GAUSS-QUADRATURE himawat.lecture.ub.ac.id/files/2010/03/Lecture-6-integral.ppt

Integran f(x) dengan batas-batas dari x = a s/d x = b -1 1 u F(u) Transformasi Integran f(x) dengan batas-batas dari x = a s/d x = b ditransformasi ke integran F(u) dengan batas-batas dari u = -1 s/d u = 1.

TRANSFORMASI VARIABEL DARI x KE u: x = a0 + a1 u x = a u = -1 a = a0 - a1 (i) u = 1 b = a0 + a1 (ii) x = b Solusi simultan (i) dan (ii) adalah: Jadi hubungan variabel lama x dengan variabel baru u adalah

a b x f(x) -1 1 u F(u)

f(x) = x2 - 4x + 5 3 1 x f(x) Transformasi: u F(u) 1 -1

Pembobot c1 dan c2 adalah sedemikian hingga -1 1 u F(u) -1 1 u F(u) u1 u2 Pendekatan: Pembobot c1 dan c2 adalah sedemikian hingga terjadi keseimbangan antara kesalahan positif dengan kesalahan negatif.

Ke empat bilangan yang belum diketahui u1, u2, c1, dan c2 dicari sebagai berikut: F(u)=1 -1 1 (1) F(u) = u 1 -1 (2)

Solusi Simultan pers (1) s/d (4) adalah: -1 1 F(u)=u2 (3) F(u)=u3 -1 1 (4) Solusi Simultan pers (1) s/d (4) adalah: c1 = c2 = 1

Faktor-faktor pemberat c dan argumen fungsi u Rumus Umum Faktor-faktor pemberat c dan argumen fungsi u untuk sampai dengan 6 (enam) titik adalah sebagaimana diberikan dalam tabel 14.1: Numerical Methods For Engineer with Personal Computer Applications. Steven C Chapra

Contoh Diketahui: Hitung integral itu menggunakan pendekatan Gauss quadrature dengan a. 2 titik b. 3 titik c. 4 titik

Jawab: x =u + 1 a. 2 titik 0,50531 18,98747 + 19,49278

b. 3 titik Dari tabel: 0,13175 2,41625 22,98867 + 25,53667

c. 4 titik 0,04924 0,66541 5,26301 20,67753 + 26,65520

Improper Integrals webalt.math.helsinki.fi/.../CD/.../Improper/ComputeImproperIntegrals.ppt 14

Integral tidak wajar Definisi Contoh 1 2 3 Sebuah integral dikatakan tidak layak jika : Jarak (interval) dari integral tak terhingga atau Jika fungsi memiliki singularitas dalam interval integrasi. Seseorang tidak dapat menerapkan metode numerik seperti menjumlahkan KIRI atau KANAN untuk perkiraan nilai integral tersebut. Contoh 1 2 3 15

Definisi Integral tidak layak Contoh 16

Singularitas dalam Interval pada Integrasi Definisi Integral tak wajar dari fungsi f memiliki singularitas di b atau suatu tempat di dalam interval integrasi didefinisikan dengan cara yang sama sebagai batas integral biasa selama interval yang tidak mengandung titik singular. Contoh 17

Generalisasi Definisi sebelumnya generalisasi dengan kasus-kasus di mana salah satu titik akhir dari interval integrasi adalah tak terhingga negatif atau titik singular dari fungsi yang terkandung dalam interval integrasi. Contoh Ini adalah integral konvergen 1 2 Ini adalah integral divergen 18

Dasar Integral tak layak (tak wajar) 1 2 3 4 5 Jelas bahwa (1)  (2) and (3)  (4). Untuk membuktikan hasil ini merupakan perhitungan sederhana. 19

Konvergensi pada Integral tak layak Seringkali tidak mungkin untuk menghitung batas mendefinisikan integral tak wajar diberikan langsung. Dalam rangka untuk mencari tahu apakah seperti konvergen terpisahkan atau tidak salah satu dapat mencoba untuk membandingkan integral integral dikenal yang kita tahu bahwa itu baik konvergen atau divergen. 20

Ide dari Teorema Perbandingan Integral konvergen yang tidak tepat jika daerah bawah kurva merah adalah terbatas. Kami menunjukkan bahwa ini benar dengan menunjukkan bahwa daerah di bawah kurva biru terbatas. Karena daerah di bawah kurva merah adalah lebih kecil dari area di bawah kurva biru, kemudian harus juga menjadi terbatas. Ini berarti bahwa integral tak wajar konvergen rumit. 21

Contoh (1) Untuk menunjukkan bahwa daerah di bawah kurva biru di gambar sebelumnya terbatas, hitung sebagai berikut: 22

Teorema Perbandingan Teorema Catatan 23

Teorema Perbandingan Teorema Catatan 24

Fungsi Distribusi Normal Ini telah ditunjukkan sebelumnya. Oleh karena itu kami menyimpulkan bahwa integral konvergen. Argumen yang sama juga menunjukkan bahwa konvergen. Maka integral konvergen. 25

Contoh(2) Masalah Solusi Integral yang tidak tepat adalah salah satu tipe dasar yang tidak tepat integral. Kita tahu bahwa divergen. Oleh karena itu kami menyimpulkan, oleh Perbandingan Teorema, yang juga menyimpang terpisahkan. 26

Contoh (3) Masalah Pendekatan Heuristik 27

Contoh : Fungsi Gamma Masalah Solusi Integral mendefinisikan fungsi gamma adalah tidak tepat karena interval integrasi meluas hingga tak terbatas itu. Jika 0 <x <1, integral juga tidak benar karena kemudian fungsi untuk diintegrasikan memiliki singularitas pada x = 0, titik ujung kiri dari interval integrasi. Amati bahwa integral konvergen jika p > -1. Kasus 1. 0 < t < 1. Perhitungan ini memerlukan asumsi bahwa p > -1, sebagai contohnya : p + 1 > 0. Ini membolehkan kamu untuk menyimpulkan bahwa : ap+1  0 as a  0. 28

Contoh (4) Masalah Solusi Ketat Perbedaan dari integral dapat dibenarkan oleh Teorema Perbandingan dengan cara berikut. 29

Contoh : Fungsi Gamma Masalah Solusi Integral mendefinisikan fungsi gamma adalah tidak tepat karena interval integrasi meluas hingga tak terbatas itu. Jika 0 <x <1, integral juga tidak benar karena kemudian fungsi untuk diintegrasikan memiliki singularitas pada x = 0, titik ujung kiri dari interval integrasi. Amati bahwa integral konvergen jika p > -1. Kasus 1. 0 < t < 1. Perhitungan ini memerlukan asumsi bahwa p > -1, sebagai contohnya : p + 1 > 0. Ini membolehkan kamu untuk menyimpulkan bahwa : ap+1  0 as a  0. 30

Contoh : Fungsi Gamma Masalah Solusi (cont’d) Selanjutnya amati bahwa, jika t > 0, Kasus 1. (0 < t < 1) Maka integral konvergen dengan Teorema perbandingan dan bukti bahwa konvergen untuk p > -1. Kasus 2. t > 1. To show the convergence of the integral use the fact that This holds for all values of x. Hence there is a number bx such that for t > bx. This means that for t > bx. Hence the integral converges by the Comparison Theorem since the integral converges as can be seen by a direct computation. 31

Contoh : Fungsi Gamma Masalah Solusi x > 0 telah diperbaiki. Kami membagi integral tak wajar mendefinisikan fungsi Gamma sampai tiga integral sebagai berikut: Kesimpulan 1 Konvergen bagian 1. Dengan asumsi bahwa x > 0. 2 adalah integral biasa 3 Konvergen bagian 2. Kami menyimpulkan bahwa : integral konvergen. 32