Contoh 1 Kalimat (p → q) → r bernilai benar Jika p benar, q salah, r salah p salah, q benar, r salah p salah, q salah, r benar p salah, q salah, r salah

Jawab Jadi, pernyataan yang benar adalah pernyataan (1) dan (3) S B B Pernyataan ke p q (p q ) r (p  q)  r 1 2 3 4 B S S B B S

Tabel Kebenaran Biimplikasi ‘p ↔ q’ bernilai benar apabila p dan q keduanya bernilai benar atau salah p q p ↔ q B S B S

Contoh 2 Diberikan empat pernyataan p, q, r, dan s. Jika pernyataan berikut benar p ↔ q, q → r, r → s dan s pernyataan yang salah, maka di antara pernyataan berikut yang salah adalah…. a. ~p b. ~r c. ~q d. p Λ r e. p V ~r

Jawab s pernyataan yang salah r → s benar; berarti r salah q → r benar; berarti q salah p ↔ q benar; berarti p salah Jadi, ~p benar; ~r benar; ~q benar p Λ r salah;  jawaban d p V ~r benar

Pernyataan Ekivalen 1. ~(p Λ q) ≡ ~p V ~q 2. ~(p V q) ≡ ~p Λ ~q 3. p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V (p Λ r) 4. p V (q Λ r) ≡ (p V q) Λ (p V r)

Pernyataan Ekivalen 5. p → q ≡ ~p V q 6. ~(p → q) ≡ p Λ ~q 7. p↔q ≡ (p → q) Λ (q → p) ≡ (~p V q) Λ (~q V p) 8. ~(p ↔ q) ≡ (p Λ ~q) V (q Λ ~p)

Contoh 1: Ingkaran yang benar dari pernyataan “Saya lulus Ujian Nasional dan saya senang” adalah….

(1). Saya tidak lulus Ujian Nasional dan saya tidak senang (2). Tidak benar bahwa saya lulus Ujian Nasional dan saya senang (3). Saya lulus Ujian Nasional dan saya tidak senang Saya tidak lulus Ujian Nasional atau saya tidak senang

Jawab: Ingkaran p Λ q adalah ~(p Λ q) ≡ ~p V ~q Jadi pernyataan yang benar adalah (2) Tidak benar saya lulus Ujian nasional dan saya senang Saya tidak lulus Ujian Nasional atau saya tidak senang

Jawab: ingat bahwa: ~(p→q) ≡ p Λ ~q Contoh 2: Ingkaran dari (p Λ q) → r adalah…. a. ~p V ~q V r b. (~p Λ ~q) V r c. p Λ q Λ ~r d. ~p Λ ~q Λ r e. (~p V q) Λ r Jawab: ingat bahwa: ~(p→q) ≡ p Λ ~q ~[(p Λ q) → r] ≡ (p Λ q) Λ ~r ≡ p Λ q Λ ~r Jadi, jawabannya adalah c

Contoh 3: Ingkaran pernyataan: “Jika dosen tidak hadir maka semua mahasiswa senang” adalah…. a. dosen hadir dan semua mahasiswa tidak senang b. dosen hadir dan ada beberapa mahasiswa senang c. dosen hadir dan semua mahasiswa senang

Jawab: d. dosen tidak hadir dan ada beberapa mahasiswa tidak senang e. dosen tidak hadir dan semua mahasiswa tidak senang Jawab: Ingat bahwa: ~(p → q) ≡ p Λ ~q Jadi ingkaran dari “Jika dosen tidak hadir maka semua mahasiswa senang” adalah ……. “dosen tidak hadir dan ada beberapa mahasiswa tidak senang”  jawaban d

Jika diketahui implikasi p → q maka: Konvers, Invers, dan Kontraposisi Jika diketahui implikasi p → q maka: Konversnya adalah q → p Inversnya adalah ~p → ~q Kontraposisinya adalah ~q → ~p

Varian Proposisi Bersyarat

Contoh 1: Jawab: ~p → q mempunyai nilai kebenaran sama dengan…. (1). p V q (2). p Λ q (3). ~q → p (4). ~q Λ ~p Jawab: ingat bahwa: p → q ≡ ~p V q ≡ ~q → ~p ~p → q ≡ ~q → p… (3) ≡ p V q … (1)

Contoh 2: Pernyataan berikut yang ekivalen dengan: “Jika p benar maka q salah” adalah…. p salah atau q salah Jika q salah maka p benar Jika p salah maka q benar Jika q benar maka p salah Jika q benar maka p benar

Jawab: Implikasi p → q ekivalen dengan Kontraposisi ~q → ~p dan ~p V q Jadi “Jika p benar maka q salah” ekivalen dengan “Jika q benar maka p salah” atau “p salah atau q salah”

Penarikan Kesimpulan menentukan pernyataan nilai (konklusi) dari pernyataan- pernyataan (premis) melalui aturan tertentu

Suatu kesimpulan (konklusi) dianggap sah jika: ▪ implikasi dari konjungsi premisnya dengan konklusinya adalah tautologi (selalu benar untuk semua kondisi) ▪ Konjungsi semua premisnya benar maka konklusinya benar

Penarikan Kesimpulan yang sah Di dalam logika matematika ada beberapa penarikan kesimpulan yang sah, di antaranya adalah

1. Modus Ponens: p → q (premis 1 = benar) p (premis 2 = benar) q (konklusi benar) Contoh: Jika hujan lebat maka terjadi banjir Hari ini hujan lebat Terjadi banjir

2. Modus Tollens: p → q (premis 1 = benar) ~q (premis 2 = benar) ~p (konklusi benar) Contoh: Jika BBM naik maka ongkos bis naik Ongkos bis tidak naik BBM tidak naik

3. Silogisme: p → q (premis 1 = benar) q  r (premis 2 = benar) p  r (konklusi benar) Contoh: Jika Budi rajin belajar maka lulus UN Jika lulus UN maka orangtua senang Jika Budi rajin belajar maka orangtua senang

Soal 1: Diketahui pernyataan p dan q Argumentasi: ~p  q ~r  ~q ~ r  p disebut…. Implikasi b. Kontraposisi c. Modus ponens d. Modus tollens e. silogisme

Bahasan Argumentasi: ~p  q ~p  q ~r  ~q ≡ q  r (kontraposisi) ~r  p ~p  r ≡ ~r  p (kontraposisi) Jadi, disebut silogisme jawaban e

Soal 2 Penarikan kesimpulan dari premis- premis: p V q ~q …. a. p b. ~p c. q d. ~(p V q) e. ~ q

Bahasan p V q ≡ ~p  q (ekivalensi) ~p  q ≡ ~q  p (kontraposisi) dengan demikian p V q ~q berarti: ~q  p p Jawabannya a Modus ponens

Soal 3 3. p  ~q 2. p  q q V r q  ~r p  r ~r  ~p Penarikan kesimpulan dari 1. p V q ~p q yang sah adalah…. a. hanya 1 b. hanya 1 dan 2 c. hanya 3 d. hanya 1 dan 3 e. hanya 2 dan 3 2. p  q q  ~r ~r  ~p 3. p  ~q q V r p  r

Bahasan ~p  q (ekivalen) ~p q 1. p V q ~p q argumenatsi nomor 1 di atas sah karena merupakan modus ponens ~p  q (ekivalen) ~p q

Bahasan p  q q ~r p ~r p ~r r ~p (kontraposisi) 2. p  q q  ~r argumentasi nomor 2 di atas tidak sah karena bukan silogisme p  q q ~r p ~r p ~r r ~p (kontraposisi)

Bahasan p  ~q ~q  r (ekivalensi) p  r 3. p  ~q q V r p  r argumentasi nomor 3 di atas sah karena merupakan silogisme Jadi, jawabannya hanya 1 dan 3  d p  ~q ~q  r (ekivalensi) p  r