MATEMATIKA PELUANG KULIAH KE 3

MATEMATIKA PELUANG PERISTIWA EKLUSIF DAN TIDAK EKSLUSIF PERISTIWA BEBAS STATISTIK DAN BERKOLERASI OPERASI HIMPUNAN DAN DIAGRAM VENN PELUANG YANG DIDAPAT DARI PROSES BERNAULI PELUANG YANG DIDAPAT DARI PROSES POISSON PELUANG GABUNGAN UNTUK KASUS TIDAK BEBAS STATISTIK PELUANG TOTAL PELUANG INVERS

DEFENISI Peristiwa mustahil (): peristiwa yang tidak mempunyai titik sampel (himpunan kosong) Peristiwa tertentu(S): peristiwa yang mengandung semua titik sampel dalam ruang sampel Peristiwa komplementer: Untuk peristiwa E dalam ruang S, kejadian komplementer adalah, mencakup semua titik sampel dalam S yang tidak terkandung dalam E

Kombinasi beberapa peristiwa Gabungan E1  E2 artinya peristiwa yang terjadi E1 atau E2 atau kedua duanya Irisan E1  E2 (E1E2) artinya peristiwa yang terjadi E1 dan E2 secara bersamaan

ATURAN OPRASIONAL Kesamaan himpunan Himpunan komplementer Aturan komutatif Aturan Asosiatif Aturan distributif Aturan De Morgan

DIAGRAM VENN EKSLUSIF TIDAK EKSLUSIF A B A B Dua kejadian yang tidak mungkin terjadi secara bersamaan Dua kejadian yang mungkin terjadi bersamaan A  B=

LATIHAN Suatu perusahaan kontraktor memiliki 2 proyek baru yaitu P1 dan P2. Waktu penyelesaian memiliki ketidakpastian dalam 1 tahun, yaitu A=selesai, B=mungkin selesai, C=pasti tidak selesai. (i) tentukan ruang sampel (b) Jika kemungkinan memiliki peluang yang sama tentukan probabilitas tepat 1 pekerjaan selesai selama 1 tahun dan gbr diagram venn. Probabilitas keruntuhan batang A=0.05; B=0.04 dan C=0.03. Tentukan probabilitas keruntuhan rangka. a c F b

PERISTIWA EKSLUSIF DAN TIDAK EKSLUSIF E = PERISTIWA DALAM RUANG SAMPEL S P(E) = 0 PERISTIWA YANG MUSTAHIL P(E) = 1 PERITIWA YANG TERTENTU PROBABILITAS ADALAH PERISTIWA DENGAN DIBATASI 0 ≤P(E) ≤1 P(E1E2): peristiwa kejadian E1 atau E2 P(E1  E2): peristiwa kejadian bersamaan E1 dan E2 PERISTIWA YANG SALING EKSLUSIF E1 DAN E2 P(E1E2)=P(E1) + P(E2) P(E1  E2) = 0 PERISTIWA YANG TIDAK SALING EKSLUSIF E1 DAN E2 P(E1E2)=P(E1) + P(E2) – P(E1E2) P(E1  E2) = P(E1) X P(E2)

PROBABILITAS BERSYARAT (CONDITIONAL PROBABILITY) SUATU PERISTIWA DAPAT TERGANTUNG ATAS TERJADI (TIDAK TERJADI) PERISTIWA LAIN ( PELUANG KEJADIAN TERGANTUNG PADA URUTAN PERISTIWA) E1 E2 E1E2 Probabilitas bersyarat E1, dengan asumsi E2 sudah terjadi

CONTOH Peluang kecelakaan pada jalan raya sepanjang 100km adalah sbb; peluang kecelakaan dalam km 20 -50 adalah E1= 30/100 Peluang kecelakaan dalam km 40 -80 adalah E2= 40/100 Jika kecelakaan terjadi pada km 40 -80 berapa peluang E1 P(E1|E2) : peristiwa E1 tergantung E2

Latihan Soal 3 boldoser yang munkin rusak dalam 6 bulan. Bila F = peristiwa bila buldeser 1 masih beroperasi dalam 6 bulan. E= 2 buldoser masih beroperasi setelah 6 bulan. Probabilitas E bila diketahui F.

PERISTIWA BEBAS STATISTIK TERJADI ATAU TIDAKNYA SUATU PERISTIWA TIDAK MEMPENGARUHI SUATU PERISTIWA LAIN Contoh : dimanapun kejadian kecelakaan sepanjang 100 km, peluang kejadian di setiap km tidak berubah yaitu 0.01

Peluang Total Peluang dari kombinasi beberapa kejadian

C B A Keruntuhan terjadi bisa diakibat oleh: Keruntuhan pondasi A Keruntuhan pondasi B Keruntuhan portal di C Bila P(A) = 0.05; P(B) = 0.025 dan P(C)=0.02 Tentukan resiko keruntuhan portal tersebut

KOMPLEMENTER P(A) : Peluang terjadinya A P(A) : Peluang A tidak terjadi P(A) = 1 – P(A) Contoh di atas: Berapa peluang tidak terjadi keruntuhan portal

Contoh: Suatu kontraktor mengajukan tender untuk 2 proyek sekaligus. Peluang kontraktor untuk menang di proyek A = 0.25, proyek B= 0.3 Tentukan : - Peluang mendapat 1 proyek - Peluang tidak mendapat proyek sama sekali - Peluang untuk mendapat 2 proyek

PROSES BERULANG DALAM BID.REKAYASA Menata armada konstruksi dalam suatu proyek Terdapat 2 kemungkinan: berfungsi dan tidak berfungsi Perencanaan sistem pengendalian banjir suatu sungai (aliran tahunan max selama beberapa tahun berturut turut menjadi penentuan banjir rencana. Terdapat 2 kemungkinan : terjadi dan tidak terjadi .>>>>>>>>>>>>>> dimodelkan dengan DERET BERNOULI dengan asumsi: Setiap percobaan hanya mempunyai 2 hasil (terjadi atau tidak terjadi) Probabilitas terjadinya peristiwa tersebut bernilai konstan Peristiwa bebas secara statistik

proses bernouli Proses dengan kategori sukses dan gagal, atau ya dan tidak yang dilakukan berulang ulang dengan peluang konstan Sukses = keluar angka 4 Gagal = keluar angka selain angka 4 P sukses = 1/6 P gagal = 5/6 Dadu dilempar 100 kali

Proses bernouli Probabilitas binomial Probabilitas geometri Sukses = keluar angka 4 Gagal = keluar angka selain angka 4 Dadu dilempar 100 kali P sukses = 1/6 ,P gagal =5/6 dalam 1 kali lemparan P sukses dalam 100 lemparan Berapa probabilitas sukses hanya 2 kali? 3 kali? dst Probabilitas binomial Berapa probabilitas sukses pada lemparan ke 5? Ke 6 ? Ke k dari n lemparan Probabilitas geometri

Peluang Binomial Kombinasi dari peluang sukses dan gagal dan koefisien binomial q = peluang sukses (1-q) = peluang gagal n = banyaknya (total )kejadian x = jumlah yang sukses

Peluang geometri Px = peluang sukses pada kejadian ke x dari n kejadian

Peluang lulus satu kali quis = 0.6 Jika quis dilakukan 5 kali berapa peluang lulus tiga kali? berapa peluang lulus minimum tiga kali n=5, x = 3, q=0.6 Berapa peluang lulus dalam ujian ke- dua Berapa peluang lulus dalam dua kali ujian

SOLUSI Peluang lulus satu kali quis = 0.6 Jika quis dilakukan 5 kali berapa peluang lulus tiga kali? berapa peluang lulus minimum tiga kali n=5, x = 3, q=0.6 Jawab p(lulus 3 kali)=0.3456 P(lulus minimum 3 kali) = P(3)+P(4)+P(5)=0.3456+0.2592+0.0778=0.7116

SOLUSI Berapa peluang lulus dalam ujian ke- dua Berapa peluang lulus dalam dua kali ujian Jawab P(lulus dalam ujian ke-dua)=0.24 P(lulus dalam dua kali ujian) = P(1)+P(2)=0.84

Proses Poisson Proses tidak meninjau saat awal atau total waktu Proses berulang dengan peluang konstan dalam suatu interval ulang (interval waktu) Interval waktu yang singkat dapat dianggap suatu ulangan dengan probabilitas sukses yang sama. Jumlah ulangan sangat banyak, p sukses sangat kecil

n ulangan /interval waktu bernouli x 1 n Poisson x n ulangan /interval waktu Jumlah sukses dalam interval n ulangan = nq =  q = peluang sukses tiap ulangan = jumlah sukses persatuan waktu

Peluang Poisson v : laju rata-rata kejadian : laju rata-rata kejadian dalam interval waktu x : jml perulangan yang ingin diketahui probabilitasnya t : waktu yang ingin diprediksi

Menurut proses Poisson :  = 0.1 , x = 4 dan t = 10 tahun Peluang Poisson Contoh : peluang terjadi gempa 100 gal dalam 1 tahun = 0.1. Berapa peluang terjadi 4 kali gempa kuat dalam 10 tahun Menurut proses Poisson :  = 0.1 , x = 4 dan t = 10 tahun

Contoh Nasib proyek pengangkutan supersonik (SST) tergantung pada pemilihan presiden 1976. Jika Partai Demokrat menang maka peluang SST 20% dan jika partai Republik 70%. Bila partai mempunyai peluang yang sama untuk menang maka berapa peluang proyek itu akan dilaksanakan th 1980?