ASSALAMU’ALAIKUM. WR.WB

GEOMETRI ANALITIK DATAR Pertemuan 15 RINA AGUSTINA, M. Pd.

PARABOLA DEFINISI Suatu parabola adalah himpunan (tempat kedudukan) titik, yang titik-titiknya memenuhi syarat, bahwa jaraknya terhadap suatu titik tertentu sama dengan jarakna terhadap suatu garis tertentu. Untuk mendapatkan persamaan parabola,buat sumbu X melalui titik tertentu misalnya F, dan tegak lurus garis yang ditentukan. Titik potong sumbu X dengan garis itu disebut titik A.

A M Y O X T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) F ( 1 2 𝑝,0) x =− 1 2 𝑝

Misalkan titik T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) suatu titik pada parabola, maka : TF = TM 𝑇𝐹 2 = 𝑇𝑀 2 ( 𝑥 1 − 𝑝 2 ) 2 + 𝑦 1 2 = ( 𝑥 1 + 𝑝 2 ) 2 𝑥 1 2 −𝑝 𝑥 1 + 𝑝 2 4 + 𝑦 1 2 = 𝑥 1 2 +𝑝 𝑥 1 + 𝑝 2 4 𝑦 1 2 =2𝑝 𝑥 1 Hubungan ini berlaku untuk koordinat-koorinat setiap titik pada parabola.

Jadi persamaan parabola adalah : 𝒚 𝟐 =𝟐𝒑𝒙 Persamaan ini disebut persamaan puncak parabola. F disebut fokus atau titik api. O disebut puncak parabola. Garis 𝑥=− 1 2 𝑝 disebut garis arah atau direktris (𝑒=1) Sumbu X adalah sumbu simetri parabola. P adalah parameter parabola.

Dengan menggunakan translasi sumbu dapat dijabarkan bahwa persamaan parabola yang berpuncak (𝛼,𝛽) dan sumbu simetrinya sejajar sumbu X adalah: (𝑦−𝛽) 2 =2𝑝(𝑥−𝛼)

Contoh : Tentukan persamaan parabola yang puncaknya O,, mempunyai sumbu simteri sumbu X dan melalui titik T (3, 6) Penyelesaian: Misalkan persamaan parabola : 𝑦 2 =2𝑝𝑥 Titik T (3, 6) terletak pada parabola, jadi dipenuhi : 6 2 =2𝑝.3 Sehingga p = 6 Jadi persamaan parabolanya adalah : 𝑦 2 =12𝑥

Kerjakan ! Carilah persamaan parabola yang titik apinya F (7, 2) dan direktrisnya x – 5 = 0 Penyelesaian : Misalkan titik 𝑇 𝑥 1 , 𝑦 1 suatu titik pada parabola, maka menurut definisi parabola : TF = jarak T ke garis x – 5 = 0 ( 𝑥 1 −7) 2 + ( 𝑦 1 −2) 2 = 𝑥 1 −5 𝑥 1 2 −14 𝑥 1 +49+ 𝑦 1 2 −4 𝑦 1 +4= 𝑥 1 2 −10 𝑥 1 +25 𝑦 1 2 −4 𝑦 1 −4 𝑥 1 +28=0

𝑦 1 2 −4 𝑦 1 −4 𝑥 1 +28=0 Jalankan koordinat- koordinat titik T, sehingga diperoleh persamaan parabolanya: 𝑦 2 −4𝑦−4𝑥+28=0 Atau 𝑥= 1 4 𝑦 2 −𝑦+7

Garis Singgung Pada Parabola 1. Garis singgung parabola dengan gradien m. Persamaan parabola 𝑦 2 =2𝑝𝑥 .............. (1) Dimisalkan persamaa garis singgung dengan gradien m adalah : 𝑦=𝑚𝑥+𝑛 ........................................... (2) Subtitusikan persamaan (2) dalam persamaan (1) (𝑚𝑥+𝑛) 2 =2𝑝𝑥 𝑚 2 𝑥 2 +2 𝑚𝑛−𝑝 𝑥+ 𝑛 2 =0 Garis dan parabola bersinggungan, maka 𝑥 1 = 𝑥 2

Jadi haruslah : D = 0 4 (𝑚𝑛−𝑝) 2 −4 𝑚 2. 𝑛 2 =0 (𝑚𝑛−𝑝) 2 − 𝑚 2 Jadi haruslah : D = 0 4 (𝑚𝑛−𝑝) 2 −4 𝑚 2 . 𝑛 2 =0 (𝑚𝑛−𝑝) 2 − 𝑚 2 . 𝑛 2 =0 𝑚 2 𝑛 2 −2𝑚𝑛𝑝+ 𝑝 2 − 𝑚 2 . 𝑛 2 =0 −2𝑚𝑛+𝑝=0 𝑛= 𝑝 2𝑚 Jadi persamaan garis singgung pada parabola 𝑦 2 =2𝑝𝑥 dengan gradien m adalah : 𝑦=𝑚𝑥+ 𝑝 2𝑚

Sehingga apabila pusat parabola (𝛼,𝛽) dengan persamaan parabolanya (𝑦−𝛽) 2 =2𝑝 (𝑥−𝛼) 2 dan gradien m, akan diperoleh persamaan garis singgung nya yaitu: 𝑦−𝛽=𝑚 𝑥−𝛼 + 𝑝 2𝑚

2. Garis singgung Parabola dengan Titik singgung T ( 𝒙 𝟏 , 𝒚 𝟏 ) Misalkan M ( 𝑥 2 , 𝑦 2 ) juga suatu titik pada parabola, maka berlaku : 𝑦 2 2 =2𝑝 𝑥 2 ........................... (1) Karena T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) juga suatu titik pada parabola, maka berlaku: 𝑦 1 2 =2𝑝 𝑥 1 ........................... (2) Apabila persamaan (1) dikurangi persamaan (2), maka akan diperoleh:

𝑦 2 2 − 𝑦 1 2 =2𝑝 (𝑥 2 − 𝑥 1 ) 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑦 2 + 𝑦 1 =2𝑝 (𝑥 2 − 𝑥 1 ) ( 𝑦 2 − 𝑦 1 ) (𝑥 2 − 𝑥 1 ) = 2𝑝 ( 𝑦 2 + 𝑦 1 ) Persamaan MT adalah : 𝑦− 𝑦 1 = ( 𝑦 2 − 𝑦 1 ) (𝑥 2 − 𝑥 1 ) (𝑥− 𝑥 1 ) 𝑦− 𝑦 1 = 2𝑝 ( 𝑦 2 + 𝑦 1 ) (𝑥− 𝑥 1 )

Jika M mendekati T tak terhingga (jika M berhimpit dengan T), maka 𝑥 2 = 𝑥 1 dan 𝑦 2 = 𝑦 1 Sehingga MT menjadi garis singgung di T. Maka persamaan terakhir menjadi: 𝑦− 𝑦 1 = 2𝑝 ( 𝑦 2 + 𝑦 1 ) (𝑥− 𝑥 1 ) 𝑦− 𝑦 1 = 2𝑝 2 𝑦 1 (𝑥− 𝑥 1 ) 𝑦− 𝑦 1 = 𝑝 𝑦 1 (𝑥− 𝑥 1 )

𝑦− 𝑦 1 = 𝑝 𝑦 1 (𝑥− 𝑥 1 ) 𝑦 1 𝑦− 𝑦 1 2 =𝑝𝑥−𝑝 𝑥 1 𝑦 1 𝑦= 𝑦 1 2 +𝑝𝑥−𝑝 𝑥 1 𝑦 1 𝑦=2𝑝 𝑥 1 +𝑝𝑥−𝑝 𝑥 1 𝑦 1 𝑦=𝑝 𝑥 1 +𝑝𝑥 𝑦 1 𝑦=𝑝( 𝑥 1 +𝑥) Gradien garis singgung itu 𝑝 𝑦 , maka persamaan garis singgungnya adalah:

Jika persamaan parabolanya (𝑦−𝛽) 2 =2𝑝(𝑥−𝛼) Maka persamaan garis singgungnya dititik T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) adalah : 𝑦 1 −𝛽 𝑦−𝛽 =𝑝(𝑥+ 𝑥 1 −2𝛼)

3. Garis kutub dari suatu titik terhadap parabola Dari titik T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) dibuat garis-garis singgung pada parabola 𝑦 2 =2𝑝𝑥. Jika titik-titik singgungnya adalah 𝑆 1 ( 𝑥 0 , 𝑦 0 ) dan 𝑆 2 ( 𝑥 0 ′, 𝑦 0 ′) maka persamaan garis-garis singgungnya adalah: 𝑦 0 𝑦=𝑝(𝑥+ 𝑥 0 ) dan 𝑦 0 ′𝑦=𝑝(𝑥+ 𝑥 0 ′) Garis-garis singgung ini melalui T, maka berlaku:

𝑦 0 𝑦 1 =𝑝( 𝑥 1 + 𝑥 0 ) 𝑦 0 ′𝑦 1 =𝑝( 𝑥 1 + 𝑥 0 ′) Atau 𝑦 1 𝑦 0 =𝑝( 𝑥 0 + 𝑥 1 ) 𝑦 1 𝑦 0 ′=𝑝( 𝑥 0 ′+ 𝑥 1 ) Tampak bahwa koordinat-koordinat 𝑆 1 dan 𝑆 2 memenuhi persamaan 𝑦 1 𝑦=𝑝( 𝑥 1 +𝑥) Ini adalah persamaan garis lurus yang melalui titik-titik 𝑆 1 dan 𝑆 2 dan disebut tali busur singgung atau garis kutubnya T terhadap parabola.

Jika T diluar parabola, maka garisnya menjadi tali busur singgung Jika T diluar parabola, maka garisnya menjadi tali busur singgung. Jika T pada parabola, maka garisnya menjadi garis singgung. Jika T didalam parabola, maka garis kutubnya tidak memotong parabola. Jika persamaan parabola (𝑦−𝛽) 2 =2𝑝 (𝑥−𝛼) 2 , maka persamaan garis kutubnya dititik ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) terhadap parabola tersebut adalah: 𝑦 1 −𝛽 𝑦−𝛽 =𝑝(𝑥+ 𝑥 1 −2𝛼)

Contoh : Carilah pada parabola 𝑦 2 =8𝑥 suatu titik yang jaraknya sampai garis 2x + 2y – 3 = 0 terkecil dan hitunglah jarak itu ! Penyelesaian: Titik pada parabola yang terdekat dengan garis 2x + 2y – 3 = 0 adalah titik pada garis singgung yang sejajar garis itu. Garis singgung yang sejajar dengan garis 2x + 2y – 3 = 0 mempunyai gradien m = -1.

Jadi persamaannnya adalah : 𝑦=𝑚𝑥+ 𝑝 2𝑚 𝑦=−𝑥+ 4 −2 𝑦=−𝑥−2 Absis titik singgungnya dicari dari persamaan : (−𝑥−2) 2 =8𝑥 𝑥 2 +4𝑥+4=8𝑥 𝑥 2 −4𝑥+4=0 (𝑥−2) 2 =0

Sehingga diperoleh x = 2 dan 𝑦=−𝑥−2 = -4 Jika S titik singgung itu, maka S (2, -4). Jarak S (2, -4) ke garis 2x + 2y -3 = 0 adalah: 𝑑= 𝑎 𝑥 1 +𝑏 𝑦 1 +𝑐 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑑= 2.2+2. −4 −3 2 2 + 2 2 = −7 8 = 7 2 2 𝑑= 7 2 2

Sifat Utama Garis Singgung Garis singgung di suatu titik pada parabola membagi dua sama besar sudut antara garis yang menghubungkan titik singgung dengan titik api dan garis yang melalui titik singgung sejajar dengan sumbu simetri. B A Y X T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) F ( 1 2 𝑝,0) 𝛼 𝜃

Persamaan garis singgung di T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) pada parabola 𝑦 2 =2𝑝𝑥 adalah 𝑦 1 𝑦=𝑝( 𝑥 1 +𝑥). Jadi 𝑚=𝑡𝑔𝜃= 𝑝 𝑦 1 𝑡𝑔𝛼= 𝑦 1 𝑥 1 − 𝑝 2 = 2 𝑦 1 2 𝑥 1 −𝑝 ∠𝐵𝑇𝐹=𝛼−𝜃 𝑡𝑔∠𝐵𝑇𝐹=𝑡𝑔(𝛼−𝜃) = 𝑡𝑔𝛼−𝑡𝑔𝜃 1+𝑡𝑔𝛼.𝑡𝑔𝜃

= 𝑡𝑔𝛼−𝑡𝑔𝜃 1+𝑡𝑔𝛼. 𝑡𝑔𝜃 = 2 𝑦 1 2 𝑥 1 −𝑝 − 𝑝 𝑦 1 1+ 2 𝑦 1 2 𝑥 1 −𝑝 = 𝑡𝑔𝛼−𝑡𝑔𝜃 1+𝑡𝑔𝛼.𝑡𝑔𝜃 = 2 𝑦 1 2 𝑥 1 −𝑝 − 𝑝 𝑦 1 1+ 2 𝑦 1 2 𝑥 1 −𝑝 . 𝑝 𝑦 1 = 2 𝑦 1 2 −2𝑝 𝑥 1 + 𝑝 2 2 𝑥 1 𝑦 1 −𝑝 𝑦 1 +2𝑝 𝑦 1 = 2(2𝑝𝑥 1 )−2𝑝 𝑥 1 + 𝑝 2 2 𝑥 1 𝑦 1 +𝑝 𝑦 1

= 2𝑝𝑥 1 + 𝑝 2 2 𝑥 1 𝑦 1 +𝑝 𝑦 1 = 𝑝(2𝑥 1 +𝑝) 𝑦 1 (2 𝑥 1 +𝑝) = 𝑝 𝑦 1 Ternyata ∠𝐵𝑇𝐹= ∠𝑇𝐵𝐹 Karena TA sejajar sumbu X, maka ∠𝐵𝑇A= ∠𝑇𝐵𝐹 Akibatnya ∠𝐵𝑇𝐹= ∠𝐵𝑇𝐴

TUGAS MANDIRI III: 1. Dari titik T (-2, 3) ditarik garis-garis singgung pada parabola 𝑦 2 =8𝑥. Tentukan persamaan garis-garis singgungnya dan jarak T ke garis yan menghubungkan titik-titik singgung ! 2. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola 𝑦 2 =6𝑥 dan tegak lurus garis x – 3y + 6 = 0 ! 3. Tentukan sebuah titik pada parabola 𝑦 2 =64𝑥 yang terdekat dengan garis 4x + 3y – 14 = 0 !

WASSALAMU’ALAIKUM WR.WB SELAMAT BELAJAR WASSALAMU’ALAIKUM WR.WB