v1, v2,…,vr} adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor V, maka setiap vektor v dalam V bisa dinyatakan dalam bentuk v = c1 v1 + c2 v2 + ... + cn vn dalam tepat satu cara.

BASIS UNTUK SEBUAH RUANG VEKTOR Vektor v bisa dinyatakan dalam bentuk v = c1 v1 + c2 v2 + ... + cn vn juga sebagai v = k1 v1 + k2 v2 + ... + kn vn Dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama akan didapatkan 0 = (c1-k1)v1 + (c2-k2)v2 + ... + (cn-kn)vn

BASIS UNTUK SEBUAH RUANG VEKTOR Karena ruas kanan dari persamaan ini adalah suatu kombinasi linier dari vektor-vektor dalam S, maka kebebasan linier dari S mengimplikasikan bahwa c1-k1=0, c2-k2=0, ..., cn-kn=0 yaitu: c1=k1, c2=k2, ..., cn=kn Jadi, kedua ekspresi untuk v adalah sama.

contoh Anggap v1=(1,2,1), v2=(2,9,0) dan v3=(3,3,4). Tunjukkan bahwa himpunan S={v1,v2,v3} adalah suatu basis untuk R3

DIMENSI DEFINISI: Suatu ruang vektor tak nol V disebut berdimensi terhingga jika V berisi suatu himpunan vektor terhingga {v1,v2,…vn} yang membentuk suatu basis. Jika tak ada himpunan yang seperti itu, maka V disebut berdimensi tak hingga. Ruang vektor nol berdimensi terhingga

DIMENSI TEOREMA: jika V adalah adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan {v1,v2,…vn} adalah sembarang basis, maka: Setiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas secara linear Tidak ada himpunan dengan vektor yang kurang dari n yang merentang V.

DIMENSI TEOREMA: Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama DEFINISI: DIMENSI Suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, yang dinyatakan dengan dim(V), didefinisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis untuk V. Ruang vektor nol mempunyai dimensi nol.

DIMENSI Contoh: Tentukan suatu basis dan dimensi dari ruang penyelesaian sistem homogen berikut: 2x1 + 2x2 - x3 + x5 = 0 -x1 - x2 + 2x3 - 3x4 + x5 = 0 x1 + x2 - 2x3 - x5 = 0 x3 + x4 + x5 = 0 Penyelesaian umum: x1 = -s-t, x2 = s, x3 = -t x4 = 0, x5 = t

DIMENSI Oleh karena itu penyelesaiannya bisa ditulis sbb.:

DIMENSI Yang menunjukkan bahwa: Merentangkan ruang penyelesaian. Karena vektor-vektor ini juga bebas secara linear (tunjukkan), maka {v1, v2} adalah suatu basis, dan ruang penyelesaiannya berdimensi dua

DIMENSI Rent(S) = rent(S – {v}) TEOREMA: (Teorema Plus/Minus) Anggap S adalah himpunan vektor tak kosong dlm suatu ruang vektor V. Jika S adalah himpunan yang bebas secara linear, dan jika v adalah suatu vektor dalam V yang berada di luar rentang (S), maka himpunan S  {v} yang dihasilkan dengan menyelipkan v ke S tetap bebas linear Jika v adalah suatu vektor dalam S yg dapat dinyatakan sbg kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam S, dan jika S – {v} menyatakan himpunan yg diperoleh dengan memindahkan v dari S, maka S dan S – {v} merentangkan ruang yg sama: Rent(S) = rent(S – {v})

DIMENSI TEOREMA: Jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi n, dan jika S adalah suatu himpunan dalam V dengan tepat n vektor, maka S adalah suatu basis untuk V jika S merentang V atau S bebas secara linear

DIMENSI TEOREMA: Anggap S adalah suatu himpunan terhingga vektor-vektor dalam suatu ruang vektor berdimensi terhingga V. Jika S merentang V tetapi bukan merupakan basis untuk V, maka S bisa direduksi menjadi suatu basis untuk V dengan menghilangkan vektor yg tepat dari S Jika S adalah suatu himpunan yang bebas secara linear yang belum menjadi suatu basis untuk V, maka S bisa diperbesar menjadi basis untuk V dengan menyelipkan vektor-vektor yang tepat ke dalam S

DIMENSI TEOREMA: Jika W adalah suatu sub-ruang vektor berdimensi terhingga V, maka dim(W) ≤ dim(V): Jika dim(W) = dim(V), maka W = V.