FUNGSI

PENGERTIAN FUNGSI Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. ATURAN : setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B. tidak boleh membentuk cabang seperti ini. AB

ILUSTRASI FUNGSI AfB Input Kotak hitam Output Ditulis f : A → B, dibaca f adalah fungsi dari A ke B. A disebut domain, B disebut kodomain. Elemen a ∈ A disebut argumen dan f(a) ∈ B dise- but bayangan(image) dari a. Himpunan R f := { y ∈ B : y = f(x) untuk suatu x ∈ A } disebut daerah jelajah (range) fungsi f dalam B. Bila S ⊂ A maka himpunan f(S) := { f(s) : s ∈ S } disebut bayangan (image) himp S oleh fungsi f.

ILUSTRASI FUNGSI (LANJ) Fungsi Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang mempunyai 2 kawan. Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang tidak mempunyai kawan. A B

GRAFIK FUNGSI  Misalkan f: A  B. Grafik fungsi f adalah himpunan pasangan terurut {( a,f( a ) | a ∈ A}  Contoh: Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2}, fungsi f didef sbg f(1)=1, f(2)=2, f(3)=1. Maka grafik fungsi f dapat digambarkan sbb: A B

CONTOH FUNGSI 1. Fungsi kuadrat f : R → R, dimana f(x) := x 2 +x Fungsi nilai mutlak f : R → R +, dimana fungsi ini ditulis juga f(x) := |x|. 3. Misalkan A = himpunan semua negara di dunia dan B = himpunan semua kota di dunia, f : A → B dimana f(x) := ibukota negara x. Bila x = Malaysia maka f(x) = Kuala Lumpur, f(Inggris) = London. 4. Misalkan A = himpunan semua buku di perpustakaan dan diberikan perintah “diberikan buku b dan hitung banyak tanda koma pada buku b tsb”. Ini mendef. fungsi f : A → Z + dimana f(x) = banyak koma yang ada pada buku x. 5. Misalkan A = himpunan semua string bit dan B = himpunan bil bulat positif Fungsi f : A  B dimana f(S) = banyaknya bit 1 pada string S. Bila S = ( ) maka f(S) = Bila f(S) = posisi bit 1 pada string S, apakah f merupakan fungsi ?

CONTOH: Data yang disimpan pada komputer biasanya dinayatakan dalam suatu string byte. Tiap byte tersusun atas 8 bit. Berapa byte yang dibutuhkan untuk menyimpan data dengan 100 bit.CONTOH: Data yang disimpan pada komputer biasanya dinayatakan dalam suatu string byte. Tiap byte tersusun atas 8 bit. Berapa byte yang dibutuhkan untuk menyimpan data dengan 100 bit. PENYELESIAN: Karena satuan byte bilangan bulat maka harus dibulatkan ke atas, yaitu dibuthkan ⌈ 100/8 ⌉ = ⌈ 12.5 ⌉ = 13 byte. CONTOH: Pada protokol komunikasi menggunakan backbone network, data disusun dalam sel ATM yang terdiri dari 53 byte. Berapa sel ATM data yang dapat ditransmisikan dalam waktu 1 menit jika dengan kecepatan rata-rata 500 kilobyte per detik.CONTOH: Pada protokol komunikasi menggunakan backbone network, data disusun dalam sel ATM yang terdiri dari 53 byte. Berapa sel ATM data yang dapat ditransmisikan dalam waktu 1 menit jika dengan kecepatan rata-rata 500 kilobyte per detik. PENYELESAIAN: Dalam 1 menit dapat ditransmisikan data sebesar 500,000 * 60 = 30,000,000 bit. Padahal tiap ATM memuat 53 byte, masing- masing ATM memuat 53 * 8 = 424 bit. Jadi banyak ATM yang dapat ditransmisikan harus dibulatkan ke bawah, yaitu ⌊ 300,000,000/424 ⌋ = 70,754 ATM.

OPERASI ALJABAR FUNGSI Misalkan f, g : A → B maka fungsi f + g, cf dan f g didefinisikan oleh : (f+g)(x):= f(x)+g(x), (cf)(x):=cf(x), (fg)(x):=f(x) g(x). Contoh: misalkan f, g : R → R dimana f(x) = x 2 dan g(x) := x – x 2. Diperoleh (f+g)(x) = x, (fg)(x) = x 3 -x 4. Fungsi f dan g dikatakan sama jika domain dan kodomainnya sama dan f(x) = g(x) untuk setiap x dalam domainnya. Apakah fungsi f(x):=x-2 dan g(x):=(x 2 -4)/(x+2) sama ?

FUNGSI SATU-SATU (INJEKTIF) Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif bila hanya bila [f(x) = f(y) → x = y ], atau [x y → f(x) f(y)]. Bila kita dapat menunjukkan bahwa kuantor berikut TRUE: ∀ x ∀ y [f(x) = f(y)  x = y] atau ∀ x ∀ y [x y → f(x) f(y)] maka fungsi f disimpulkan satu-satu. Namun, bila ada x dan y dengan x y tetapi f(x) = f(y) maka f tidak satu-satu. ABAB satu-satutidak satu-satu

CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} dengan f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ?CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} dengan f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ? PENYELESAIAN: karena tidak ada anggota B yang mempunyai pasangan ganda pada A mk fungsi ini injektif. CONTOH: Apakah fungsi f: R  R dengan f(x) = x 2 satu-satu ?CONTOH: Apakah fungsi f: R  R dengan f(x) = x 2 satu-satu ? PENYELESAIAN: Ambil x = 1 dan y = -1, diperoleh f(x) = f(y) = 1. Jadi ada x, y dengan x ≠ y tetapi f(x) = f(y). Disimpulkan fungsi ini tidak satu-satu. CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif?CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif? PENYELESAIAN: ambil sebarang x, y dengan x ≠ y, diperoleh x + 5 ≠ y + 5  g(x) ≠ fgy). Jadi g injektif.

FUNGSI KEPADA (SURJEKTIF) Fungsi f : A → B dikatakan kepada atau surjektif jika setiap y ∈ B terdapat x ∈ A sehingga y = f(x), yaitu semua anggota B habis terpasang dengan anggota A. Jadi bila kita dapat membuktikan kebenaran kuantor berikut: ∀ y ∈ B ∃ x ∈ A sehingga y = f(x) maka f surjektif. Namun, bila ada y ∈ B sehingga setiap x ∈ A, f(x) ≠ y maka f tidak surjektif. ABAB kepadatidak kepada

CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x 2 dari R ke R surjektif ?CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x 2 dari R ke R surjektif ? PENYELESAIAN: Ambil y = -1 suatu bilangan real. Maka untuk setiap bilangan real x, berlaku x 2 = f(x) ≠ y. Jadi, f tidak surjektif. CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dari R ke R surjektif?CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dari R ke R surjektif? PENYELESAIAN: Ambil seb bil real y, maka y = x-3  x = y+3 memenuhi h(x) = y. Jadi h surjektif.

FUNGSI BIJEKTIF Fungsi f : A → B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif. Pada fungsi bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu pra- bayangan di A.Fungsi f : A → B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif. Pada fungsi bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu pra- bayangan di A. CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d}  {1,2,3,4} dengan f(a)=4, f(b)=2, f(c)=1 dan f(d)=3 bijektif.CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d}  {1,2,3,4} dengan f(a)=4, f(b)=2, f(c)=1 dan f(d)=3 bijektif. PENYELESAIAN: karena semua nilainya berbeda mk fungsi ini satu- satu. Karena semua anggota B habis terpasang maka ia surjektif. Jadi fungsi ini bijektif. A B fungsi bijektif

INVERS FUNGSI Misalkan f : A → B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimana f -1 : B → A. DKL, y = f(x) ↔ x = f -1 (y) Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel. A B b=f(a) f(a) f -1 (b) f -1 (b)=a

CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya.CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya. PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibel dengan f -1 (1)=c, f -1 (3)=b dan f -1 (2)=a. CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x 2. Apakah f invertibel.CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x 2. Apakah f invertibel. PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektif maka ia tidak invertibel. Jadi invresnya tidak ada.

KOMPOSISI FUNGSI Misalkan g: A  B dan f: B  C. Komposisi fungsi f dan g, dinotasikan f ◦ g adalah fungsi f ◦ g: A  C dengan (f ◦ g)(x):= f(g(x)). Bila f: A  B dan g: D  E maka fungsi komposisi f ◦ g terdefinisi hanya bila f(A) D. ABC ⊂ gf f◦g