PENGERTIAN HIMPUNAN Himpunan merupakan kumpulan objek-objek (benda). Objek-objek yang dimaksud di sini adalah elemen atau anggota himpunan tersebut CARA MENYAJIKAN HIMPUNAN : 1. Menuliskan anggotanya satu per satu (jika memungkinkan) 2. Menuliskan sifat keanggotaannya (pembangun himpunan). Untuk menyatakan himpunan digunakan huruf kapital dan kurung kurawal { }. Contoh : Himpunan huruf vokal dapat disajikan sebagai V = {a,e,i,o,u} Himpunan bilangan prima positif kurang dari 10 dapat ditulis sebagai P = {2, 3, 5, 7}. R = {x | x bilangan real} adalah himpunan semua bil real. 4. W = {x| 0<x<1} = (0, 1). Notasi himpunan bilangan dalam matematika : R = himpunan bilangan real, Z = himpunan bilangan bulat Q = himpunan bilangan rasional, N = himpunan bilangan asli

KARDINALITAS HIMPUNAN Bila himpunan S mempunyai sebanyak n elemen maka dikatakan S himpunan terbatas (finite set) dengan kardinalitas n, dan ditulis | S | = n. Bila kardinalitas himpunan S takterbatas maka S dikatakan himpunan takterbatas (infinite set). CONTOH S = himpunan bilangan ganjil positif yang kurang dari 10, maka S = {1, 3, 5, 7, 9} dan | S | = 5. H = himpunan semua huruf alpbahet, maka | H | = 26. V = himpunan huruf vokal alphabet, maka | V | = 5. 4. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota, dinotasikan dengan ∅. Jadi | ∅ | = 0. 5. Himpunan semua bilangan real R adalah takterbatas, sebab | R | = ∞.

KESAMAAN DUA HIMPUNAN Dua Himpunan dikatakan sama jika elemen-elemennya sama persis, urutan tidak dimasalahkan. CONTOH : 1. himpunan A = {a,e,o,i,u} dan B = {e,o,i,a,u} merupakan dua himpunan yang sama. Bila dua himpunan A dan B sama biasanya ditulis A = B. 2. Himpunan {1,3,3,3,5,5,5,5} dan {1,3,5} merupakan dua himpunan yang sama. Elemen yang sama cukup ditulis satu kali. NOTASI KEANGGOTAAN : misalkan A suatu himpunan dan x elemen didalam A maka biasa ditulis x ∈A. Notasi z ∉A berarti z bukan elemen A. Secara logika definisi kesamaan dua himpunan dapat dinyatakan sebagai berikut A = B ↔ ∀x, (x ∈ A ↔ x ∈ B)

HIMPUNAN BAGIAN Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari B, ditulis A ⊆ B jika setiap anggota A termuat didalam B. Dalam bentuk kuantor logika, dapat ditulis A ⊆ B ↔ ∀x, (x ∈ A  x ∈ B) FAKTA 1 : ∅ merupakan himpunan bagian dari himpunan apapun. BUKTI : Misalkan A himpunan sebarang. Cukup dibuktikan implikasi x ∈∅  x ∈A bernilai benar. Diambil pernyataan p : x ∈∅ dan q : x ∈A. Karena ∅ tidak mempunyai anggota maka pernyataan p selalu salah (F) sehingga implikasi p  q selalu benar (T). FAKTA 2 : suatu himpunan merupakan himpunan bagian dari dirinya sendiri Bila A ⊆ B dan A ≠ B maka A dikatakan himpunan bagian sejati dari B, ditulis A ⊂ B. FAKTA 3 : A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A.

HIMPUNAN KUASA (Lanjutan) Def : Diberikan himpunan S. Himpunan kuasa (power set) dari S ditulis P(S) adalah himpunan yang terdiri dari semua himpunan bagian S. Contoh : himpunan kuasa dari himpunan S = { 1, 2, 3 } adalah P(S) = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} }. Jadi terdapat 8 anggota himpunan kuasa dari himpunan yang memiliki 3 anggota. Bila kardinalitas S adalah n maka himpunan kuasa P(S) mempunyai kardinalitas 2n. (Bukti : menyusul) Cermati notasi berikut : S = ∅ dan T = { ∅ }. Perhatikan S adalah himpunan kosong, ia tidak mempunyai anggota. Jadi himpunan kuasanya adalah P(S) = { ∅ } = T. Sedangkan T himpunan yang mempunyai anggota himpunan kosong. Jadi himpunan kuasanya adalah P(T) = { ∅, {∅} }. Latihan : Tentukan himpunan kuasa dari himpunan berikut S = { s, k, 4, meja } W = {a, e, o, i, u }.

HASIL KALI KARTESIAN Def : 1. pasangan n elemen terurut (a1, a2, . . . , an) merupakan kumpulan terurut dimana a1 elemen pertama, a2 elemen kedua, dan seterusnya an elemen ke n. 2. Misalkan A dan B suatu himpunan. Hasil kali kartesian dari A dan B dilambangkan dengan A x B didefinisikan sebagai A x B = { (a, b) : a ∈ A dan b ∈B } dimana (a,b) merupakan pasangan terurut. Contoh : Misalkan A = { 1, 2, 3 } dan B = { a, b }. Hasil kali kartesian dari A dan B adalah : A x B = { (1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b) } Latihan : untuk himpunan A dan B seperti pada contoh di atas, tentukan hasil kali kartesian B x A. Apakah A x B = B x A. Hasil kali kartesian dapat diperluas untuk n buah himpunan A1, A2, . . . , An yaitu A1 x A2 x . . . x An = { (a1, a2, . . . an) : ak ∈ Ak, k = 1, 2, . . . , n }

OPERASI PADA HIMPUNAN Misalkan A dan B suatu himpunan. 1. GABUNGAN (union) : A ∪ B = { x | x ∈A ∨ x ∈ B } 2. IRISAN (intersection) : A ∩ B = { x | x ∈A ∧ x ∈ B } 3. SELISIH (difference) : A\B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B } ILUSTRASI diagram Venn untuk gabungan dan irisan himpunan : A ∪ B A ∩ B A\B A A B A B B Himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika A∩B = ∅.

KARDINALITAS GABUNGAN HIMPUNAN | A ∪ B | = | A | + | B | - | A ∩ B | Contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 1, 3, 5 } maka A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, A ∩ B = { 1, 3, 5 }, A\B = { 2, 4 } | A | = 5, | B | = 3, | A ∩ B | = 3, | A ∪ B | = 5+3-3 = 5. KOMPLEMEN HIMPUNAN Definisi : Misalkan U semesta pembicaraan. Komplemen himpunan A adalah = { x ∈ U : x ∉ A } U A A ∪ = U

U : semesta pembicaraan Contoh : Misalkan semesta pembicaraan adalah U = himpunan semua bilangan bulat posotif. Jika A = himpunan bilangan bulat yang lebih dari 10 maka komplemen A adalah = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } KEMIRIPAN OPERATOR LOGIKA DAN OPERASI HIMPUNAN LOGIKA (Pernyataan) TEORI HIMPUNAN (Himpunan) ∨ ∪ ∧ ∩ Negasi Komplemen T : pernyataan benar U : semesta pembicaraan F : pernyataan salah ∅: himpunan kosong

IDENTITAS HIMPUNAN 1. Hukum Identitas : A∪∅ = A dan A∩U = A. 2. Hukum dominan : A∪U = U dan A ∩∅ =∅. 3. Hukum Indempoten : A∪A = A dan A∩∅ = ∅. 4. Hukum Komplementer : = A. 5. Hukum Komutatif : A∪B = B∪A dan A∩B = B∩A. 6. Hukum asosiatif : (A∪B)∪C = A∪(B∪C) dan (A∩B)∩C = A∩(B∩C) 7. Hukum Distributif : A∩(B∪C) = (A∩ B)∪ (A ∩ C) dan A ∪ (B∩C) = (A ∪B)∩(A ∪ C). 8. Hukum De Morgan : (A∪B)c = Ac∩ Bc. dan (A∩B)c = Ac ∪ Bc TABEL KEANGGOTAAN untuk hukum Distributif

REPRESENTASI HIMPUNAN PADA KOMPUTER Misalkan U : semesta pembicaraan. Asumsikan U berhingga dengan kardinalitas n. Misalkan A suatu himpunan bagian dari U. Bagaimana menyajikan A dalam bentuk “bit-string” ? 1. Tetapkan urutan anggota pada U, katakan U = {a1, a2, . . . , an} 2. Sajikan himpunan bagian A dalam “bit-string” dengan panjang n, dimana pada urutan ke i, berikan bit “1” jika ai ∈ A dan bit “0” jika ai ∉A. CONTOH : Misalkan U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }. Sajikan Nyatakan himpunan bagian berikut dalam bentuk “bit-string”: A = himpunan bilangan ganjil B = himpunan bilangan genap C = himpunan bilangan prima PENYELESIAN : a) Krn a1 = 1∈ A maka komponen ke-1 pada A diberi bit “1”. Krn a2 = 2 ∉ A maka komponen ke-2 pada A diberi bit “0”. Dengan cara ini diperoleh A = 10 10 10 10 10. b) 01 01 01 01 01 c) 01 10 10 10 00.

OPERASI HIMPUNAN PADA KOMPUTER Selanjutnya operasi himpunan dapat menggunakan “bit-string” ini dengan menggunakan opertor logika. Contoh : A∩C dapat disajikan sebagai (10 10 10 10 10) ∧ (01 10 10 10 00) = (00 10 10 10 00), yaitu himpunan yang dihasilkan adalah { 3, 5, 7 }. LATIHAN : Sajikan B ∪ C, B\C dan AC dalam bentuk “bit-string” .