Benda Tegar (Benda Padat) BAB. 11 Benda Tegar (Benda Padat) 9/19/2018

Benda tegar dipandang sebagai sekelompok (sis-tem) partikel dengan posisi tiap partikel relatif te-tap, walaupun mereka dikenai gaya. Benda tegar didefinisikan sebagai sistem partikel dengan jarak antar posisi partikel selalu tetap. Benda tegar dipertahankan oleh gaya internal yang disebut gaya pengendali (constraint). Posisi partikel benda tegar seolah-olah terhubung oleh batang-batang tanpa berat (diasumsinya mas-sanya hanya massa partikel saja). Gerak benda tegar bentuknya tetap dan dapat di-anggap sebagai benda tunggal (yaitu gerak pusat massa benda tersebut). 9/19/2018

Gerak Benda Tegar 1. Translasi. Jika posisi dua partikel penyusun benda, se-lalu sejajar terhadap posisi awal. Dalam gerak translasi berlaku hukum Newton tetang gerak, F = m a. Seluruh partikel bergerak dengan kecepatan linier sama v A 9/19/2018

Gerak Benda Tegar 2. Rotasi. Jika posisi, semua partikel penyusun benda melakukan gerak melingkar terhadap titik ter-tentu. Titik tersebut posisinya tetap dan disebut pusat lingkaran. Dalam gerak rotasi berlaku formula hukum Newton tentang gerak rotasi  = I . - v v A Seluruh partikel bergerak dengan kecepatan sudut (ω) yang sama terhadap sumbu tertentu. 9/19/2018

Antara L dan  dihitung relatif pada titik yang tetap dan gerak. Pusat massa berlaku, 9/19/2018

3. Mengguling. Umumnya benda tegar, bergerak dengan kombi-nasi dua gerak sekaligus yaitu gabungan gerak rotasi dan translasi (disebut mengguling), hal tersebut terjadi karena pusat massa benda po-sisinya relatif berubah. Namun demikian analisis gerak dapat dipisah-kan berdasarkan penetapan atau pemilihan ke-rangka acuan. Gerak mengguling dapat dipandang sebagai gerak partikel tunggal yang m-nya = m benda serta bekerja sejumlah gaya luar pada benda. 9/19/2018

Ban bergerak dengan laju ds/dt Nilai kecepatan, gerak mengguling pada lantai nol, pusat massa v dan pada puncak 2v (lihat gambar). v 2v A o Ban bergerak dengan laju ds/dt v = dθ/dt = ω R 9/19/2018

Gerak Mengguling: rotasi dan translasi Menggelinding adalah peristiwa translasi dan sekaligus rotasi 9/19/2018 Bab 6-8

Momentum Sudut Benda Tegar r z v A R L Lz θ Benda berputar sekeliling sumbu z, dengan kecepat an sudut . Partikel penyusun benda akan berputar mengeli-lingi sumbu z dengan ke-cepatan sudut  yang sa ma. Partikel A bergerak dengan orbit lingkaran jari-jari R berkecepatan linier v, (v = ω x r, vektor r menyata-kan posisi). Besar kecepatan v =  r sin  atau  R. 9/19/2018

Partikel A merupakan partikel ke i. Momentum sudut (L) partikel A relatif terhadap 0, L = m r x v, (L  v dan L  r). L = m r v sin , Lz = L cos (90o – θ), Lz = m  R2 Partikel A merupakan partikel ke i. Lz = m  R2  Liz = mi Ri2  Untuk Liz benda (seluruh partikel), dijumlahkan.  Liz =  (mi Ri2)  (mi Ri2 ) = mi R12 + m2 R22 + m3 R32 + …. = I I, momen inersia benda, (momen inersia relatif ter- hadap sumbu putar z) dan satuan kg m2. 9/19/2018

Contoh. Dua buah bola massa 5 kg, terrangkai oleh ba-tang panjang 1 m (massa batang diabaikan). Tentukan momen inersia (I) dari benda tersebut jika diputar pada: a. sumbu yang tegak lurus tengah-tengah ba-tang. b. sumbu yang tegak lurus salah satu ujung ba-tang. Penyelesaian. a. I = (5 kg)(0,5 m)2 + (5 kg)(0,5 m)2 = 2,5 kg m2 b. I = (5 kg)(0 m)2 + (5 kg)(1 m)2 = 5 kg m2 9/19/2018

Menghitung Momen Inersia (I) Momen inersia suatu benda di-hitung (atau ditentukan), ber- dasarkan pada sumbu putarnya Ri Δmi vi Ri jarak sumbu putar partikel ke i yang bermassa mi  I benda, [dihitung dengan I =  (mi Ri2)]. Benda tegar, massa berdistribusi kontinyu sehingga benda massa mi dapat diganti dengan mi yang berjarak Ri terhadap sumbu putarnya. 9/19/2018

Persm I =  Ri2 mi berubah bentuk, Benda homogen dm =  dV, ( massa jenis), 9/19/2018

Contoh. Batang homogen panjang L massa m diputar de-ngan sumbu  pada tengah-tengahnya. Berapa be-sar I benda tersebut ? Berapa besar I jika diputar pada salah satu ujungnya ? Penyelesaian. dm dx x A ρ massa jenis benda Jika dm terletak sejauh x dari sumbu putar sehing ga berlaku formulasi, 9/19/2018

Hasilnya I = (1/12) ρ A L3 = (1/12) m L2 . Pertanyaan ke dua, 9/19/2018

Contoh. Hitung I silinder pejal yang diputar pada sumbunya ! Penyelesaian. r dm perubahan ketebalan perubahan jari-jari perubahan sudut 9/19/2018

Asumsi kerapatan massa konstan. Persm dapat dibagi dalam tiga integral: Hasil integral tersebut, Massa lempengan, m = ρ  R4 L I = ½ m R2 9/19/2018

Momen inersia sekeliling sum-bu z, menjadi x y z r R dm R2 = r2 = x2 + y2. Momen inersia sekeliling sum-bu z, menjadi Dari persm di atas diperoleh hu-bungan antara Ix dan Iy. Apabila benda berupa keping tipis (z = 0), momen inersia relatif terhadap sumbu x dan y menjadi, dan Akibatnya dapat ditunjukkan bahwa dalam masa-lah ini berlaku, Iz = Ix + Iy (tidak berlaku umum). 9/19/2018

Theorema Steiner (Teori Sumbu Sejajar). Sumbu z sebagai sumbu sembarang, zc sumbu se-jajar yang ditarik melalui pusat massa benda, I maupun Ic momen iner-sia benda relatif terha-dap sumbu z dan zc. 0! xC x z zc y yc R Rc x = xC y yc P! P A r Massa benda m, r jarak antara dua sumbu z ak-hirnya berlaku, I = Ic + m r2, disebut theorema sumbu sejajar. 9/19/2018

Titik acuan 0! (pusat massa benda), sumbu y berimpit dengan yc. Titik P pada benda (P!A = x = xc), berlaku RC2 = xc2 + yc2 dan R2 = x2 + y2 = xc2 + yc2 + r2 + 2 yc r. Momen inersia benda relatif terhadap sumbu z berla-ku, I =  m R2 =  m (Rc2+ r2 + 2 yc r) =  m Rc2 + r2  m + 2 yc r  m = Ic + 2 r  m yc + r2  m Nilai yc = 0 karena 0! (pusat massa),   m yc = 0. I = Ic + m r2 9/19/2018

Contoh. Batang homogen panjang L massa m diputar de-ngan sumbu tegak lurus pada salah satu ujungnya. Gunakan theorema sumbu sejajar, berapa nilai momen inersia benda tersebut ? Penyelesaian. dm A (1/12) m L2 ½ L r = ½ L. I = Ic + m r2 = (1/12) m L2 + m (½ L)2 = (1/3) m L2 9/19/2018

Jari-jari girasi (k) suatu benda, adalah besaran yang terdefinisikan sebagai hubungan antara mo-men inersia (I) dengan besaran lain I = m k2 . 9/19/2018

Nilai momen inersia dari beberapa benda. ℓ ℓ R R a b 9/19/2018 Bab 6-23

Rotasi Benda Tegar. Gaya bekerja pada benda tegar lewat titik tertentu akibatnya benda berotasi berlaku  = I , (hukum II Newton, rotasi) besaran  adalah percepatan sudut. Momen gaya  = r x F = Jika sumbu putar bukan titik tetap dalam sistem acuan inersial, kita tidak dapat menggunakan Perlu menghitung L dan  relatif terhadap pusat mas-sa benda. Digunakan persamaan 9/19/2018

Jika I tetap, dapat dihasilkan bentuk  = I  = Bentuk  = I , dalam suatu sistem jika akan mem perkecil putaran maka I diperbesar. Jika akan memperbesar putaran dilakukan dengan memperkecil I. Jika terdapat beberapa gaya berlaku, Σ  = I . 9/19/2018

Rotasi sumbu tetap, momentum benda tegar diper- oleh formulasi L = I ω. I ω = tetap Jika dalam sistem partikel tidak ada gaya luar yang bekerja padanya, akhirnya momentum sudut sis-tem kekal. L = I ω 9/19/2018

Dinamika Benda Tegar Mengikuti analog dari gerak translasi, maka kerja oleh momen gaya didefenisikan sbb: W = ΔEktranslasi Ekrotasi = ½ I ω2 Bila  = 0, maka W = 0 sehingga ΔEkrotasi = 0 Hukum kekekalan energi kinetik rotasi. 9/19/2018 Bab 6-27

9/19/2018

Hukum Kekekalan Momentum Sistem partikel, bergerak translasi berlaku hukum kekekalan momentum (linier). Sistem partikel, berotasi berlaku hukum kekekalan momentum sudut. Momentum sudut sistem n partikel terhadap acuan tertentu, momentum sudut totalnya merupakan jumlahan dari masing-masing partikel terhadap acuan tersebut yaitu, L = L1 + L2 + + Ln 9/19/2018

Jika tidak ada gaya luar, luar = 0 berarti Jika  yang bekerja pada sistem adalah jumlahan keadaan luar dan dalam berlaku,  = luar + dalam. luar momen karena gaya luar, dalam momen gaya dalam (hasil gaya interaksi antar partikel satu sama lain). Gaya interaksi, adalah reaksi pasangan partikel yang sama besarnya dan belawanan arah, dalam = 0 Jika tidak ada gaya luar, luar = 0 berarti L = L1 + L2 + + Ln = tetap 9/19/2018

9/19/2018

Energi Kinetik Rotasi Ek sistem partikel dinyatakan, Ek =  ½ mi vi2. Benda tegar berotasi sekeliling sumbu dengan ke-cepatan sudut  berarti vi =  ri, (ri jarak tiap partikel sampai sumbu putar). Ek =  ½ mi ( ri)2 atau  ½ (mi ri2) 2,  Ek = ½ I 2 = Ek benda pada kerangka acuan pusat massa (inersial) berlaku bentuk Ek = ½ M vc2 + Ekc, (M massa, kecepatan (vc) dan energi kinetik (Ekc) benda relatif pusat massa). 9/19/2018

Dimana I adalah momen inersia, I = Σ mi ri2. Energi Kinetik Rotasi (v = ω r) massa momen Inersia kecepatan linear kecepatan sudut Dimana I adalah momen inersia, I = Σ mi ri2. 9/19/2018 Bab 6-33

Bentuk Ek benda berotasi serta bertranslasi, da-pat ditulis sebagai, Benda tegar dapat diartikan ½ M vc2, [Ek translasi dan Ekc, (Ek rotasi relatif pusat massa)]. Benda tegar (bangun benda padat) hanya dalam gerakan tiap partikel memiliki arti relatif sendiri-sendiri terhadap pusat massanya. Bentuk Ek benda berotasi serta bertranslasi, da-pat ditulis sebagai, Ic momen inersia pusat massa relatif terhadap sumbu putar. Jarak tiap partikel benda tegar relatif tetap Epd selalu tetap. 9/19/2018

Kekekalan energi benda tegar Ek - Eko = Wℓ, ( Wℓ kerja gaya luar). Jika gaya luar konservatif (Wℓ nilainya tetap E = Ek + Ep) maka bentuk persamaan menjadi, Gerakan dengan persamaan di atas, benda meng-guling (bertranslasi dan berrotasi). Jika benda mengguling dalam bidang miring akibat pengaruh beratnya sendiri berarti Ep = m g y, (y selisih posisi benda). 9/19/2018

Bentuk persamaan energinya menjadi, E = ½ M vc2 + ½ Ic 2 + m g y = tetap. Apabila gaya yang bekerja tidak konservatif arti-nya Wℓ = Epo - Ep + W! Kekekalan energi yang berlaku dalam benda tegar W! = (Ek + Ep) - (Ek + Ep)o 9/19/2018

Gerak Mengguling: rotasi dan translasi The kinetic energy of rolling Ek = ½ Ip ω2 , Ip = Ic + m r2 Ek = ½ Ic ω2 + m r2 ω2 Ek = ½ Ic ω2 + ½ m vc2 = Ekr + Ekt Total energi kinetik benda yang menggelinding sa-ma dengan jumlah energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi. 9/19/2018 Bab 6-37

V0  Leibniz 1646 - 1716 9/19/2018 Bab 6-38

Hubungan Besaran Gerak Linear - Rotasi linear angular perpindahan kecepatan percepatan massa gaya Hk. Newton’s energi kinetik Kerja 9/19/2018 Bab 6-39

Hubungan Besaran Gerak Linear - Rotasi x (m) q (rad) v (m s-1) w (rad s-1) a (m s-2) a (rad s-2) m (kg) I (kg·m2) F (N) t (N·m) p (N·s) L (N·m·s) 9/19/2018 Bab 6-40

Gerakan Yo – yo Yo-yo, (2 piringan besar, 1 pi-ringan kecil) sebagai penghu-bung) merupakan mainan gerak an piringan naik-turun karena tali panjang h. m g T R r Ia kehilangan Ep (yaitu m g h) dan berubah menjadi Ek dalam dua bentuk (translasi ½ m vcm2 dan rotasi ½ Icm ω2). Jika yo-yo pada posisi puncak ia kehi-langan Ek dan berubah menjadi Ep. 9/19/2018

Analisis gerak yo-yo menggunakan hukum New-ton II. Jika massa yo-yo M persamaan geraknya adalah, ΣF = M a = M g - T , (T tegangan lewat sumbu). Hukum Newton rotasi Σ  = I  dengan hubungan, a =  r, T r = I (a/r). Jika tebal piringan yo-yo sama (t) dan jari-jari besar (R) dan kecil (r) maka momen inersia yo-yo menjadi, I = 2 (½  ρ t R4) + (½  ρ t r4) , M = 2  ρ t R2 +  ρ t r2 9/19/2018

Dengan eliminasi dihasilkan nilai T , T = M g - M a = M (g – a) Catatan. ketebalan tali biabaikan (untuk menjamin nilai r tidak berubah). 9/19/2018

Contoh. Yo-yo terdiri dari gabungan dua piringan tebal t berjari-jari R yang terpisah dengan ketebalan t oleh lingkaran kecil jari-jari r. Asumsikan semua benda homogen, carilah tegangan tali karena gravitasi nyatakan dalam R, r, m dan g (massa tali diabaikan). Penyelesaian. I = 2 (½ mR R2) + (½ mr r2) = 2 (½  ρ t R4) + (½  ρ t r4) Jika massa yo-yo keseluruhan M = 2  ρ t R2 +  ρ t r2, sehingga momen inersia yo-yo, 9/19/2018

9/19/2018

Kesetimbangan Benda Tegar Suatu benda tegar dikatakan setimbang apabila memiliki percepatan translasi sama dengan nol dan percepatan sudut sama dengan nol. Dalam keadaan setimbang, seluruh resultan ga-ya yang bekerja harus sama dengan nol, dan re-sultan torsi yang bekerja juga harus sama de-ngan nol: ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan Σ = 0 9/19/2018

9/19/2018

9/19/2018

9/19/2018

9/19/2018

9/19/2018

9/19/2018