Lecture Slides Elementary Statistics Eleventh Edition and the Triola Statistics Series by Mario F. Triola

Chapter 6 Normal Probability Distributions 6-1 Review and Preview 6-2 The Standard Normal Distribution 6-3 Applications of Normal Distributions 6-4 Sampling Distributions and Estimators 6-5 The Central Limit Theorem 6-6 Normal as Approximation to Binomial 6-7 Assessing Normality

Section 6-1 Review and Preview

Review Chapter 2: Distribution of data Chapter 3: Measures of data sets, including measures of center and variation Chapter 4: Principles of probability Chapter 5: Discrete probability distributions

Preview Chapter focus is on: Continuous random variables Normal distributions Formula 6-1 Distribution determined by fixed values of mean and standard deviation Figure 6-1

The Standard Normal Distribution Section 6-2 The Standard Normal Distribution

Key Concept Distribusi normal standar memiliki tiga sifat: 1.Grafik berbentuk lonceng.   2.Mean sama dengan 0 ( = 0). 3. Standar deviasi sama dengan 1 ( = 1). Daerah di bawah grafik dari distribusi normal standar, dicari dengan z-skor yang sesuai .

Density Curve Kurva kepadatan adalah grafik dari distribusi probabilitas kontinu. Ini harus memenuhi sifat berikut: Luas total di bawah kurva harus sama 2. Setiap titik pada kurva harus memiliki ketinggian vertikal yaitu 0 atau lebih besar. (Artinya, kurva tidak dapat jatuh di bawah sumbu x.)

Area and Probability Karena total area di bawah kurva sama dengan 1, maka ada korespondensi antara daerah dan probabilitas.

Standard Normal Distribution Distribusi normal standar adalah distribusi probabilitas normal dengan rata rata  = 0 dan standar deviasi  = 1. Total luas area di bawah kurva sama dengan 1.

Finding Probabilities When Given z-scores Table A-2 (in Appendix A) Formulas and Tables insert card Find areas for many different regions

Table A-2

Using Table A-2 Distribusi normal standar, memiliki mean 0 dan deviasi standar 1. Distribusi Normal standar untuk negatif z-skor dan untuk positif z-skor. Setiap nilai adalah daerah kumulatif dari kiri sampai batas vertikal di atas z-skor tertentu.

Example - (Continued) P(z < 1.27) =

Example - Thermometers Precision Scientific Instrument Company memproduksi termometer yang memberikan pembacaan 0ºC pada titik beku air. Tes pada sampel besar dari instrumen ini mengungkapkan bahwa pada titik beku air, beberapa termometer memberikan pembacaan bawah 0º (dilambangkan dengan angka negatif) dan beberapa memberikan bacaan di atas 0º (dilambangkan dengan angka positif). Asumsikan bahwa membaca rata adalah 0ºC dan standar deviasi dari pembacaan adalah 1.00ºC. Jika dianggap bahwa pembacaan terdistribusi normal, dan salah satu termometer yang dipilih secara acak, maka probabilitas bahwa, pada titik beku air terbaca kurang dari 1.27º adalah ...

Look at Table A-2

Example - cont P (z < 1.27) = 0.8980 The probability of randomly selecting a thermometer with a reading less than 1.27º is 0.8980.

Example - cont Atau 89,80% akan memiliki pembacaan dibawah 1.27º P (z < 1.27) = 0.8980 Atau 89,80% akan memiliki pembacaan dibawah 1.27º

Example - Thermometers Again Pada termometer terbaca rata-rata 0 derajat dan deviasi standar 1 derajat untuk air beku, dan jika salah satu termometer dipilih secara acak, menemukan probabilitas bahwa terbaca (pada titik beku air) di atas -1,23 derajat, maka probabilitasnya : P (z > –1.23) = 0.8907 Probabilitas secara acak memilih termometer dengan pembacaan di atas -1.23º adalah 0,8907.

Example - cont P (z > –1.23) = 0.8907 89.07% of the thermometers have readings above –1.23 degrees.

Example - cont A thermometer is randomly selected. Find the probability that it reads (at the freezing point of water) between –2.00 and 1.50 degrees. P (z < –2.00) = 0.0228 P (z < 1.50) = 0.9332 P (–2.00 < z < 1.50) = 0.9332 – 0.0228 = 0.9104 Jika termometer dipilih dan diuji pada titik beku air, maka 91,04% akan terbaca antara -2,00 dan 1,50 derajat.

denotes the probability that the z score is greater than a. Notation P(a < z < b) denotes the probability that the z score is between a and b. P(z > a) denotes the probability that the z score is greater than a. P(z < a) denotes the probability that the z score is less than a.

When Given Probabilities Finding the 95th Percentile Finding z Scores When Given Probabilities 5% or 0.05 (z score will be positive) Finding the 95th Percentile

When Given Probabilities - cont Finding the 95th Percentile Finding z Scores When Given Probabilities - cont 5% or 0.05 (z score will be positive) 1.645 Finding the 95th Percentile

When Given Probabilities - cont Finding the Bottom 2.5% and Upper 2.5% Finding z Scores When Given Probabilities - cont (One z score will be negative and the other positive) Finding the Bottom 2.5% and Upper 2.5%

When Given Probabilities - cont Finding the Bottom 2.5% and Upper 2.5% Finding z Scores When Given Probabilities - cont (One z score will be negative and the other positive) Finding the Bottom 2.5% and Upper 2.5%

When Given Probabilities - cont Finding the Bottom 2.5% and Upper 2.5% Finding z Scores When Given Probabilities - cont (One z score will be negative and the other positive) Finding the Bottom 2.5% and Upper 2.5%

Recap In this section we have discussed: Density curves. Relationship between area and probability. Standard normal distribution. Using Table A-2.

Applications of Normal Distributions Section 6-3 Applications of Normal Distributions

DISTRIBUSI NORMAL adalah salah satu distribusi teoritis dari variabel random kontinu. Distribusi Normal merupakan distribusi yang simetris dan berbentuk lonceng. Kurva Distribusi Normal, dipengaruhi oleh rata rata ( μ ) dan simpangan baku ( α ). Sifat-sifat Distribusi normal : 1.Bentuknya seperti lonceng 2.Rata rata terletak ditengah tengah 3.Nilai rata rata sama dengan median sama dengan modus yg memberi pola simetris 4.Ujung ujung sisi kurva sejajar sumbu horizontal dan tidak berpotongan 5.Sebagian data ada direngah tengah, sehingga : a.jarak ± 1 α menampung 68 % data b.Jarak ± 2 α menampung 95 % data c. jarak ± 3 α menampung 99 % data.

Distribusi Normal Standar adalah distribusi normal yang digunakan untuk mencari probabilitas suatu interval dari variabel random kontinu. Distribusi ini memiliki rata rata (μ ) = 0 dan simpangan baku ( α ) = 1 . Rumus : Z = (x – μ) : α Dimana : Z = variabel normal standar x = Nilai variabel random μ = rata rata variabel random α = simpangan baku variabel random Nilai Z adalah angka atau indeks yang menyatakan penyimpangan suatu nilai variabel random (x) dari rata rata , dihitung dalam satuan simpangan baku. Untuk menentukan luas daerah dibawah kurva normal standar , telah dibuat daftar distribusi normal standar yakni luas kurva dengan nilai nilai Z tertentu. Karena seluruh luas kurva adalah 1 dan kurva simetris terhadap μ = 0, maka luas garis tegak pada titik nol ke kiri ataupun ke kanan adalah 0,5 dan diartikan : P ( Z > 0 ) = 0,5

Contoh : Dengan menggunakan tabel, hitunglahnilai P ( 0 < Z < 2,13 ) Jawab : 2,13 = 2,1 + 0,03 ( Nilai 2,1 dilihat pada kolom Z dan 0,03 pada mantise nya ) sehingga didapat angka 0,4834. Jadi P ( 0 < Z < 2,13 ) = 0,4834 Contoh lain : Hitunglah Nilai dari ( gunakan tabel ) : 1. P ( - 1,75 < Z < 0 ) 2. P ( 1,32 < Z < 2,12 ) 3. P ( - 0,45 < Z < 0,65 ) 4.Sebuah perusahaan memproduksi bola lampu yang ketahanannya berdistribusi normal dengan rata rata 825 jam dan simpangan baku 45 jam. Berapa persen lampu yg ketahanannya antara 800 jam dan 860 jam ?

Contoh Soal : 1.Diameter bagian dalam ring piston menyebar normal dengan rata rata 10 cm dan simpangan baku 0,03 cm a.Berapa prosen ring yang diameter bagian dalamnya lebih dari 10,75 cm ? b.Berapa banyak ring yang diameter bagian dalamnya 10,35 cm, jika diproduksi 1.000 buah ring ?

Key Concept Bagian ini menyajikan metode untuk bekerja dengan distribusi normal yang tidak standar. Artinya, rata-rata tidak 0 atau deviasi standar tidak 1, atau keduanya. Konsep utama adalah bahwa kita gunakan konversi sederhana yang memungkinkan kita untuk standarisasi distribusi normal sehingga metode yang sama dari bagian sebelumnya dapat digunakan..

Conversion Formula x – µ  z = Skor z dalam 2 tempat desimal

Converting to a Standard Normal Distribution x –   z =

Example – Weights of Water Taxi Passengers Contoh : Beban aman untuk taksi air adalah 3500 pound. Jika berat rata-rata penumpang 172 pound dan deviasi standar 29 pound. Tentukan probabbilitas dari satu orang yang dipilih secara acak, beratnya kurang dari 174 pound?

Example - cont z = 174 – 172 29 = 0.07  =29  = 172

Example - cont  =29 P ( x < 174 ) = P(z < 0.07) = 0.5279  = 172 P ( x < 174 ) = P(z < 0.07) = 0.5279

Example – Lightest and Heaviest Dari contoh sebelumnya untuk menentukan batasan berat penumpang teringan 99,5 % dari yang terberat 0,5 % adalah ....?

Example – Lightest and Heaviest - cont x =  + (z ● ) x = 172 + (2.575  29) x = 246.675 (247 rounded)

Example – Lightest and Heaviest - cont The weight of 247 pounds separates the lightest 99.5% from the heaviest 0.5%

Recap In this section we have discussed: Non-standard normal distribution. Converting to a standard normal distribution. Procedures for finding values using Table A-2 and Formula 6-2.

Sampling Distributions and Estimators Section 6-4 Sampling Distributions and Estimators

Key Concept Tujuan utama dari bagian ini adalah untuk memahami konsep distribusi sampling statistik, yang merupakan distribusi dari semua nilai yang statistik ketika semua kemungkinan sampel dengan ukuran yang sama diambil dari populasi yang sama. Kami juga akan melihat bahwa beberapa statistik yang lebih baik daripada yang lain untuk memperkirakan parameter populasi.

Definition The sampling distribution of a statistic (such as the sample mean or sample proportion) is the distribution of all values of the statistic when all possible samples of the same size n are taken from the same population. (The sampling distribution of a statistic is typically represented as a probability distribution in the format of a table, probability histogram, or formula.)

Definition The sampling distribution of the variance is the distribution of sample variances, with all samples having the same sample size n taken from the same population. (The sampling distribution of the variance is typically represented as a probability distribution in the format of a table, probability histogram, or formula.)

Definition The sampling distribution of the proportion is the distribution of sample proportions, with all samples having the same sample size n taken from the same population.

Definition We need to distinguish between a population proportion p and some sample proportion: p = population proportion = sample proportion

Properties Sample proportions target the value of the population proportion. (That is, the mean of the sample proportions is the population proportion. The expected value of the sample proportion is equal to the population proportion.) The distribution of the sample proportion tends to be a normal distribution.

Unbiased Estimators Sample means, variances and proportions are unbiased estimators. That is they target the population parameter. These statistics are better in estimating the population parameter.

Biased Estimators Sample medians, ranges and standard deviations are biased estimators. That is they do NOT target the population parameter. Note: the bias with the standard deviation is relatively small in large samples so s is often used to estimate.

Why Sample with Replacement? Sampling without replacement would have the very practical advantage of avoiding wasteful duplication whenever the same item is selected more than once. However, we are interested in sampling with replacement for these two reasons: 1. When selecting a relatively small sample form a large population, it makes no significant difference whether we sample with replacement or without replacement. 2. Sampling with replacement results in independent events that are unaffected by previous outcomes, and independent events are easier to analyze and result in simpler calculations and formulas.

Example - Sampling Distributions Consider repeating this process: Roll a die 5 times, find the mean , variance s2, and the proportion of odd numbers of the results. What do we know about the behavior of all sample means that are generated as this process continues indefinitely?

Caution Many methods of statistics require a simple random sample. Some samples, such as voluntary response samples or convenience samples, could easily result in very wrong results.

Recap In this section we have discussed: Sampling distribution of a statistic. Sampling distribution of the mean. Sampling distribution of the variance. Sampling distribution of the proportion. Estimators.

The Central Limit Theorem Section 6-5 The Central Limit Theorem

Key Concept Bahwa untuk populasi dengan distribusi apapun, distribusi sampel mendekati distribusi normal . Prosedur di bagian ini membentuk dasar untuk memperkirakan parameter populasi dan pengujian hipotesis..

Central Limit Theorem Given: variabel acak x memiliki distribusi dengan mean μ dan standar deviasi . 2. sampel acak sederhana dari semua ukuran n dipilih dari populasi. (Sampel dipilih sehingga semua kemungkinan sampel berukuran sama n memiliki kesempatan yang sama untuk terpilih.)

Central Limit Theorem – cont. Conclusions: 1. Distribusi sampel x , sebagai ukuran sampel yang terus meningkat akan mendekati distribusi normal. 2. Rata-rata sampel berarti mean populasi μ. 3. Standar deviasi untuk sampel

x =  µx = µ  Notation n the mean of the sample means the standard deviation of sample mean  (often called the standard error of the mean) µx = µ n x = 

Important Point As the sample size increases, the sampling distribution of sample means approaches a normal distribution. Result of example on p 282 of Elementary Statistics, 10th Edition

Example – Water Taxi Safety Use the Chapter Problem. Assume the population of weights of men is normally distributed with a mean of 172 pound and a standard deviation of 29 pound. Find the probability that if an individual man is randomly selected, his weight is greater than 175 pound b) Find the probability that 20 randomly selected men will have a mean weight that is greater than 175 pound (so that their total weight exceeds the safe capacity of 3500 pounds).

Example – cont a) Cari probabilitas bahwa jika seorang pria individu yang dipilih secara acak, berat badannya lebih besar dari 175 lb z = 175 – 172 = 0.10 29

Example – cont B,Cari probabilitas bahwa jika seorang pria individu yang dipilih secara acak, berat badannya lebih besar dari 175 pound z = 175 – 172 = 0.46 29 20

Example - cont P(x > 175) = 0.4602 P(x > 175) = 0.3228 a) Find the probability that if an individual man is randomly selected, his weight is greater than 175 lb. P(x > 175) = 0.4602 b) Find the probability that 20 randomly selected men will have a mean weight that is greater than 175 lb (so that their total weight exceeds the safe capacity of 3500 pounds). P(x > 175) = 0.3228 It is much easier for an individual to deviate from the mean than it is for a group of 20 to deviate from the mean.

Recap In this section we have discussed: Central limit theorem. Practical rules. Effects of sample sizes. Correction for a finite population.

Normal as Approximation to Binomial Section 6-6 Normal as Approximation to Binomial

Key Concept Bagian ini menyajikan metode untuk menggunakan distribusi normal sebagai pendekatan untuk distribusi probabilitas binomial maka probabilitas dapat didekati dengan menggunakan distribusi normal dengan mean μ = np dan standar deviasi

Hubungan distribusi Normal dan distribusi Binomial Hubungan distribusi Normal dan distribusi Binomial. Distribusi binomial bervariabel diskrit, sedangkan distribusi Normal bervariabel kontinu,karena itu penggunaan distribusi normal untuk menyelesaikan kasus distribusi binomial dapat dilakukan dengan menggunakan aturan penyesuaian yakni dengan faktor koreksi. Caranya adalah menambahkan atau mengurangkan variabel X nya dengan 0,5. yakni : 1.Untuk batas bawah (kiri), variabel X dikurangi 0,5 2.Untuk batas atas ( kanan) ,variabel X ditambah 0,5

Contoh Soal : Sebuah uang logam dilempar 15 kali Contoh Soal : Sebuah uang logam dilempar 15 kali .Tentukan probabilitas untuk mendapatkan 10 kali muncul Gambar ( gunakan distribusi binomial dan distribusi Normal). A.Distribusi Binomial : n=15 ; x=10 ; p= 0.5 ; q = 0,5 P ( X=x) = C ₁₀ⁱ⁵ (0,5)ⁱ⁰ (0,5)⁵ = 0,0916 b.Distribusi Normal : μ = n.p = 15 . 0,5 = 7,5 α = V n.p.q = V 15. 0,5 . 0,5 = 1,9365 karena X = 10 , maka batas bawah 10 – 0,5 = 9,5 maka batas atas 10 + 0,5 = 10,5 Nilai Z1 = (9,5 – 7,5) : 1,9365 = 1,03 ( di tabel 0,3485 ) Z2 =(10,5 - 7,5 ) : 1,9365 = 1,55 ( di tabel 0,4394) Jadi P ( X=10) = 0,4395 - 0,3485 = 0,0909.

Contoh Soal : Gunakan Pendekatan Distribusi Binomial dan Distribusi Normal. 1.PT.Gramedia mengganggap 10 % buku buku terbitannya rusak. Dari 10 buku yang diteliti, tentukan probabilitas buku yang : a. rusak 7 buku b. rusak antara 5 dan 8 buku Gunakan pendekatan Distribusi Binomial dan Distribusi Normal. 2.Sebuah uang logam , dilempar 8 kali, Tentukan probabilitas untuk mendapatkan 5 kali permukaan gambar .

Recap In this section we have discussed: Approximating a binomial distribution with a normal distribution. Procedures for using a normal distribution to approximate a binomial distribution. Continuity corrections.