FUNGSI. PENGERTIAN FUNGSI Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan.

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
Bab 6 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Advertisements

FUNGSI REF : 1. Rosen, Kenneth H., 2003, Discrete mathematics and its application, fifth-ed. 2. Keith Devlin, Set, function and logic, 2004.
Assalamu’alaikum warrahmatullahi wabbarakatu FUNGSI OLEH KHOIRUNNISA A
FUNGSI FITRI UTAMININGRUM.
Memahami KONSEP FUNGSI Fungsi : f(x) Oleh: Ibnu Fajar,S.Pd
FUNGSI.
FUNGSI.
FUNGSI STRUKTUR DISKRIT K-8 Program Studi Teknik Komputer
MATEMATIKA DISKRIT STMIK AMIKOM PURWOKERTO Septi Fajarwati, S.Pd.
Relasi dan Fungsi HOME Pendahuluan isi penutup hiburan about Back Home
FUNGSI Fungsi adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur.
Beda Setangkup (Symmetric Difference)
5. FUNGSI.
Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam.
KALKULUS I STIMIK BINA ADINATA. BIODATA DOSEN  Muhammad Awal Nur, S.Pd., M.Pd  Bulukumba, 24 – 10 – 1988  Desa Balong, Kec. Ujung Loe 
MATRIKS, RELASI & FUNGSI
Fungsi & Grafiknya Riri Irawati, M.Kom 3 sks.
BAB 3 MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI
KONSEP DASAR Fungsi dan Grafik
Riri Irawati, M.Kom Logika Matematika – 3 sks
HOMOMORFISMA GRUP.
Fungsi Operasi pada Fungsi
KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS.
FUNGSI Definisi Fungsi
KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak serta Beberapa Fungsi
FUNGSI REF : 1. Rosen, Kenneth H., 2003, Discrete mathematics and its application, fifth-ed. 2. Keith Devlin, Set, function and logic, 2004.
MATEMATIKA INFORMATIKA 2
Bab 2 Persamaan dan Fungsi Kuadrat
Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI.
Komposisi Dua Fungsi Dan Fungsi Invers
Oleh : Ir. Ita Puspitaningrum M.T
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
LOGIKA MATEMATIKA PERTEMUAN 4 KOMPOSISI BENTUK FUNGSI
Oleh : Irayanti Adriant, S.Si, M.T
Matematika I Bab 3 : Fungsi
BEBERAPA DEFINISI FUNGSI
Fungsi PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 6/9/2018.
FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI
Kapita selekta matematika SMA
MATEMATIKA INDUSTRI -FUNGSI-
Oleh : Hayani Hamudi, S.Pd.
Matematika Diskrit Fungsi Dani Suandi, S.Si.,M.Si.
Fungsi Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat
KONSEP DASAR Fungsi dan Grafik
1 1.1 Sistem Bilangan BAB 1. SELANG, KETAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK Himp Bil. real Himp Bil. Immaginair Himp Bil. Irrasional Himp Bil. Rasional Himp Bil.
Logika Matematika Fungsi Heru Nugroho, S.Si., M.T.
FUNGSI. DAFTAR SLIDE DEFINISI FUNGSI INVERS FUNGSI FUNGSI KOMPOSISI 22 OPERASI FUNGSI.
Fungsi Oleh: Devie Rosa A.
FUNGSI REF : 1. Rosen, Kenneth H., 2003, Discrete mathematics and its application, fifth-ed. 2. Keith Devlin, Set, function and logic, 2004.
Fungsi.
FUNGSI Harni Kusniyati Fungsi.
Matematika Diskrit Fungsi Heru Nugroho, S.Si., M.T.
ASSALAMU’ALAIKUM WR WB.
FUNGSI Ade Rismanto, S.T.,M.M.
2. FUNGSI.
FUNGSI DAN GRAFIKNYA.
Relasi dan Fungsi Wahyu Dwi Lesmono, S.Si.
FUNGSI (Operasi Fungsi)
FUNGSI REF : 1. Rosen, Kenneth H., 2003, Discrete mathematics and its application, fifth-ed. 2. Keith Devlin, Set, function and logic, 2004.
Fungsi Komposisi.
BAB 1. SELANG, KETAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK
KALKULUS I FUNGSI-KOMPOSISI
PERTEMUAN 6 LIMIT FUNGSI.
Relasi, Fungsi dan Grafik Kelompok 3 : Al Imron ( ) Bani Araya ( ) Febrija Izaty Siallagan ( ) M. Fadhil Al Fajri ( ) M.
Fungsi Jaka Wijaya Kusuma M.Pd.
HOMOMORFISMA GRUP.
FUNGSI KOMPOSISI. Suatu relasi dari A ke B yang memasangkan setiap anggota A ke tepat satu anggota B disebut fungsi atau pemetaan dari A ke B Pengertian.
Komposisi FUNGSi Dan Fungsi invers
Matematika Diskrit Semester Genap TA Fungsi.
Transcript presentasi:

FUNGSI

PENGERTIAN FUNGSI Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. ATURAN : setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B. tidak boleh membentuk cabang seperti ini. AB

ILUSTRASI FUNGSI AfB Input Kotak hitam Output Ditulis f : A → B, dibaca f adalah fungsi dari A ke B. A disebut domain, B disebut kodomain. Elemen a ∈ A disebut argumen dan f(a) ∈ B dise- but bayangan(image) dari a. Himpunan R f := { y ∈ B : y = f(x) untuk suatu x ∈ A } disebut daerah jelajah (range) fungsi f dalam B. Bila S ⊂ A maka himpunan f(S) := { f(s) : s ∈ S } disebut bayangan (image) himp S oleh fungsi f.

ILUSTRASI FUNGSI (LANJ) Fungsi Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang mempunyai 2 kawan. Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang tidak mempunyai kawan. A B

GRAFIK FUNGSI  Misalkan f: A  B. Grafik fungsi f adalah himpunan pasangan terurut {( a,f( a ) | a ∈ A}  Contoh: Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2}, fungsi f didef sbg f(1)=1, f(2)=2, f(3)=1. Maka grafik fungsi f dapat digambarkan sbb: A B

CONTOH FUNGSI 1. Fungsi kuadrat f : R → R, dimana f(x) := x 2 +x Fungsi nilai mutlak f : R → R +, dimana fungsi ini ditulis juga f(x) := |x|. 3. Misalkan A = himpunan semua negara di dunia dan B = himpunan semua kota di dunia, f : A → B dimana f(x) := ibukota negara x. Bila x = Malaysia maka f(x) = Kuala Lumpur, f(Inggris) = London. 4. Misalkan A = himpunan semua buku di perpustakaan dan diberikan perintah “diberikan buku b dan hitung banyak tanda koma pada buku b tsb”. Ini mendef. fungsi f : A → Z + dimana f(x) = banyak koma yang ada pada buku x. 5. Misalkan A = himpunan semua string bit dan B = himpunan bil bulat positif Fungsi f : A  B dimana f(S) = banyaknya bit 1 pada string S. Bila S = ( ) maka f(S) = Bila f(S) = posisi bit 1 pada string S, apakah f merupakan fungsi ?

CONTOH: Data yang disimpan pada komputer biasanya dinayatakan dalam suatu string byte. Tiap byte tersusun atas 8 bit. Berapa byte yang dibutuhkan untuk menyimpan data dengan 100 bit.CONTOH: Data yang disimpan pada komputer biasanya dinayatakan dalam suatu string byte. Tiap byte tersusun atas 8 bit. Berapa byte yang dibutuhkan untuk menyimpan data dengan 100 bit. PENYELESIAN: Karena satuan byte bilangan bulat maka harus dibulatkan ke atas, yaitu dibuthkan ⌈ 100/8 ⌉ = ⌈ 12.5 ⌉ = 13 byte. CONTOH: Pada protokol komunikasi menggunakan backbone network, data disusun dalam sel ATM yang terdiri dari 53 byte. Berapa sel ATM data yang dapat ditransmisikan dalam waktu 1 menit jika dengan kecepatan rata-rata 500 kilobyte per detik.CONTOH: Pada protokol komunikasi menggunakan backbone network, data disusun dalam sel ATM yang terdiri dari 53 byte. Berapa sel ATM data yang dapat ditransmisikan dalam waktu 1 menit jika dengan kecepatan rata-rata 500 kilobyte per detik. PENYELESAIAN: Dalam 1 menit dapat ditransmisikan data sebesar 500,000 * 60 = 30,000,000 bit. Padahal tiap ATM memuat 53 byte, masing- masing ATM memuat 53 * 8 = 424 bit. Jadi banyak ATM yang dapat ditransmisikan harus dibulatkan ke bawah, yaitu ⌊ 300,000,000/424 ⌋ = 70,754 ATM.

OPERASI ALJABAR FUNGSI Misalkan f, g : A → B maka fungsi f + g, cf dan f g didefinisikan oleh : (f+g)(x):= f(x)+g(x), (cf)(x):=cf(x), (fg)(x):=f(x) g(x). Contoh: misalkan f, g : R → R dimana f(x) = x 2 dan g(x) := x – x 2. Diperoleh (f+g)(x) = x, (fg)(x) = x 3 -x 4. Fungsi f dan g dikatakan sama jika domain dan kodomainnya sama dan f(x) = g(x) untuk setiap x dalam domainnya. Apakah fungsi f(x):=x-2 dan g(x):=(x 2 -4)/(x+2) sama ?

FUNGSI SATU-SATU (INJEKTIF) Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif bila hanya bila [f(x) = f(y) → x = y ], atau [x y → f(x) f(y)]. Bila kita dapat menunjukkan bahwa kuantor berikut TRUE: ∀ x ∀ y [f(x) = f(y)  x = y] atau ∀ x ∀ y [x y → f(x) f(y)] maka fungsi f disimpulkan satu-satu. Namun, bila ada x dan y dengan x y tetapi f(x) = f(y) maka f tidak satu-satu. ABAB satu-satutidak satu-satu

CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} dengan f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ?CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} dengan f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ? PENYELESAIAN: karena tidak ada anggota B yang mempunyai pasangan ganda pada A mk fungsi ini injektif. CONTOH: Apakah fungsi f: R  R dengan f(x) = x 2 satu-satu ?CONTOH: Apakah fungsi f: R  R dengan f(x) = x 2 satu-satu ? PENYELESAIAN: Ambil x = 1 dan y = -1, diperoleh f(x) = f(y) = 1. Jadi ada x, y dengan x ≠ y tetapi f(x) = f(y). Disimpulkan fungsi ini tidak satu-satu. CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif?CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif? PENYELESAIAN: ambil sebarang x, y dengan x ≠ y, diperoleh x + 5 ≠ y + 5  g(x) ≠ fgy). Jadi g injektif.

FUNGSI KEPADA (SURJEKTIF) Fungsi f : A → B dikatakan kepada atau surjektif jika setiap y ∈ B terdapat x ∈ A sehingga y = f(x), yaitu semua anggota B habis terpasang dengan anggota A. Jadi bila kita dapat membuktikan kebenaran kuantor berikut: ∀ y ∈ B ∃ x ∈ A sehingga y = f(x) maka f surjektif. Namun, bila ada y ∈ B sehingga setiap x ∈ A, f(x) ≠ y maka f tidak surjektif. ABAB kepadatidak kepada

CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x 2 dari R ke R surjektif ?CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x 2 dari R ke R surjektif ? PENYELESAIAN: Ambil y = -1 suatu bilangan real. Maka untuk setiap bilangan real x, berlaku x 2 = f(x) ≠ y. Jadi, f tidak surjektif. CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dari R ke R surjektif?CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dari R ke R surjektif? PENYELESAIAN: Ambil seb bil real y, maka y = x-3  x = y+3 memenuhi h(x) = y. Jadi h surjektif.

FUNGSI BIJEKTIF Fungsi f : A → B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif. Pada fungsi bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu pra- bayangan di A.Fungsi f : A → B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif. Pada fungsi bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu pra- bayangan di A. CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d}  {1,2,3,4} dengan f(a)=4, f(b)=2, f(c)=1 dan f(d)=3 bijektif.CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d}  {1,2,3,4} dengan f(a)=4, f(b)=2, f(c)=1 dan f(d)=3 bijektif. PENYELESAIAN: karena semua nilainya berbeda mk fungsi ini satu- satu. Karena semua anggota B habis terpasang maka ia surjektif. Jadi fungsi ini bijektif. A B fungsi bijektif

INVERS FUNGSI Misalkan f : A → B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimana f -1 : B → A. DKL, y = f(x) ↔ x = f -1 (y) Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel. A B b=f(a) f(a) f -1 (b) f -1 (b)=a

CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya.CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya. PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibel dengan f -1 (1)=c, f -1 (3)=b dan f -1 (2)=a. CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x 2. Apakah f invertibel.CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x 2. Apakah f invertibel. PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektif maka ia tidak invertibel. Jadi invresnya tidak ada.

KOMPOSISI FUNGSI Misalkan g: A  B dan f: B  C. Komposisi fungsi f dan g, dinotasikan f ◦ g adalah fungsi f ◦ g: A  C dengan (f ◦ g)(x):= f(g(x)). Bila f: A  B dan g: D  E maka fungsi komposisi f ◦ g terdefinisi hanya bila f(A) D. ABC ⊂ gf f◦g