BAB. 12 (Medan Gravitasi) 9/16/2018

Para ahli astonomi jaman dahulu (kuno) berpen-dapat jika benda-benda langit beredar mengelilingi bumi (bumi sebagai pusat gerakan disebut pan-dangan geosentris). Pemahaman ahli astronomi sekarang menyatakan bahwa matahari sebagai pusat edar, (disebutnya sebagai heliosentris). Gerak edar (dikelilingi dan mengelilingi) benda-ben-da langit tersebut diatur oleh hukum yang disebut hukum gravitasi Newton (hukum yang mengatur ge rakan alam semesta). Tahun 1686 Newton mengemukakan bahwa tiap par tikel (materi) di alam selalu berinteraksi (tarik-me-narik) dengan partikel lain. 9/16/2018

Persm di atas disebut hukum atraksi gravitasi Newton. Gaya interaksi antar benda, besarnya berbanding lurus dengan massa benda dan berbanding terbalik dengan jarak kuadrat kedua massa benda terse-but, Persm di atas disebut hukum atraksi gravitasi Newton. G tetapan, nilai dihitung oleh Sir Henry Cavendish (1731 – 1810) besarnya (6,672 ± 0,004) 10-11 N m2 kg-2 atau m3 kg-1 s-2. Tanda (-) menyatakan gaya tersebut tarik-menarik. Arah gaya F selalu lewat titik pusat kedua massa tersebut. 9/16/2018

Gaya yang garis kerjanya selalu lewat atau me-ninggalkan maupun menuju titik pusat disebut gaya sentral. Gaya sentral, besarnya tergantung hanya pada jarak pusat massa dan tidak tergantung pada arah disebut isotrop. 9/16/2018

Menghitung Nilai G. H. Cavendish menghi-tung (G) menggunakan alat yang di buat pada tahun 1798 dengan menghitung torsi (hasil interaksi dua massa). m M ½ ℓ Massa M = 12,7 kg dan m = 9,85 kg panjang ℓ = 52,4 cm. Tali penggantung massa m melakukan osilasi dengan momen inersia pada pusat 1,25 .10-3 kg m2 dengan perioda osilasi T = 769 s. 9/16/2018

Sudut 2θ antara dua posisi keseimbangan 0,516o. Jarak pusat dua bola besar kecil 10,8 cm. Dengan data-data percobaan tersebut dihitung nilai G ! Misal tetapan putiran, tali penggatung benda massa m) adalah k sehingga perioda osilasi, Nilai momen putar  = k θ nilai θ = 0,258o = 4,5 .10-3 rad. 9/16/2018

Nilai momen puntir seimbang dengan gaya gravita si. Besar momen puntir,  = (8,34 .10-8 N m)(4,5 .10-3 rad) = 4,75 .10-10 N m. Nilai momen puntir seimbang dengan gaya gravita si. Gaya interaksi dua bola M dan m, untuk setiap bola sebesar, 9/16/2018

Hukum Gravitasi Newton Sir Isaac Newton mengemukakan hipotesisnya bahwa gerak planet-planet mengelilingi matahari karena gaya gravitasi yang dimilikinya (interaksi massa planet dan matahari). Gaya gravitasi, menurut Newton sebagai gaya uni versal yaitu berlaku untuk setiap pasangan dua benda (materi). Pengujian eksperimental hipotesis Newton terse but diterima sebagai teori/hukum yang disebut hukum gravitasi umum Newton (1687). 9/16/2018

Hukum Atraksi Dua Benda Dua benda massa m dan M terpisah sejauh r menu rut Newton kedua massa tersebut tarik menarik dengan gaya nilainya, m r M F - F Persm di atas (lihat gambar) menyatakan gaya yang bekerja dari M, (F) sedang dari m, (- F) dan vektor satuan yang berarah dari M menuju m dan persamaan tersebut hanya berlaku untuk benda titik. 9/16/2018

Atraksi Gravitasi (Sebagai Gaya Sentripetal) Sistem interaksi dua titik benda, gaya F meru-pakan interaksi dalam wujud gaya sentripetal. Jika partikel massa m, berputar berupa lingkaran  gaya sentripetal berupa, 9/16/2018

Contoh. Satelit mengelilingi bumi karena gaya atraksi gravitasi. Hitunglah kelajuan satelit mengelilingi bu-mi. Diketahui massa satelit m serta massa bumi M ! Penyelesaian. Jika gerak satelit diasumsikan memenuhi bentuk lingkaran maka, Percepatan gravitasi bumi pada suatu tempat pada pemukaannya adalah nilai berat benda sehingga menjadi, 9/16/2018

r jari-jari bumi 6,4 .106 m dengan demikian G M = go r2, (nilai go = 9,8 m s-2). Sehingga kelajuan satelit mengelilingi bumi, v = √go R = 7920 m s-1 9/16/2018

Contoh. Sebuah satelit bumi memiliki orbit lingkaran pada ketinggian 230 km dari permukaan bumi dengan periode 89 menit. Berapakah massa bumi ? Penyelesaian. (r jari-jari bumi 6,37 .106 m)  R = 6,6 .106 m. 9/16/2018

9/16/2018

Percepatan Gravitasi Persm interaksi dua benda dengan mengingat konsep gaya berat (m g), akhirnya dapat diperoleh pernyataan percepatan gravitasi bumi sebagai: Dalam persm, pernyataan R adalah jarak dari pusat bumi sampai pada benda yang dimaksud (m). Benda dipermukaan bumi dapat dianggap berja rak jari-jari bumi atau R (dengan go). 9/16/2018

Hal ini, (h) jarak benda dari permukaan bumi. Dengan demikian semakin jauh benda dari permukaan bumi nilai besaran g semakin kecil Hal ini, (h) jarak benda dari permukaan bumi. 9/16/2018

Tabel variasi go dengan ketinggian (permukaan bumi). No. tinggi (km) go (m s-2) 01. 9,83 100 9,53 02. 5 9,81 400 8,70 03. 10 9,80 35.700 0,225 04. 50 9,68 380.000 0,0027 9/16/2018

Contoh. Carilah variasi percepatan gravitas bumi (g) ka-rena ketinggian (r) dengan R = r + h, (h adalah tinggi benda dari permukaan bumi). Penyelesaian. Persm di atas memberikan ilustrasi G M = go r2 sehingga gravitasi bumi berbenbuk, 9/16/2018

Jika benda berada di permukaan bumi (nilai deret binonium. Jika benda berada di permukaan bumi (nilai dapat diabaikan terhadap angka satu) sehingga posisi benda dapat dianggap pada permukaan bumi (gravitasi bumi go tetap). 9/16/2018

Bumi, melakukan rotasi akibatnya bentuk bumi tidak berupa bola ideal tetapi agak pipih. Nilai R permukaan kulit bumi tidak sama akibat-nya nilai go di permukaan bumi berbeda-beda. Semakin tinggi tempat semakin kecil nilai go semakin tinggi garis lintang suatu tempat nilai go semakin besar. Nilai go terbesar berada di kutub bumi (utara maupun selatan) terkecil di katulistiwa. 9/16/2018

Tabel g berdasarkan garis lintang dari permukaan laut. No. garis lintang harga g 01. 0o 9,78039 50o 9,81071 02. 10o 9,78195 60o 9,81918 03. 20o 9,78641 70o 9,82608 04. 30o 9,79329 80o 9,83059 05. 40o 9,80171 90o 9,83217 9/16/2018

Contoh. Berapakah nilai percepatan gravitasi di bulan ? Ka-sus bulan mengelilingi bumi karena gaya atraksi gravitasi. Penyelesaian. Nilai percepatan gravitasi bumi diambil g = 9,8 m s-2. R = 3,84 . 108 m, T = 2,36 . 106 s. Dengan data tersebut nilai as = 2,72 . 10-3 m s-2 9/16/2018

Jika jari-jari bumi r = 6,37 .106 m diperoleh, 9/16/2018

Contoh. Periode revolusi Yupiter k kali periode revolusi bumi (anggap orbit berupa lingkaran) tentukan perbandingan jarak Yupiter-Matahari dengan Bumi-Matahari kecepatan dan percepatan planet Yupiter dalam kerangka matahari. Penyelesaian. Planet berputar mengelilingi Matahari dengan peri ode T dan jari-jari R sehingga, 9/16/2018

Percepatan Yupiter mengelilingi Matahari, Diketahui, karena T2 ~ R3 sehingga Percepatan Yupiter mengelilingi Matahari, g percepatan gravitasi bumi. 9/16/2018

9/16/2018

Medan Gravitasi Hukum atraksi gravitasi menyatakan bahwa dua partikel saling berinteraksi (tarik menarik). Pernyataan hukum tersebut mengindikasikan bahwa partikel (benda) yang berada di sekitar benda lain akan tertarik oleh benda tersebut. Artinya benda tersebut merubah sifat ruangan di sekitar benda, dan ruangan tersebut disebut memiliki medan gravitasi. Medan gravitasi di suatu titik didefinisikan sebagai gaya tiap satuan massa yang dialami oleh setiap benda di titik tersebut dan dirumuskan sebagai: 9/16/2018

9/16/2018

Contoh. Pada jarak berapakah dari pusat bulan, kuat me-dan gravitasi bumi dan bulan sama dengan nol ? Massa bumi M = 81 m, (m massa bulan). Jarak pusat bumi-bulan R = 60 r, (r jari-jari bumi). Penyelesaian. Titik A, titik dimana re-sultan medan gravitasi nol. x R - x A M m 9/16/2018

9/16/2018

Energi Potensial (Gravitasi) Dua partikel massa M dan m yang terpisah sejauh r satu sama lain, (hasil interaksi dua benda) ada-lah, Arti fisis tanda negatif menyatakan bahwa kedua partikel saling tarik menarik (kedua benda saling terikat). Ep = - F . dr  Potensial gravitasi titik massa pada suatu tempat dinyatakan sebagai nilai Ep tiap satu satuan mas-sa. 9/16/2018

Titik massa M memberikan potensial gravitasi di setiap titik yang berjarak sejauh r dari pada benda tersebut (M) adalah, 9/16/2018

Mengukur Massa Bumi. Massa bumi pertama kali dihitung oleh Sir Henry Cavendish, yang ia sering katakan sebagai menimbang bumi. Diasumsikan bumi sebagai bola homogen massa M dan pada permukaan terdapat benda massa m. Gaya tarik bumi terhadap benda massa m adalah berat bendanya tersebut w = m g. Gaya berat (= atraksi dua benda yang terpisah sejauh R) dalam hal ini nilai R adalah r jari-jari bumi, F = G M m/r2. 9/16/2018

dengan memasukkan nilai besarannya, Jika bumi berbentuk bola V = 1,09 x 1021 m3  massa jenis rata-rata bumi  = 5,5 x 103 kg m-3. Nilai massa jenis rata-rata bagian bumi dekat permu kaan (= air, tanah dan batuan) nilainya (< 5,5 x 103 kg m-3) tentu bagian dalam   5,5 x 103 kg m-3 artinya bagian dalam bumi tersusun oleh bahan-ba-han yang lebih berat. 9/16/2018

Contoh. Jarak matahari (R) ± 25 000 tahun cahaya dari pusat galaksi dengan melakukan orbit bentuk ling-karan dengan periode (T) 17 . 107 tahun, (pende-katan). Jarak bumi–matahari (r) 8! Cahaya. Carilah masa gravitasi galaksi dalam satuan massa mata-hari (pendekatan). Asumsikan gaya gravitasi mata-hari merupakan pendekatan dengan asumsi seluruh massa galaksi berada pada pusat. Penyelesaian. Gerak bumi-matahari, 9/16/2018

Gerak matahari-galaksi, Dari, Diketahui t adalah 24 jam akan menghasilkan nilai mg = ± 1,53 .1011 M. 9/16/2018

Hukum Kekekalan Energi (Interaksi Gravitasi) Jika yang mempengaruhi gerakan gaya-gaya kon-servatif (gaya-gaya geseran tidak ada atau diabai-kan), berlaku hukum kekekalan kenergi mekanik. E = Ek + Ep Sistem dua partikel, akan memiliki energi total, (E = Ek + Ep). Di dalam interaksi gravitasi bentuk persm ener-ginya menjadi, Dalam kasus m  M persm di atas menjadi, 9/16/2018

Bila partikel berputar dengan edar lingkaran (atau orbit tertutup lain), berarti gaya interaksi benda berupa gaya sentripetal, Bentuk edar (orbit) partikel ditentukan oleh nilai harga E (persamaan di atas). 9/16/2018

9/16/2018

Contoh. Analisis gerak benda (dalam atraksi medan gravi-tasi, k = G M m). M, massa matahari dan m benda (contoh masalah mekanika angkasa). Penyelesaian. Energi mekanik E = Ek + Ep dan dalam hal ini bentuk energi mekanik menjadi, Lintasan gerak akan berupa lingkaran, elips, parabola atau hiperbola hanya tergatung pada kecepatan benda yaitu v2, (<, =, >) dari besaran 9/16/2018

,sehingga menentukan nilai E. 9/16/2018

Contoh. Dengan kecepatan berapakah agar benda dilempar tegak lurus ke atas supaya dapat mencapai ke-tinggian jari-jari bumi ? Pelemparan dari permu-kaan bumi. Berapa kecepatan minimum benda yang dilepas tersebut agar tidak dapat ditarik kembali oleh bumi ? Penyelesaian. Dari soal diketahui (dapat diartikan) jika R = 2 r dan ,V = 0. 9/16/2018

Agar benda tidak kembali ke bumi R =  dan V ≥ 0. Jika r = 6,37 . 106 m dan g = 9,8 m s-2 diperoleh nilai v ± 11,2 km s-1 9/16/2018

Contoh. Pada kutub bumi sebuah benda dilempar ke atas secara tegak lurus dengan kecepatan v. Hitung ketinggian yang dapat dicapai benda jika jari-jari bumi r ! Geseran udara diabaikan dan nilai gra-vitasi bumi dianggap tetap. Penyelesaian. Mencapai titik tertinggi (v = 0) sehingga persm kekekalan energi menjadi, 9/16/2018

9/16/2018

9/16/2018

Gerak Planit (Dalam Medan Gravitasi) Tata surya kita terdapat deretan planet yaitu (1) merkurius (2) venus (3) bumi (4) mars (5) jupiter (6) saturnus (7) uranus (8) neptunus. 9/16/2018

Umumnya gerak benda langit karena adanya atraksi gravitasi (salah satu bentuk interaksi, ga-ya sentral). Gerak partikel karena gaya sentral salah satu bentuk lintasannya berupa elips (hukum pertama Kepler). Pada abad ke 16, lewat pengamatan Tycho Brahe (1546 – 1601) pada gerakan planet secara cer-mat, menghasilkan data dan dari data tersebut dianalisis oleh Johanes Kepler (1571 – 1630) se-hingga tersusun hukum sebanyak tiga buah. 9/16/2018

Hukum Kepler menyatakan sebagai berikut. Ketiga hukum tersebut dapat diturunkan (dibukti-kan) dari gerakan benda langit (hasilnya ternyata benar) dan dipublikasikan tahun 1609 dan 1619. Hukum Kepler menyatakan sebagai berikut. Edar lintasan planet (benda angkasa) berben- tuk elips dengan salah satu fokusnya ditempati matahari. 2. Dua vektor posisi perjalanan planet relatif terha dap matahari (fokus) membuat luasan yang sa- ma dalam waktu yang sama. 3. Kuadrat periode planet mengelilingi matahari se banding dengan pangkat tiga jarak rata-rata an tara planet-matahari, (T2  r3). 9/16/2018

Irisan Kerucut (Elips) Elips, merupakan grafik lengkung tertutup yang memiliki perbandingan jarak terhadap titik tetap (fokus) dengan garis direktrik tetap. Elips merupakan salah satu bentuk irisan kerucut Bentuk irisan kerucut ada empat macam yaitu: 1. lingkaran (kelonjongan e = 0), 2. elips (kelonjongan 0 < e < 1), 3. parabola (kelonjongan e = 1) 4. hiperbola (kelonjongan e > 1). 9/16/2018

Bentuk lintasan benda ditentukan oleh nilai energi atau nilai e. F F! b a P Q B d A D rp ra c θ direktrik r Kelonjongan (e) PQ = FD – FB  PQ = d – r cos θ. ed = p, tetap 9/16/2018

Jika ra + rp = 2 a, (a setengah sumbu panjang), nilai a = ½ (rp + ra). Dalam kasus elips (grafik tertutup) titik A berhu-bungan dengan sudut θ = 0 dan titik A! berhu-bungan dengan θ =  sehingga persm menjadi, Jika ra + rp = 2 a, (a setengah sumbu panjang), nilai a = ½ (rp + ra). 9/16/2018

Posisi terdekat dengan fokus (rp) disebut perige (perihelion) dan ra posisi terjauh dari fokus dise-but apoge (aphelion). Akan berlaku, rp = a (1 - e) , 9/16/2018

Hubungan (E), (L) dalam Gerak Elips Hukum kekekalan energi, m v2 + 2 Ep (r) = 2 E. 9/16/2018

9/16/2018

Persamaan di atas dipecah menjadi dua kelompok: (1) Persm yang bernilai tetap, 9/16/2018

(2) Persm yang tergantung pada r. 9/16/2018

Persm di atas menyatakan jika kelonjongan (e) ter-gantung pada energi serta momentum sudut. 9/16/2018

Nilai energi benda (E) menentukan bentuk lintasan orbitnya, Energi, E = Ep + Ek nilainya tetap lintasan akan ter-tutup, jika nilai Ek  Ep dan lintasan akan terbuka jika Ek ≥ Ep. 9/16/2018

Hukum-hukum Kepler. Edar lintasan planet (benda angkasa) berbentuk elips dengan salah satu fokusnya ditempati mata hari. 2. Dua vektor posisi, perjalanan planet relatif ter-hadap matahari (fokus) membuat luasan yang sama dalam waktu yang sama. 9/16/2018

Besaran L partikel, dinyatakan dalam koordinat kutub menjadi, P P! v r dθ x y Jika massa m bergerak dari titik P menuju P! (lihat gam-bar), dua vektor posisi dengan titik tangkap (0) membentuk segitiga 0PP! dengan luas segitiga 0PP!, dA = ½ r2 d. L = r x p. Besaran L partikel, dinyatakan dalam koordinat kutub menjadi, 9/16/2018

Pernyataan tersebut (di atas) disebut hukum ke-dua Kepler Persm m (dA/dt) menyatakan partikel mas-sa m bergerak di bawah pengaruh gaya sentral dalam waktu yang sama (dt sama) dua buah vektor posisinya akan membentuk segitiga yang me-miliki luas sama (luas 0PP! = luas 0P!P!!). Pernyataan tersebut (di atas) disebut hukum ke-dua Kepler 3. Kuadrat periode planet mengelilingi matahari se banding dengan pangkat tiga jarak rata-rata antara planet-matahari, (T2  r3). Momentum sudut partikel, massa (m), posisi (r) dan kecepatan (v) dinyatakan sebagai L = m v r. 9/16/2018

Selanjutnya dengan nilai luas elips, diperoleh ben-tuk persm, Bila partikel tersebut mengelilingi satu kali putaran dengan waktu T, (T disebut periode). Bila partikel bergerak dalam waktu T, artinya par- tikel telah menempuh sudut (0 – 2). Selanjutnya dengan nilai luas elips, diperoleh ben-tuk persm, 9/16/2018

Persm tersebut merupakan hukum ketiga Kepler yaitu T2 ~ r3 . Jarak orbit suatu satelit (r), periode (T) dan massa (m) dan lewat interaksi antar planet-sa-telit kita dapat menghitung massa planet, de-ngan hubungan, 9/16/2018

Contoh. Satelit bumi berputar (orbit lingkaran) pada ke-tinggian 230 km di atas permukaan bumi dengan periode 89 menit. Berapakah massa bumi dari data tersebut ? Penyelesaian. Dalam hal ini r = R + h = 6,37 .106 m + 230 .103 m = 6,6 .106 m 9/16/2018

Contoh. Komet Halley mengeliling matahari dengan pe-riode 76 tahun (= 24 .108 s) dan memiliki jarak terdekat 89 .109 m. Berapakah jarak terjauh dari kelonjongan lintasannya ? Massa matahari 199 .1028 kg. Penyelesaian. Diketahui T = 24 .108 s; M = 199 .1028 kg, G = 667 .10-13 N m2 kg-2 . ,sumbu panjang elips. Dari rp = a - ae) dan ra = a + ae)  ra = 2 a – rp. 9/16/2018

ra = 2 (27 .1011 m) - 89 .109 m = 53,11 .1011 m 9/16/2018

Percepatan (koordinat kutub). Ada dua macam gaya, arah ke r dan θ. Besaran gaya tangensial adalah nol, (Fθ = 0). Gaya radial yang mengendalikan gerak (gerak dalam gaya sentral). 9/16/2018

9/16/2018

Persm di atas menyatakan gaya radial berbanding terbalik dengan jarak kuadrat. 9/16/2018

Contoh. Komet mendekati matahari dari luar angkasa dengan kecepatan v dan jarak tegak lurus ma-tahari d. Hitunglah kecepatan maksimum dan jarak terdekat komet dalam mengelilingi mata-hari. Penyelesaian. Persm gerak komet, m M v d r vektor satuan dari matahari-komet sepanjang jarak r. 9/16/2018

Jika awalnya komet sangat jauh dari matahari se-hingga hanya memiliki Ek, (Ep = 0, karena r → ∞), Ek = ½ m v2 dan L = m r x v, dan L = m v d. Pada saat dekat dengan matahari kecepatan maks vm dan jarak terdekat ro, tegak lurus sehingga dengan nilai L = m ro vm . Energi total, Jika dalam sistem tidak ada gaya luar yang berkerja  dalam sistem berlaku hukum keke-kalan energi dan momentum, 9/16/2018

Dari kedua persm di atas diperoreh, 9/16/2018

Catatan: (dalam koordinat katesian) Persm elips kelonjongan, dengan a > b Lingkaran a = b atau e = 0 Parabola. y2 = 4 p x kelonjongan e = 1 jarak titik asal sampai fokus p Hiperbola kelonjongan 9/16/2018