SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona -
Advertisements

SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)
PERSAMAAN LINEAR Persamaan dimana perubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri, perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri.
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS
BAB 4. SISTEM PERSAMAAN LINEAR
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
BAB 2 DETERMINAN.
Penulisan Dalam Bentuk Matriks Eliminasi Gauss
SISTEM PERSAMAAN LINIER
design by budi murtiyasa 2008
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
INVERS MATRIKS (dengan adjoint)
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
MATEMATIKA TEKNIK I ZULFATRI AINI, ST., MT
EKIVALEN Budi Murtiyasa Jur. Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Surakarta Juli /04/20151design by budi murtiyasa 2008.
SISTEM PERSAMAAN LINIER
ELIMINASI GAUSS MAYDA WARUNI K, ST, MT.
SISTEM PERSAMAAN LINIER
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINIER
ALJABAR MATRIKS pertemuan 2 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Eliminasi Gaus/Gaus Jordan
SISTEM PERSAMAAN LINIER
Sistem Persamaan Linier
BAB I SISTEM PERSAMAAN LINIER
Sistem Persamaan Linier Non Homogin
Matriks dan Determinan
SISTEM PERSAMAAN LINEAR Bagian-1
Aplikasi Matriks Pertemuan 25 Matakuliah: J0174/Matematika I Tahun: 2008.
Sistem Persamaan Aljabar Linear
INVERS MATRIKS (dengan adjoint)
DETERMINAN.
Aljabar Linier I [Pengantar dan OBE] Pertemuan [1-2]
Aljabar Linear Elementer
BAB 5: Sistem Persamaan Linier (SPL)
Sistem Persamaan Linier dan Matriks Jilid 2
Aljabar Linear Elementer I
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Persamaan Linear Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian.
MATRIKS.
SISTEM PERSAMAAN LINIER
SISTEM PERSAMAAN LINIER 2
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Aljabar linear pertemuan II
SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)
SISTEM PERSAMAAN LINIER
ELIMINASI GAUSS-JORDAN
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)
Sistem Persamaan Aljabar Linear
MA-1223 Aljabar Linier INVERS MATRIKS.
Sistem Persamaan Linear
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
OPERASI BARIS ELEMENTER
SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)
SISTEM PERSAMAAN LINIER
Eliminasi Gauss Jordan & Operasi Baris Elementer
SISTEM PERSAMAAN LINIER
SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)
design by budi murtiyasa 2008
SISTEM PERSAMAAN LINIER 2
Operasi Baris Elementer
PERTEMUAN 1 Gunawan.ST.,MT-STMIK-BPN.
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
design by budi murtiyasa 2008
design by budi murtiyasa 2008
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Aplikasi Matriks SISTEM PERSAMAAN LINIER. SISTEM PERSAMAAN LINEAR A. Sistem Persamaan Linear Jika sistem m persamaan linear dalam n bilangan tak diketahui.
Transcript presentasi:

SISTEM PERSAMAAN LINEAR Budi Murtiyasa Jur. Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Surakarta Juli 2008 09/11/2018 design by budi murtiyasa 2008

Sistem persamaan linear 3x1 – 7x2 + x3 = 0 -2x1 + 3x2 – 4x3 = 0 2x1 – x2 + 2x3 = 7 x1 + 3x2 – 5x3 = 0 - x1 + x3 = 4 Dng notasi matriks Dng notasi matriks = = A X = G A X = G Matriks augmented : matriks koefisien A ditambah matriks konstanta G. (A | G) = A, matriks koefisien X, matriks variabel /peubah G, matriks konstanta

SISTEM PERSAMAAN LINEAR A X = G tidak ya Sistem persamaan linear nonhomogen A X = G, dng G ≠ 0 Sistem persamaan linear homogen A X = 0 Contoh : Contoh : 2x + y – 7z = 0 3x + 2y + z = 5 x – 6y + 2z = 0 3x – 5y + 3z = 0 x + 2y – z = 0 2x + y + 2z = 0

SPL Nonhomogen A X = G, G ≠ 0 Mempunyai jawab / konsisten r(A) = r(A G) Tidak mempunyai jawab / inkonsisten r(A) ≠ r(A G) Banyak Jawab r(A) = r(A G) < n Jawab tunggal r(A) = r(A G) = n Metode penyelesaian : dng OBE, bawa (A G) ke bentuk echelon. banyaknya variabel bebas = n – r . Keterangan : n : banyaknya variabel r : rank (A G) : matriks augmented (tambahan), yaitu matriks koefisien & matriks konstanta Metode penyelesaian : Gauss Gauss-Jordan matriks invers Aturan cramer

SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique) Cari penyelesaian dari sistem : x1 – 2x2 + x3 = -5 3x1 + x2 – 2x3 = 11 -2x1 + x2 + x3 = -2 Persamaan baru menjadi : x1 – 2x2 + x3 = -5 x2 – x3 = 4 2x3 = -2 Metode Gauss : 2. lakukan subtitusi balik : lakukan OBE, bawa (A G) menjadi bentuk echelon 2x3 = -2 x3 = -1 x2 – x3 = 4 x2 – (-1) = 4 (A G) = ~ x2 = 3 x1 – 2x2 + x3 = -5 ~ ~ x1 – 2(3) + (- 1) = -5 x1 = 2 ~ r(A) = 3 r(A G) = 3 n = 3 Jadi penyelesaiannya : {(2, 3, -1)}.

SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique) Cari penyelesaian dari sistem : x1 – 2x2 + x3 = -5 3x1 + x2 – 2x3 = 11 -2x1 + x2 + x3 = -2 ~ Metode Gauss-Jordan : r(A) = 3 r(A G) = 3 n = 3 ~ lakukan OBE, bawa (A G) menjadi bentuk echelon baris tereduksi. Persamaan terakhir menjadi: (A G) = x1 = 2 x2 = 3 x3 = -1 ~ ~ ~ Jadi penyelesaiannya : {(2, 3, -1)}. ~ ~

Sistem persamaan linear 3x1 – 7x2 + x3 = 0 -2x1 + 3x2 – 4x3 = 0 2x1 – x2 + 2x3 = 7 x1 + 3x2 – 5x3 = 0 - x1 + x3 = 4 Dng notasi matriks Dng notasi matriks = = A X = G A X = G A, matriks koefisien X, matriks variabel /peubah G, matriks konstanta

SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique) Cari penyelesaian dari sistem : x1 – 2x2 + x3 = -5 3x1 + x2 – 2x3 = 11 -2x1 + x2 + x3 = -2 det(A) = 6 adj A = A-1 = Metode Matriks Invers : A X = G A-1 A X = A-1 G X = A-1 G 2. Selesaikan X = A-1 G 1. Cari invers dari A (bisa dng OBE, atau bisa dng matriks adjoint). X = = Jadi : x1 = 2 x2 = 3 x3 = -1 A = , maka adj A = Jadi penyelesaiannya : {(2, 3, -1)}.

SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique) Cari penyelesaian dari sistem : x1 – 2x2 + x3 = -5 3x1 + x2 – 2x3 = 11 -2x1 + x2 + x3 = -2 | A2 | = = 18 Metode Cramer : | A3 | = = - 6 Cari det(A), dan det(Ai) , yaitu determinan dr A dng terlebih dahulu mengganti kolom ke i dengan matriks konstanta G 2. Selesaikan Xi = |Ai | / | A | |A| = = 6 | A1 | = = 12 Jadi penyelesaiannya : {(2, 3, -1)}.

SPL Nonhomogen dengan banyak jawab / banyak penyelesaian. Selesaikan sistem : x1 – 2x2 + x3 = 2 -2x1 + 3x2 – 4x3 = 1 -5x1 + 8x2 – 9x3 = 0 Persamaan baru menjadi : x1 – 2x2 + x3 = 2 – x2 – 2x3 = 5 2. Berikan nilai parameter tertentu pada variabel bebas, kemudian subtitusikan pada persamaan baru. lakukan OBE, bawa (A G) menjadi bentuk echelon Misalkan x3 = α, dng α bil Real – x2 – 2α = 5 – x2 – 2x3 = 5 (A G) = ~ x2 = - 2α – 5 x1 – 2x2 + x3 = 2 r(A) = 2 r(A G) = 2 n = 3 ~ x1 – 2(- 2α – 5) + α = 2 x1 = -5α – 8 Banyaknya variabel bebas = n – r = 3 – 2 = 1 Jadi penyelesaian umum : {(-5α – 8, -2α – 5, α)}. Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x3 Jika diambil nilai α = 0, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-8, -5, 0)}.

SPL Nonhomogen dengan banyak jawab / banyak penyelesaian. Selesaikan sistem : x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2 -x1 + x2 – 3x3 + x4 = 1 2x1 – 2x2 + 3x3 – 8x4= - 5 Misalkan x2 = α, dan x4 = β dng α, β bil Real – x3 – 2x4 = - 1 – x3 – 2β = - 1 x3 = - 2β + 1 Solusi : x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2 (A G) = ~ x1 – α + 2 (-2β + 1) – 3β = -2 x1 = α + 7β – 4 r(A) = 2 r(A G) = 2 n = 4 ~ Jadi penyelesiaan umum : {(α + 7β – 4, α, - 2β + 1, β)}. Banyaknya variabel bebas = n – r = 4 – 2 = 2 Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x2 dan x4 misal diambil nilai α = 1, dan β = 0, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-3, 1, 1, 0)}. Persamaan baru menjadi : x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2 – x3 – 2x4 = - 1

SPL Nonhomogen yang tidak mempunyai jawab / penyelesaian. Selesaikan sistem : x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2 -x1 + x2 – 3x3 + x4 = 1 2x1 – 2x2 + 3x3 – 8x4= - 3 Apakah ada nilai x yang memenuhi ? Sistem tidak punya penyelesaian. Solusi : (A G) = ~ r(A) = 2 r(A G) = 3 n = 4 ~ r(A) ≠ r(A G); tidak punya penyelesaian. Mengapa ? Persamaan baru yg terakhir dpt dibaca : 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 2

Metode solusi : Lakukan OBE terhadap matriks koefisien A, sehingga SPL Homogen A X = 0 Selalu mempunyai jawab / konsisten Sebab pasti r(A) = r(A 0) Jawab tunggal / hanya jawab trivial / jawab nol r(A) = n Banyak Jawab. Selain jawab trivial, ada jawab non trivial r(A) < n banyaknya var.bebas = n – r Metode solusi : Lakukan OBE terhadap matriks koefisien A, sehingga menjadi bentuk echelon.

Jadi khusus sistem homogen kita dapat cukup melakukan OBE terhadap SPL Homogen dangan Jawab Tunggal /hanya jawab trivial / hanya jawab nol Selesaikan sistem : x1 – 2x2 + x3 = 0 -x1 + 3x2 – 2x3 = 0 2x1 + x2 – 4x3 = 0 Sistem hanya mempunyai jawab nol, Dari persamaan baru dapat dibaca : x1 – 2x2 + x3 = 0 x2 – x3 = 0 – x3 = 0 Solusi : ~ (A 0) = Dengan subtitusi balik diperoleh : x3 = 0, x2 = 0, dan x1 = 0 r(A) = 3 r(A 0) = 3 n = 3 ~ Catatan : saat OBE, perhatikan bahwa bagian kanan dari (A | 0) tidak berubah, Jadi khusus sistem homogen kita dapat cukup melakukan OBE terhadap matriks A; dengan mengingat bahwa bagian ruas kanan selalu bernilai 0 (nol).

SPL Homogen dengan banyak Jawab Selesaikan sistem : x1 – 2x2 + x3 = 0 -x1 + 3x2 – 2x3 = 0 2x1 + x2 – 3x3 = 0 Dari persamaan baru dapat dibaca : x1 – 2x2 + x3 = 0 x2 – x3 = 0 Misalkan x3 = α, dng α bil Real Solusi : Dengan subtitusi balik diperoleh : ~ A = x2 – x3 = 0 x2 = α x1 – 2x2 + x3 = 0 x1 = α r(A) = 2 n = 3 ~ Jadi penyelesaian umum : {(α, α , α)}. Banyaknya variabel bebas = n – r = 3 – 2 = 1 Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x3 misal diambil nilai α = 1, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(1, 1, 1)}.

SPL Homogen dengan banyak Jawab Selesaikan sistem : -x1 + x2 – 3x3 + x4 = 0 x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = 0 2x1 – 2x2 + 3x3 – 8x4= 0 Misalkan x2 = α, dan x4 = β dng α, β bil Real – x3 – 2x4 = 0 – x3 – 2β = 0 x3 = - 2β Solusi : ~ -x1 + x2 – 3x3 + x4 = 0 A = -x1 + α – 3(-2β) + β = 0 x1 = α + 7β r(A) = 2 n = 4 ~ Jadi penyelesaian umum : {(α + 7β, α, - 2β, β)}. Banyaknya variabel bebas = n – r = 4 – 2 = 2 Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x2 dan x4 Persamaan baru menjadi : - x1 + x2 – 3x3 + x4 = 0 – x3 – 2x4 = 0 misal diambil nilai α = 0, dan β = 1, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(7, 0, -2, 1)}.

Jika mungkin, carilah jawab yang non trivial dari sistem persamaan : x1 – 3x2 + x3 + 2x4 = 0 2x1 – 5x2 + 3x3 + 4x4 = 0 3x1 – 8x2 + 4x3 + 6x4 = 0 -4x1 + 11x2 – 5x3 – 8x4 = 0 Misalkan x3 = α, dan x4 = β dng α, β bil Real x2 + x3 = 0 x2 + α = 0 Solusi : x2 = - α A = ~ x1 – 3x2 + x3 + 2x4 = 0 x1 – 3(-α) + α + 2β = 0 x1 = - 4α – 2β r(A) = 2 n = 4 ~ Jadi penyelesaian umum : {(- 4α – 2β, -α, α, β)}. Banyaknya variabel bebas = n – r = 4 – 2 = 2 Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x3 dan x4 misal diambil nilai α = 1, dan β = 1, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-6, -1, 1, 1)}. Persamaan baru menjadi : x1 – 3x2 + x3 + 2x4 = 0 x2 + x3 = 0

Sistem tersebut hanya mempunyai jawab trivial (jawab nol). Jika mungkin, carilah jawab yang non trivial dari sistem persamaan : x1 + 3x2 + 3x3 = 0 x1 + 4x2 + 3x3 = 0 x1 + 3x2 + 4x3 = 0 Solusi : Sistem tersebut hanya mempunyai jawab trivial (jawab nol). Jadi x1 = x2 = x3 = 0.