Teori Dasar Himpunan Matematika diskrit - 1

Bilangan???

Notasi Himpunan adalah kumpulan elemen-elemen yang mempunyai syarat keanggotaan tertentu. Himpunan dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K dan Simbol “{….}”. Anggota himpunan menggunakan huruf kecil a, b, c, x, y. Penulisan {1,a,b,8,b} Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “” (baca: anggota) sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang “” (baca: bukan anggota).

Pendefinisian Mendaftarkan semua anggotanya. Contoh: - A = {a,e,i,o,u} - B = {2,3,5,7,11,13,17,19}

Pendefinisian (2) Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya Contoh: - A = Himpunan vokal dalam abjad latin - B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20

Pendefinisian (3) Menyatakan sifat dengan pola Contoh: Q = {1,3,5,7,9,11,13,15,…}

Pendefinisian (4) Menggunakan notasi pembentuk himpunan Contoh: - P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15} (Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14}) - Q = { t | t biangan asli} (Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…} - R = { s | s^2-1=0, s bilangan real} (Maksudnya R = {-1,1})

Himpunan Semesta Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan. Himpunan semesta dilambangkan dengan S atau U. Contoh : Kalau kita membahas mengenai 1, ½ , -2, - ½ , 3 5 ,…

Himpunan Kosong Himpunan yang tidak memiliki satu anggotapun disebut dengan himpunan kosong atau void set atau emty set yang dilambangkan dengan { } dan φ. Contoh: - Himpunan bilangan bulat yang ganjil

Kardinalitas Misalkan A merupakan himpunan yang elemen-elemennya berhingga, maka jumlah elemen dari himpunan A disebut kardinal dari himpunan A.   Notasi : n(A) atau |A| Contoh : A = { x/x merupakan bilangan Asli < 10 } , maka kardinal dari himpunan A, adalah n(A)=|A|= 9 A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

Himpunan Bagian Himpunan bagian dinotasikan ⊂. Jika setiap anggota himpunan N juga menjadi anggota himpunan M maka himpunan N merupakan himpunan bagian dari M dinyatakan N ⊂ M. Contoh : P = { x/ x tim olah raga basket di UB} Q = { semua mahasiswa UB } Maka P ⊂ Q ( P merupakan himpunan bagian dari Q).

Operasi Himpunan

Gabungan / Union Gabungan Dua himpunan P & Q dinotasikan P∪Q adalah himpunan yang unsur-unsurnya menjadi anggota himpunan P atau Q atau keduanya. Contoh : himpunan P = { a, b, c, e } dan Q = { c,d } P ∪ Q ={ a, b,e } ∪ { c, d } = { a, b, c, d, e }

Irisan / Intersection Irisan dua himpunan P dan Q, dilambangkan dengan P ∩ Q adalah himpunan yang unsur-unsurnya merupakan anggota keduanya. Contoh : himpunan P = { a, b, c, e } dan Q = { b,c,d } P ∩ Q ={ a, b, c, e } ∩ { b,c,d } = { b, c }

Komplemen Komplemen Diberikan suatu himpunan A. Komplemen dari A ditulis dengan “ Ac “ adalah himpunan yang anggotanya berada dalam himpunan semesta tetapi bukan berada di A.

Beda / Difference Beda atau selisih antara dua himpunan P dan Q dinyatakan P - Q adalah himpunan yang mengandung unsur-unsur yang berada tepat di dalam P yang tidak ada di dalam Q.   Contoh : Diberikan P = { a, b, c, e } Q = { b, c, e, f ,g } P – Q = { a, b, c, d, e } – { b, e, f ,g } = { a ,c, d }

Beda Simestris / Symetric Difference Beda setangkup antara himpunan P dan Q dilambangkan P ⊕ Q adalah himpunan yang mengandung tepat semua unsur yang ada didalam P atau didalam Q tetapi tidak didalam keduanya. P ⊕ Q = ( P ∪ Q ) - ( P ∩ Q ) ,   Contoh : Diberikan himpunan P = { a, b, c, e } Q = { b, c, f ,g } maka P ⊕ Q = { a, b, c, e } ⊕ { b, c, f ,g } = { a, e, f , g }

Himpunan Kuasa / Powerset Himpunan kuasa (powerset) Himpunan kuasa (powerset) dari himpunan A dilambangkan P(A) adalah semua himpunan bagian dari himpunan A. Notasi himpunan kuasa P(A) atau 2A . Contoh : a). Diberikan himpunan A = { a, b } P(A) = { { } , { a } , { b } , { a, b } } b). Diberikan himpunan A ={ a, b, c } P (A) = { { }, { a }, { b}, { c }, { a, b }, { a, c }, { a, b, c } }

Sifat-sifat Operasi Komutatif Asosiatif Identitas Komplementer Dalil De Morgan

Himpunan Ganda / Multiset himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda). Multiplitas dari suatu elemen pada multiset adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada multiset. Contoh : M={ 0,1,01,1,0,001,0001,00001, 000001 } maka multiplitas elemen 0 adalah 5

P ∪ Q P ∪ Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multisiplitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh : P = { n,n,n, s,s,s,s e,e} Q = { n,n ,s,s,s,f } P ∪ Q = { n,n,n, s,s,s,s e,e,f }

P ∩ Q P ∩ Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh: P = { n,n,n, s,s,s,s e,e} Q = { n,n,s,s,s,f } P ∩ Q = { n,n, s,s,s }

P − Q P − Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplitas elemen pada himpunan P dikurangi multiplitas elemen pada himpunan Q, bernilai nol apabila selisihnya nol atau negatif. Contoh : P = { n,n,n, s,s,m,k,k, j} Q = { n,n,s,s,s, m,m, k, k, f } P - Q = { n, j }

P + Q P + Q jumlahan dua himpunan ganda adalah himpunan ganda yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan multiplitas pada himpunan P dan Q. Contoh : P = { n,n,n, s,s,m,k,k, j} Q = { n,n,s,s, m} P + Q = { n, n, n, n, n, s, s, s, s, m, m, k, k, j }

Diagram Venn ???

Tugas 1 Gambarkanlah Diagram Venn untuk tiap Operasi Himpunan di atas. Diketahui himpunan A = {1, 2, 3 }dan B = { 2, 3, 4, 5 } tentukan himpunan a). A ⊕ B b). Gambarkan diagram Vennya. Diketahui himpunan A = {1, 2, 3 }, tentukan anggota dari P(A) Diketahui multiset P = ( 0,0,1,1,1,1,2,2,3} dan Q = ( 0,1,2,3,3 ,3,3,4,4}. Tentukan : a). P ∪ Q, b). P ∩ Q. c). P - Q. d). P + Q. Tugas 1